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1、目录 12 35 55 6 7 7 8 910 1113 14 15 15 16 17 18第一章绪论近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作 . 泰勒公式是18 世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的 . 泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数 f ，设它在点 x0 存在直到 n 阶的导数，由这些导数构成一个 n 次多项式Tn (x)f (x0 )f ( x0 ) ( xx0 )f ( x0 ) ( xx0 )2f ( n) (
2、x0 ) (xx0 )n ,1!2!n!称为函数 f在点 x0 处的泰勒多项式，若函数f在点 x0 存在直至 n 阶导数，则有 f(x)Tn (x)( xx0 )n ), 即f ( x) f ( x0 )f( x0 )( xx0 )f( x0 ) (xx0 )2f (n) ( x0 ) (xx0 )( x x0 )n ).2!n!称为泰勒公式 .众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个
3、方面都有重要的应用.泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用 , 它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面 .关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等 . 虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要， 并且有很大的空间 .泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题， 同时也是研究分析数学的重要工具 . 其原理是很多函数都能用泰勒公
4、式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题 . 因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具， 我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题 .第二章泰勒公式泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个 n 次多项式来逼近函数 f . 而多项式具有形式简单，易于计算等优点 .泰勒公式由f ( x) 的 n 次泰勒多项式 Pn ( x) 和余项 Rn ( x)o( xx0 )n 组成，我们来详细讨论它们.当 n =1 时，有P (x)f ( x )f ( x )( x x0)，100是 yf ( x) 的曲线在点 (x0 , f ( x0 ) 处的切线（方程），
5、称为曲线 yf ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 ) 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似 .当 n =2 时，有P2 ( x) f (x0 ) f ( x0 )( x x0 )f ( x0 ) ( xx0 )2 ，2!是曲线 yf ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 ) 的“二次切线”，也称曲线yf ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) 的二次密切 . 可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好 . 当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，
6、但性质各异 . 定性的余项如佩亚诺型余项 o( x x0 ) n ) ，仅表示余项是比 ( x x0 )n （当 x x0 时）高阶的无穷小 . 如sin x xx3o( x3 ) ，表示当 x0 时， sin x 用 xx3近似，误差（余项）66是比 x3 高阶的无穷小 . 定量的余项如拉格朗日型余项1f ( n 1) ( )( x x0 )n 1 （ 也可以写成 x0(x x0 ) ）、柯西余项（如在(n1)!某些函数的幂级数展开时用） . 定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究 .泰勒公式的定义（1）带有佩亚诺 (Peano) 型余项的泰勒公式如果函数f (x) 在点 x0 的某
7、邻域内具有n 阶导数 ,则对此邻域内的点 x , 有f ( x) f (x0 ) f ( x0 )( x x0 )f (x0 ) ( x x0 )2f ( n ) ( x0 ) (xx0 )( x x0 ) n ).2!n!当 x00时 , 上式称为麦克劳林 (Maclaurin)公式. 即f ( x)ff (0)2f ( n) (0)nf (n1)( 0)n 1(0) f (0) xxx(nx(01)2!n!1)!（2）带有拉格朗日 (Lagrange) 型余项的泰勒公式如果函数f ( x) 在点 x0的某邻域内具有 n1阶导数 ,则对此邻域内的点 x ,有f ( x) f ( x0 )f
8、( x0 )(x x0 )f ( x0 ) ( xx0 ) 2f ( n) (x0 ) ( xx0 ) nf ( n 1) ( ) (x x0 )n 12!n!(n 1)!(介于 x0 与 x 之间）第三章泰勒公式的实际应用利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐， 特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具. 利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项. 当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限 .x2例 1 求 lim cos x4e 2x 0
9、x分析：此题分母为x4 ，如果用洛比达法则，需连用4 次，比较麻烦 .而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单.解：因为ex1 x1 x2o( x2 )2!2将 x 换成x有2x2x21 (x2)2x2)2 )e 21 ()o(22!22又cos xx2x4o( x4)14!2!x2x4 ( 11)o( x4 ) o( 1 x4 )所以cosx e 224841 x4 o(x4 )12故x2144limcosxe2lim12x4o( x)1x4x12xxx2例 2求极限 lim cosx4e 2.x 0sinxx2解：因为分母的次数为4，所以只要把 cosx ，e 2 展开到 x 的 4 次幂即可
10、 .cosx11 x21 x4o(x4 )2!4!x2x21x224e 21)o( x)22!(2x2故cos xe2lim4x0sinx( 11) x4o( x4 )lim 4!84x 0x112带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 , 运用得当会使求函数的极限变得十分简单.利用泰勒公式进行近似计算例 1用 ex 的 10 次泰勒多项式求 e 的近似值 i ，并估计误差 .解：在 ex 的泰勒公式中取 x1,n10, 则有111e 1 13!2.7182818012!10!由于 e的精确度值 e 2.718281801 ，可以看出这么算得的结果是比较准确的 . 关于计算
11、的误差，则有如下的估计d ( e x11 )x 136.8 108 .11!11!必须注意，泰勒公式只是一种局部性质， 因此在用它进行近似计算时， x 不能远离 x0 ，否则效果会比较差， 甚至产生完全错误的结果 .如在 ln(1x) 的泰勒多项式中令 x =1，取它的前 10 项计算 ln 2 的近似值，得到111111111ln 2 13456789102= 634 92而 ln 2 = 147 28 ，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如ln 1xln(1 x)ln(1x)1xx2x31x2 nx2x3x2 n2 n)x3x23o(x22n2n2 xx3x5x2n 1o( x2n )
12、，352n1令 x1 , 只取前两项便有3ln 2 2 11 (1)3,333取前四项则可达到ln 2 2 11 (1)31 (1)51 (1)73335373效果比前面好得多 .=12475,33例 2当 x 很小时，推出1x1x的简单的近似公式 .1x1x解：当 x 很小时，1 x1 x1131111x 32 x32 x 31x1x11 x12x2x4x3(11x)x2 )x)3(13(14x3在不等式证明中的应用关于不等式的证明， 我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.
13、下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例 1设 f ( x) 在 0,1二次可导，而且 f (0)f (1) 0 ， lim f ( x)1 ，试0 x 1求存在(0,1)，使 f() 8 .证：由于 f(x) 在 0,1的最小值不等于在区间端点的值， 故在 0,1 内存在 x1 ，使 f (x1)1 ，由费马定理知， f( x1 )0 .又f ( x)f (x )f ( x )( x x )f ( ) ( x x )21112!1f() ( x1x1 )2 （ 介于 x 与 x1 之间）2!由于 f (0)f (1)0 ，不令 x0和 x1 ，有0f (0)1f ( 1 )
14、 (0x1) 22所以f( 1)2(1x1 ) 2 ( x121)当 1 x11 时， 2x128，而当 1x1 1 时， 2(1 x1 ) 28 ，可见 f ( 1) 与22f ( 2 ) 中必有一个大于或等于8.泰勒公式在外推上的应用外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下.若对于某个值 a ，按参数 h 算出的近似值 a1( h) 可以展开成a1(h)ac1hc2 h2c3h3（*）（这里先不管 ci 的具体形式），那么按参数h2h11213a1( 2 )a2 c1h4 c2 h8 c3h算出的近似值 a1 ( h)
15、 就是2(*)a1(h) 和 a1( h) 与准确值 a 的误差都是 o(h) 阶的 .2现在，将后 (*)式乘 2 减去（ * ）式，便得到2a1(h )a1 (h)a2(h)2a d2322 hd3h1也就是说，对两个o( h) 阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有 o(h2 ) 阶的近似值 a2 (h) . 这样的过程就称为 外推 .若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从 a2 (h) 出发再次外推，4a2(h )a2(h)a3 (h)2a3e4h4，41e3 h得到 o( h3 ) 阶的近似值 a3 (h) . 这样的过程可以进行 k1步，直到k1hak (
16、 h)2ak1( 2)ak 1 (h)ao(hk ) ，2k 11满足预先给定的精度 . 外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种非常重要的近似计算技术 .例 1单位圆的内接正 n 边形的面积可以表示为S(h)1 sin(2h) ，1 , 按照泰勒公式2h这里 hnS( h)1 2h(2h )3(2h )52h3!5!c1h2c2 h4c3 h6因此，其内接正 2n 边形的面积可以表示为S( h)1h( h )3(h )52h3!5!12464c1h c2h c3h，用它们作为的近似值，误差都是o(h) 量级的 .现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合：4S( h )S(h
17、)hS( h ) S(h)S(h)2)241S(32那么通过简单的计算就可以知道S(h)d2 h4d3h6h2 项被消掉了！ 也就是说，用 S(h) 近似表示，其精度可以大大提高 .求曲线的渐近线方程若曲线 yf ( x) 上的点 ( x, f ( x) 到直线 yaxb 的距离在x或x时趋于零，则称直线yaxb 是曲线 yf ( x) 的一条 渐近线 . 当a 0时称为水平渐近线， 否则称为斜渐近线 . 显然，直线 y ax b 是曲线 yf ( x) 的渐近线的充分必要条件为lim f ( x)(axb)0x或lim f ( x)(axb)0x如果 y axb 是曲线 yf( x) 的渐近
18、线，则limf ( x) ( ax b)0 （或 limf ( x)(axb)）.xx0xx因此首先有alimf ( x) （或 alim f (x) ）.xxxx其次，再由 limf() (ax)0（或 lim f (x)( axb)0 ）可得xxbxblimf ( x) ax （或 blim f ( x)ax ）xx反之，如果由以上两式确定了a 和 b ，那么 yaxb 是曲线 yf ( x) 的一条渐近线 .中至少有一个成立，则称直线 y ax b 是曲线 y f (x) 的一条渐近线，当 a 0 时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线 . 而如果 f ( x) 在 x 趋于某个定值 a
19、时趋于 或 ，即成立lim f (x)x则称直线 x a 是 f ( x) 的一条垂直渐近线 .注意，如果上面的极限对于x成立，则说明直线 yax b 关于曲线 y f ( x) 在 x和 x两个方向上都是渐近线 .除上述情况外，如果当 xa或 a 时， f ( x) 趋于或，即lim f ( x)xa或limf (x)，xa则称直线 xa 是曲线 yf (x) 的一条垂直渐近线 .例 1 求 y( x1)2的渐近线方程 .3( x1)解： 设 y(x1)2的渐近线方程为 yaxb ，则由定义3( x1)alimylim( x1)21xxx3x( x 1)3blim ( x1)2axx3(x1
20、)lim ( x1)21 xx 3( x 1) 3= 1 lim3x113 xx12由此 yx1为曲线 y( x1) 的渐近线方程。33(x1)泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个领域有着广泛的应用，不少书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用泰勒公式来研究函数的凹凸性何拐点.定理 1设 f ( x) 在 a,b 上连续，在 ( a,b) 上具有一阶和二阶导数. 若在(a,b) 内 f (x)0 ，则 f ( x) 在 a,b 上的图形是凹的 .证明： 设 c d 为 a,b 内任意两点，且 c, d 足够小 . x1x
21、2 为 c, d 中的任意两点，记 x0( x1x2 ) / 2 由定理条件的泰勒公式f (x)f ( x0 )f (x0 )(x x0 )f (x0 )( x x0 )2o(x x0 ) 22!由此， f ( x1 ) f (x2 )2 f ( x0 )f ( x0 )( x1x0 ) f ( x0 )( x2x0 )f ( x0 ) ( x1x0 ) 22!o(x1x0 )2 f ( x0 ) (x2 x0 )2o( x2x0 ) 22!因为余项为 (xxn )2 的高阶无穷小， x1 , x2 又为足够小，所以泰勒 公 式 f (x0 ) ( x x0 ) 2o( x x0 )2 的 符
22、 号 与 f ( x0 ) 相 同 .又 因2!x0 (x1x2 ) / 2 ，所以f (x0 )( x1x0 )f ( x0 )( x2x0 )0 ，可得：f ( x1 )f ( x2 ) 2 f ( x0 )f ( x0 )( x1 x0 ) 2 ( x2x0 )2o( x1 x0 )2o(x2x0 ) 202!即 f (x1 )f ( x2 )2 f (x0 )0 ，得 f ( x0 ) f (x1)f ( x2 ) / 2 .由 x1, x2 得任意性，可得 f ( x) 在足够小的区间 c, d 上是凹的 . 再由 c, d 得任意性，可得 f (x) 在 a, b 内任意一个足够小
23、的区间内部都是凹向的 .定理 2若 f (x) 在某个 U (x0 , ) 内 n 阶可导，且满足f (x0 )f ( x0 )f ( n 1) ( x0 ) 0 ，且 f n ( x0 ) 0( n 2)若（ 1） n 为奇数，则 (x0, f (x0 ) 为拐点；（2） n 为偶数，则 (x0, f (x0 ) 不是拐点 .证明：写出f (x) 在 x0 处的泰勒公式f (x)f ( x0 )f(x0 )( xx0 )f n ( x0 )( xx0 ) n 2 / (n2)!o( xx0 )n 2 )因为f (x0 )f (x0 )f ( n 1) ( x0 ) 0则 f ( x) f n
24、 (x0 )( x x0 ) n 2 / (n2)! o( xx0 ) n 2 ) ，同样余项是 ( xx0 )n 2 的高阶无穷小 .所以 f ( x) 的符号在 x0 的 心领域内与 f n (x0 )( xx0 ) n 2 / (n2)! 相同 .当 n 为奇数时，显然在 x0 的两边， f n ( x0 )( x x0 )n 2 / (n2)! 符号相异，即f (x) 的符号相异，所以 ( x0 , f ( x0 ) 为拐点 .当 n 为偶数时，则 f (x) 的符号相同，所以 ( x0 , f ( x0 ) 不是拐点 .在广义积分敛散性中的应用在判定广义积分af ( x) dx 敛散
25、性时 ,通常选取广义积分1p dx( p0)进行比较 ,在此通过研究无穷小量f ( x) ( x) 的阶来a x1有效地选f (x) dx 的敛散性（注xp dx 中的 p 值，从而简单地判定aa意到：如果af ( x) dx 得收敛，则af ( x) dx 得收敛） .例1研究广义积分(x3x32x )dx 的敛散性 .4解 ：(1x)1x(1) x2o(x2 )2!f (x)x3x32 xx (1 3) 21(1 3)212xxx (13191o(13191122x8x2x2 )(1x8x2 o(x2 )291o(1)4x3/2x3/2因此， limf ( x)9 ，即 f ( x)0 是
26、 1 ( x)的 3阶，而13/2dx 收敛，1x4x24xx3/2故f ( x)dx 收敛，从而(x3x32x )dx.44泰勒公式关于界的估计我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的， 有的有上节，而有的有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计.例1 设 f ( x) 在0,1 上有二阶导数， 0x1时 f ( x)1， f ( x)2 . 试证：当 0 x 1 时， f ( x) 3 .证：f (1)f ( x)f( x)(1x)1 f()(1x) 21 f2f (0)f ( x) f( x)(x)()(x) 2
27、2所以f (1)f (0)f (x)1f()(1x) 21f()x222f ( x)f (1)f (0)1f() (1x) 21f() x2222(1x)2x2213泰勒公式展开的唯一性问题泰勒公式的展开式有多种，常见的如带有佩亚诺型余项的泰勒展开式，带有拉格朗日型余项的泰勒展开式，而最为常用的是麦克劳林展开式，它是当x00 时的特殊的泰勒公式展开式，现在我们来探讨泰勒公式展开式的唯一性.例 1设 f ( x) 是连续的 n 阶导数，f ( x) 在 x x0 处有展开式：f (x) a0 a1 (x x0 ) a2 ( x x0 ) 2an ( x x0 )nRn ( x)（1）且余项 Rn ( x) 满足