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1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第三篇 初等数论 第21章 不定方程试题新人教版21.1.1 求不定方程的正整数解.解析 因为，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中可以取一切正整数.21.1.2 求的整数解.解析1将方程变形得因为是整数，所以应是 11的倍数.由观察得，是这个方程的一组整数解，所以方程的解为为整数.解析2先考察，通过观察易得所以11 M(M*7 )+15M(3M7 )=7 ,可取，.从而为整数.评注 如果、是互质的整数，是整数，且方程有一组整数解、.则此方程的一切整数解可以表示为其中，1, 2, 3,.21.1.3 求方程的非负整数解.解析 因为(6 , 22)=
2、2,所以方程两边同除以 2得. 由观察知，是方程的一组整数解，从而方程的一组整数解为所以方程的一切整数解为因为要求的原方程的非负整数解，所以必有由于是整数，由、得15WW16,所以只有15, 16两种可能.当15时，15,;当16时，4, 3 .所以原方程的非负整数解是21.1.4 求方程的所有正整数解.解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解.用方程的最小系数7除方程的各项，并移项得21319y35yx =30 -2y -77因为、是整数，故也是整数，于是有.再用5除此式的两边得.令(整数)，由此得.由观察
3、知，是方程的一组解.将代入得.代入得=25.于是方程有一组解，所以它的一切解为 由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取 0, 1.因此得原方程的正整数解为21.1.5 求方程的整数解.解析因为，.为用37和107表示1,我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8X4=37-4- 8X4=37-9X4=37-9 X (37-33)=9 X 33-8 X 37=9X (107-2 X 37)-8 X 37=9 X 107-26 X 37=37X(-26)+107 X9,由此可知，是方程的一组整数解.于是是方程的一组整数解.所以原方程的一切整数解为 是整数.21.1.6 求方程的整数解.解析
4、 设，即，于是.原方程可化为用前面的方法可以求得的解为是整数.的解为是整数.消去，得x =6000 -8u 15v, y y = -2000 +3u -5v,是整数.z =1000 3v,21.1.7 求方程的整数解.解析设，则对于，是一组特解，从而的整数解为是整数.又，是方程的一组特解，于是的整数解为是整数.所以，原方程的整数解为x = -2 -7v -3u,I-，2 y =2 +7v+2u,、是整数.z =3 -v.21.1.8 求方程组的正整数解.解析消去，得.易知，是它的一组特解，从而的整数解为 是整数.代入原方程组，得所有整数解为x =4 -t,?y =2 +2t,是整数.z =2
5、-t.由，得所以0,1,故原方程组的正整数解为x =4,x=3,y =2,y=4,z=2；z=1.21.1.9 求方程的正整数解的组数.解析因为x = 1306 -5y =435-2y+9 ,所以，是一组特解.于是方程的整数 33解为是整数. 由得.所以1, 2,，87.故原不定方程有 87组正整数解.21.1.10 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法解析 设需枚7分，枚5分恰好支付142分，于是 .所以142 -7x2x -2y 二二28 -x 由于W 142,所以W 20,并且由上式知.因为（5, 2）=1 ,所以，从而1, 6, 11, 16.的
6、非负整数解为x =1, x =6, -ix =11, Jx =16, y=27; y=20; y=13; y=6.所以，共有4种不同的支付方式.评注 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程.21.1.11 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用 100个钱买100只鸡，问公 鸡、母鸡、小鸡各买了多少只 ？解析 设公鸡、母鸡、小鸡各买、只，由题意列方程组化简得.-得即解得于是的一个特解为所以的所有整数解为是整数.由题意知，所以，解得故.由于是整数，故只能取 26, 27, 28,而且、还应满
7、足所以264187827811812812484即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只 公鸡，4只母鸡，84只小鸡.21.1.12 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得 5分，套中小狗一次得 2分.小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次.小明套10次共得61分，问：小鸡至少被套中几次？解析 设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，则根据题意得我们要求这个方程组的正整数解.消去：从中减去X 2得，于是 .由可以看出.从而的值只能是1,2, 3, 4, 5.将写成由于是整数，所以必须是 3的倍数.从而只有 2、
8、5两个值满足这一要求.但时，不是正整数.在时，是本题的解.因此小鸡被套中5次.评注 本题问“小鸡至少被套中几次 ？”实际上却只有一个解，“至少”两字可以省去.21.1.13 今有浓度为 5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7%的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？解析 设甲、乙、丙盐水分别各取克、克、克，配成浓度为7%的盐水100克，依题意有其中，0WW 60, 0, .求证：必为完全平方数.解析 因为、为一组勾股数，一则有.=(n +p 0 , 所以2221 r 22x y - z -xy yz zx = x _y ，1yz，
9、即. 所以_ 222-7y =z -x =(z-x ( z+x )=y(2x+y ), 故，于是，.由于(，)=(,)二,所以，一于是.21.3.10 设、都是质数，且 ,.求 的所有可能值.解析 由为奇数，可知、不全为奇数，只能是为偶数，即.于是， .再由条件，知又，故222222a2 -b2+c2 8(2c + 1 )+6(2c + 1 )+1 +c2=33c2+44c +15,即有.结合，可知，故，进而，综合，得.进而(abja+b户a2b2 =1753 -25=1728 = 26父33 ,利用与具有相同的奇偶性及=2 (因为，为质数)，可知只能是，故(，)(43 ,11).所以21.3
10、.11 设是正整数，记 1X2X X为！(例如 1!=1 ,2!=1 X2,5!=1 X2X3X4X 5),若存在整数、 满足 ,这里，2,3,4, 5, 6.求的值.解析在题设等式的两边乘以 6!,得31X20=3X4X5X+4X 5X +5X+,因为31X20除以6余2,所以除以6余2,而0W b c 1, x y z 1, a b c =xyz, x y z = abc.解析如果3,并且3,那么所以，式中的所有不等号均为等号，这要求，这是不可能的.从而，或者.不妨设，则或.情形1，此时，故，可知，从而，故，于是或.分别代人可求得(a , b , c , x , y , z)=(5 , 2
11、 ,1 , 8 ,1 ,1 ), 或.情形2：,即有，同上可知即，因此，或，对应地，可求得(a , b , c , x , y , z)=(8 ,1 ,1 , 5 , 2 ,1 )或(当)时无解).综上，结合对称性，可知 (a ,b ,c ,x , y ,z )=(5 ,2 ,1 ,8 ,1 ,1 或共7组解.21.3.15 求证：方程，没有各不相同的正整数解.解析 不失一般性，设，则，即有.于是所以原方程无各不相同的正整数解.21.3.16 求方程的正整数解；（2）求方程的正整数解.解析（1）由知，故为偶数，设（为正整数）.故5 =32u -4 =（3u -2 pu +2 ,由于与不能都被5
12、整除，故有，故，.（2）在两边得，故为偶数，于是.再在两边得，得为偶数，设，（、为正整数），则5 =32u -22v =（3u -2v J（3u +2v ）,故得，故.21.3.17 求方程，的正整数解.解析当时，无正整数解.当时，无正整数解.当时，不是3的倍数，也不是2的倍数，所以可设（为正整数），于是3M2x -+1 =（6k 1 2 =12k（3k 1 ）+1 .化简后得当时，求得当时，由于无大于1的奇约数，所以是偶数，但此时是奇数.所以原方程只有两组正整数解：21.3.18 某个团体有48名会员，但是只有一半人有制服.在某次检阅仪式时，他们排成一个6X8的长方阵，恰好可把没有制服的会员
13、隐藏在长方阵的内部.后来又来了一批会员，但总数还是有一半 人没有制服，在接下来的检阅仪式，他们排成了一个不同的长方阵，又恰好可把无制服的会员隐藏在 长方阵的内部.问：新来的会员有多少人？解析 设新的方阵是的，则外围的会员数为，内部的会员数为，由题意整理得，所以或解得（舍）或所以，新来的会员数为（人）.21.3.19 某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数 3）,且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么，满足上述要求的排法的方案有多少种？解析 设最后一排有个人，共有排，那么从后往
14、前各排的人数分别为，由题意可知 即.因为、都是正整数，且，所以，且与的奇偶性不同.将200分解质因数，可知或.当时，；当时，.共有两种不同方案.21.3.20 某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列.如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列； 如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列. 问原长方形 队列有同学多少人.解析 设原长方形队列有同学人，由已知条件知和均为完全平方数.于是可设其中、均为正整数，且.一，得，即4(m +n jm -n )=240 =2 x3M5 .由、可知，、都是8的倍数，所以、均能被 4整除.于是，均能被 4整除.所以或解得或所以，8
15、x =m2 -120 =322 -120 =904 ;或 8x =m2 -120 =162 -120 =136 .故原长方形队列有同学136人或904人.21.3.21 已知某个直角三角形的两条直角边长都是整数，且在数值上该三角形的周长等于其面积的整数倍.问：这样的直角三角形有多少个？解析 设该直角三角形的两条直角边长为、，且.那么结合勾股定理及条件，可设,其中为正整数.问题转为求的正整数解的组数.对两边乘以2,移项后，两边平方2224(a +b ) = (kab-2(a+b ,化简整理，得， 因式分解，得.注意到，、为正整数，且，故(ka -4 ,kb-4)=(1 ,8),(2 ,4 ).分
16、别可求得，或.综上可知，满足条件的直角三角形恰有3个，它们的三边长为，和.21.3.22 求出所有的正整数，使得关于、的方程恰有2011组满足的正整数解.解析由题设，所以，除了外，取的小于的正约数， 就可得一组满足条件的正整数解.故的小于的正数恰好为 xx个.设，其中是互不相同的素数，是非负整数.故的小于的正约数个数为故.由于4021是素数，所以，.所以，其中是素数.21.3.23 (1)是否存在正整数、，使得(2)设是是给定的正整数，是否存在正整数、，使得 解析(1)答案是否定的.若存在正整数、，使得 ,则显然，于是所以，不是平方数，矛盾.(2)当时，若存在正整数、，满足,则(2m +3 -
17、2n -1 ( 2m +3 +2n -1 )=8 ,而，故上式不可能成立.当时，若(是不小于2的整数)为偶数，取，则 m(m +k )=(t2 -t )t2 +t )=t4 -t2 ,故这样的满足条件.若是：(是不小于2的整数)为奇数，取，,t2 t 42 -t*贝U m(m +k )= 2 +2t +1 :故这样的满足条件.综上所述，当时，答案是否定的；当时，答案是肯定的.评注当是时，构造的例子不是唯一的.21.3.24 已知三个相邻正整数的立方和是一个正整数的立方.证明：这三个相邻正整数中间的那个数是4的倍数.解析下列字母均表示正整数.由条件，于是.设，则.显然，.如果.则，或，.第一种情
18、况下得到这是不可能的，因为立方数除以9得到的余数只能是 0,.类似地,第二种情况下得到，同样的原因，这也导出矛盾.现在假设.则、均为偶数.故.由于不是 4的倍数，所以.21.3.25 (1)求不定方程，的正整数解的组数.(2)对于给定的整数，证明：不定方程组至少有组正整数解.解析(1)若，由，得mn +nr +mr 2(m +n +r ),所以，以上不等式均取等号，故.若，不妨设，则丁 7,所以，故，这样的解有3! =6组.所以，不定方程共有 7组正整数解.(2)将化为，n 一(k -m )r 一(k -m )j=k2 -km +m2 .,满足上式.且时,为偶数时，m ,n ,r：；=【l ,k-1 ,k2 kl-l2 k -1?,其中给出了不定方程的组正整数解.为奇数时，m , n , r=l ,kl+1 ,k2 kl十l2十k仆，其中给出了不定方程的组正整数解；、中有两个，另一个为k2 kH +k二口 +k _111 =(k+1.3k1)的情况给出了不定方程的 3组正整数解. 2224而亦为不定方程的正整数解.故不定方程至少有组正整数解.