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1、浅谈初中数学填空题的解题方法与技巧【摘要】调查统计近几年中考试题发现:数学填空题不仅考查纯数学计算和概念，还要考查数学推理、数学应用、数学思想和方法等，其考查功能在不断拓宽，内容不断创新，也加大了解答的难度.因此，教师要切实抓好“双基”，加强对填空题的分析研究，强化训练，使学生掌握填空题的常见类型及常用解法，掌握速解策略与技巧，提高解题能力，既快又准地解题.这样才能使学生有的放矢，减少失误，减轻思维负担，真正事半功倍地学习. 【关键词】数学填空题 常见类型 常用解法 速解策略与技巧 填空题已作为一种固定的考试形式出现在各地中考数学命题中，填空题题型在中考数学测试中也不断创新，调查统计近几年中考
2、试题发现:数学填空题不仅考查纯数学计算和概念，还要考查数学推理、数学应用、数学思想和方法等，填空题的考查功能在不断拓宽. 纵观近几年全国各地的数学试题，填空题所占的比例较大，约占总分的20%，填空题中除有一两道题学生得分率偏低外，一般以基础为主，是学生得分的主要来源.但近几年，中考命题者又把填空题当作创新改革的“试验地”，相继推出了一些题意新颖，构思精巧，具有相当浓度和明确导向的创新题型，加大了解答填空题的难度，高分学生往往就靠这一两道题与别人拉开距离。因此，教师要切实抓好“双基”，加强对填空题的分析研究，强化训练，使学生掌握填空题的常见类型及解题方法，掌握速解策略与技巧，提高解题能力，既快又
3、准地解题.这样才能使学生有的放矢，减少失误，减轻思维负担，真正事半功倍地学习. 一、填空题的常见类型及常用解法 题型一 概念型 有许多填空题，涉及了一些重要的数学概念、公理、定理、性质，或一些似是而非易混淆的概念和性质，迷惑学生们，这就需要学生在审题时，特别注意辨析有关概念的本质特性，以保证所填答案的准确性，这类题一般运算量小，侧重判断，常用的方法有:直接法、答案检验法. 例1(2008益阳中考题)在一个袋中，装有5个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写着1，2，3，4，5这5个数字，小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字的平方根是无理数的概率是 . 点评:本题主要考查概率的含义，及平方根与
4、无理数的概念，用直接法易得答案是:0.6. 题型二 计算型 这类填空题的特点是:必须根据题目中给出的条件，通过数学计算找出正确的答案.这类填空题主要考查学生对数学基本概念、法则、性质、定理等及运算能力的掌握，在计算的过程中，要讲究技巧和方法，力求少用或不用演算，这类填空题常用的解法是直接法. 例2(清源中考题)小丽5次数字测验的平均成绩是90分，中位数是91分，众数是94分，则最低两次测验成绩之和是 分. 点评:本题主要考查平均数、中位数、众数等概念，用直接法易计算得出答案:171. 题型三 图表信息型 21世纪是一个信息化的时代，每个人应该学会搜集、整理和加工信息，图表类填空题以其独特的风格
5、令人耳目一新，成为中考命题的热点、亮点。解这类填空题，一定要充分利用图表所提供的信息，去直接揭示问题的数量关系和本质属性，做出正确解答. 例3(天门中考题)如图1，已知反比例函数 的图象上有一点P，过点P分别作 轴和 轴的垂线，垂足分别为A、B，使四边形OAPB为正方形，又在反比例函数的图象上有一点 ，过点 分别作BP和 轴的垂线，垂足分别为 ，使四边形 为正方形，则点 的坐标是 . y 图1 P O A x 点评:本题要求学生能根据题意，阅读图形，理解图意，勾通未知与已知间的关系，利用数形结合的方法求出 的坐标(1，1)，假设 坐标为( )，在根据 求得 , 从而筛选出符合题意的答案:( )
6、. 题型四 阅读理解型 此类型试题主要考查学生的阅读理解能力，逻辑思维能力、分析应用能力. 阅读理解型填空题主要有: (1)阅读特殊范例、推出一般结论; (2)阅读解题过程，总结解题规律和方法; (3)阅读新知识，应用新知识解决问题; (4)阅读图形，理解图意，勾通已知与未知之间的关系，从而达到解决问题的目的，解这种题目主要利用数形结合的思想方法，将图形通过分析、比较、转化等手段的运用，最后达到 解决问题的目的. 例4(2008温州市中考题)如图2， ， ， ， 在射线 上，点 ， ， 在射线 上，且 ? ? , ? ? .若? ,? 的 积分别是1,4,则图中? ,? ，? 面积之和为 .
7、图2 4 1 点评:归纳类比是数学发现的重要手段，为了便于发现规律，常要对已知的图形或数量关系分类编排、综合分析，这里综合运用相似三角形的性质与判定及三角形中位线的知识不难得出答案:10.5 . 题型五 开放型 条件和结论都不确定，需要答题者认定条件和结论，然后组合成一个新命题，再按题目具体要求填入相应结果. 开放型填空题是符合题目要求的，并且答案不惟一的试题，有条件开放型和结论开放型两种. 解开放型填空题时，应该认真审题，根据题目的条件或结论，充分利用已掌握的知识，从多个角度去思考、分析、比较、推理，并大胆地猜想，寻求尽可能多的方法和结论，然后对所得的方法和结论进行认真的筛选、推理、计算，最
8、后确定满足题目要求的答案. 例5 (西安市中考题)在?ABC和?ADC中，下列三个论断:?AB=AD;?BC=DC;?BAC=?DAC.以其中两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 . 点评:此例是条件开放，结论也开放，答案不唯一. 3个论断中任何两个论断都可以作为条件，剩余一个论断则是结论，条件和结论都不是固定的，是可变的，本题可以组合成3个不同的命题，而且正确的命题不止一个，因此答案也是开放的，解此类问题对学生的能力要求比较高.答案为:?、? ?或?、? ?. 二、填空题的几种速解策略与技巧 1、打破常规，直观求解 例1 若 ，则 = . 分析:条件化简之后，是一
9、个一元二次方程，故 的值有两个。由观察可知 ，与 满足原方程,故 或 . 说明:要提高解答速度，有时必须打破常规，不要被基本的运算顺序与方法所束缚. 2、整体把握，巧妙求解 例2 则 . 分析:若先求 的根，再代人计算则十分繁杂.通过变形，运用整体代换，则能化难为易. 解: , 3、反客为主，简捷解答 例3 用配方法解方程 解:视1为未知数， 为常数，配方得: . 或 , ?原方程的解为 和-1. 4、抓住特征，促成转化 例4 已知 ,且 则 = . 分析:由题设知 , 即 .故 与 是 的两个相异根，由根与系数的关系有: . 注:抓住问题的数学特征，将陌生问题转化为熟悉的问题，是数学解题的常
10、用策略. 5、巧取特值，简洁明了 例5 若abc=1,则 . 解:由abc=1，不妨取a=b=c=1代人原式，很快可得原式=1. 6、换元替代，快速获解 根据题设条件和结论的特征，恰当换元进行替代，是快速解题的重要手段。 例6满足 的所有实数对( ,y)中， 的最大值是 . 分析:设 =t,则y= t,代入已知方程整理得: . 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。为实数，? , 即 , 故 的最大值为 . (1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.7、分析结论，靠拢条件 例7已知 是关于x的方程 的两实根， 则 . 2、会数
11、，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。分析:将结论试作如下转化: 当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。由根的定义知 故 . 弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)8、数形结合，巧妙无穷 7、课堂上多设计一些力所能及的
12、问题，让他们回答，并逐步提高要求。充分利用题目所给信息，通过联想将数与图形机结合起来的有效方法. 0 抛物线与x轴有2个交点；例8 已知 的一个根大于1，另一个根小于1,则实数P的取值范围为 . 垂直于切线; 过切点; 过圆心.分析:结合图3观察知:当 =1时2-2P,0,?P,1. y sin(0,1) 图3 o 1 x 9、作准图形，试验测量 一些有关旋转、折叠、平移、剪拼等图形问题无疑用实验法方便准确，但个别有关计算或推理复杂的图形填空题也可类比此法解决. 例9 已知矩形ABCD，E为CB延长线上一点，CE=BD,F为AE中点，则?BDF是 三角形. 分析:此题若由“已知”想”可知”去推理判断费神费时，难度较大. 考试时，不如按条件把图形画准，通过测量比较直接得出答案:直角三角形,这样既快又准. 不过，这只是考试时应急的方法，平时不宜使用,并且所画图形必须具有普遍性,不能以特殊情形为代表. (3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.10、分类讨论，穷举类别 例10 多项式 加上一个代数式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的代数式可以是 . 分析:这是一道开放性题,让 ,1及要填上的代数式分别充当一次完全平方式的中间项,可得到四个不同答案: ,再考虑特殊情形又能得到两个不同答案: 与-1.故符合要求的答案共有6个.