《2017_2018学年高中数学第四章导数应用2导数在实际问题中的应用学案北师大版选修1_120180.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第四章导数应用2导数在实际问题中的应用学案北师大版选修1_120180.wps（46页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、22 导数在实际问题中的应用 21 实际问题中导数的意义 对应学生用书P51 某人拉动一个物体前进，他所做的功 W(单位：J)是时间 t(单位：s)的函数，设这个函数 可以表示为 WW(t)t34t210t. 问题 1：t 从 1 s 到 4 s 时，功 W 关于时间 t 的平均变化率是多少？ W4W1 407 提示： 11(J/s) 41 3 问题 2：上述问题的实际意义是什么？ 提示：它表示从 t1 s 到 t4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功 11 J. 问题 3：W(1)的实际意义是什么？ 提示：W(t)3t28t10， W(1)5. 表示此人在 t1s时每秒做功为 5 J. 实际
2、问题中导数的意义 1功关于时间的导数是功率 2降雨量关于时间的导数是降雨强度 3生产成本关于产量的导数是边际成本 4路程关于时间的导数是速度速度关于时间的导数是加速度 5质量关于长度的导数是线密度 在日常生活中，有许多需要用导数概念来理解的量如物理学中，速度是路程关于时间的 导数，功率是功关于时间的导数解决这些问题，要在阅读材料、理解题意的基础上，利用数 学知识对模型进行分析，得到数学结论，然后再用数学结论解释实际问题 对应学生用书P52 1 导数在物理学中的应用 例 1 把原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热， 如果第 x h 时，原油的温度(单位：)为 yf(
3、x)x27x15(0x8) (1)分别计算当 x从 0 变到 1，从 2 变到 3 时，原油温度 y关于时间 x的平均变化率，比 较它们的大小，并解释它们的实际意义； (2)计算第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 y 思路点拨 (1)平均变化率即为 . x (2)可利用导数公式求出 y，再分别求当 x2,6时的导数值 精解详析 (1)由题意得 f(0)15，f(1)9， 当 x从 0 变到 1 时，原油温度平均变化率为 f1f0 6(/h)， 10 表示从 0 到 1 这一小时内，原油温度平均每小时降低 6. 又 f(2)5，f(3)3， 当 x从 2 变到
4、3 时，原油温度平均变化率为 f3f2 2(/h)， 32 表示从 2 到 3 这一小时内，原油温度平均每小时降低 2. 60) 10 (1)当 x 从 100 变到 200 时，平均每米的成本为_； (2)f(100)_，其实际意义为_ 解析：(1)f(100)1 010.3，f(200)4 020.3， f200f100 30.1(万元/m) 200100 即平均变化率为 30.1 万元/m. 1 (2)f(x) (2x1)，f(100)20.1(万元/m)，即当长度为 100 m 时，每增加 1 m 10 的长度，成本就增加 20.1 万元 答 案：(1)30.1 万元 (2)20.1万
5、元/m 当长度为 100 m 时， 每增加 1 m 的长度成本就增 加 20.1 万元 6日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增 5 284 加已知将 1 吨水净化到纯净度为 x%时所需费用(单位：元)为 c(x) (800，即 f(x)在3,4为增函数， 4 13 当 x3 时，f(x)取最小值 f(3)3 ； 3 3 4 当 x4 时，f(x)取最大值 f(4)4 5. 4 (2)f(x)3x23，令 f(x)0，得 x1. 而 f(1)2，f(1)2，f( 3)0，f( 3)0， 10 x1 时，f(x)取最大值 f(1)2； x1 时，f(x)取最小
6、值 f(1)2. 与最值有关的恒成立问题 1 例 2 设 f(x)x3 x22x5. 2 (1)求函数 f(x)的单调递增、递减区间； (2)当 x1,2时，f(x)0，f(x)为增加的； ， 2 当 x( ，1)时，f(x)0，f(x)为增加的 2 2 所以 f(x)的递增区间为( 和(1， )，f(x)的递减区间为 . ， ，1) 3) ( 3 (2)当 x1,2时，f(x)7，即 m的取值范围为(7， ) 一点通 解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使 mf(x)恒 成立，只需 mf(x)的最大值即可，同理，要使 m0，解得 x ，令 e 1 f(x)1 时
7、，g(x)0， x x2 x2 g(x)在1， )上是增加的， 所以 g(x)的最小值为 g(1)1.则 a1. 故 a的取值范围是( ，1. 面积、体积(容积)的最值问题 例 3 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农 业用地规划建成一个矩形的高科技工业园已知 ABBC，OABC，且|AB| |BC|4 km，|AO|2 km，曲线段 OC是以点 O为顶点且开口向上的抛物线 的一段如果要使矩形的两边分别落在 AB，BC上，且一个顶点落在曲线 段 OC上，应如何规划才能使矩形工业园的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到 0.1 km2) 12 思路点拨 建立坐标系，求出 OC
8、 所在抛物线的方程，用 P(在 OC 上)的坐标表示矩形的 面积，再求最大值 精解详析 以 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标 系，如图，依题意可设抛物线的方程为 x22py(p0)，且 过点 C(2,4)，所以 1 222p4，解 得 p . 2 故曲线段 OC 的方程为 yx2(0x2)设 p(x，x2)(00，S 是增加的； 0， 2 当 x( ，2 )时，S0,3.22x0，得 00，当 11在区间(1， )内恒成立，则实数 a 的取值范 围是( ) A( ，1) B( ，1 C(1， ) D1， ) 解析：f(x)axln x，f(x)1 在(1， )内恒成立，
9、1ln x a 在(1， )内恒成立 x 1ln x 设 g(x) ， x ln x x(1， )时，g(x) 0 或 f(x)0)， x x 1 令 f(x)0，得 x . 2 1 f(x)的单调递增区间为( ，). 2 答案：C 20 3已知对任意实数 x，有 f(x)f(x)，且 x0 时，f(x)0，则 x0 时( ) Af(x)0 Bf(x)0 Cf(x)0 D无法确定 解析：因为 f(x)f(x)，所以 f(x)为偶函数又 x0 时，f(x)0，故 f(x)在 x0 时为增加的，由偶函数在对称区间上单调性相反，可知当 x0 时，f(x)为减少的 答案：B 4设函数 f(x)ax3b
10、x2cxd(a0)，则 f(x)在 R R 上为增加的充要条件是( ) Ab24ac0 Bb0，c0 Cb0，c0 Db23ac0 解析：要使 f(x)在 R R 上为增加的，则 f(x)3ax22bxc0 在 R R 上恒成立(但 f(x) 不恒等于零)，故只需 4b212ac0，即 b23ac0. 答案：D 5若函数 f(x)在(0， )上可导，且满足 f(x)xf(x)，则一定有( ) fx A函数 F(x) 在(0， )上为增加的 x fx B函数 F(x) 在(0， )上为减少的 x C函数 G(x)xf(x)在(0， )上为增加的 D函数 G(x)xf(x)在(0， )上为减少的
11、解析：设 yxf(x)，则 yxf(x)f(x)0，故 yxf(x)在(0， )上为增加的 答案：C 6函数 y2x33x212x5 在0,3上的最大值与最小值分别是( ) A5，15 B5,4 C4，15 D5，16 解析：y6x26x12，令 y0，得 x1,2， 又 f(2)15，f(0)5，f(3)4， 最大值、最小值分别是 5，15. 答案：A 7函数 f(x)x3ax23x9，已知 f(x)在 x3 处取得极值，则 a( ) A2 B3 C4 D5 解析：f(x)3x22ax3， 又 f(x)在 x3 处取得极值，f(3)306a0. 得 a5. 答案：D 21 8把长为 12 c
12、m的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面 积之和的最小值是( ) 3 3 A. cm2 B4 cm2 2 C3 2 cm2 D2 3 cm2 解析：设一个三角形的边长为 x cm，则另一个三角形的边长为(4x) cm，两个三角形的 3 3 3 面积和为 S x2 (4x)2 x22 3x4 3(00. 所以 x2 时，S 取最小值 2 3. 答案：D 9设函数 f(x)ax2bxc(a，b，cR R)若 x1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，则 下列图像不可能为 yf(x)的图像的是( ) 解析：f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex，又 x1
13、 为函数 f(x)ex 的一个极值点， f(1)f(1)0，而选项 D 中 f(1)0，f(1)0，故 D 中图像不可能为 yf(x) 的图像 答案：D 10某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量为 Q，则销售量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则最大毛 利润(毛利润销售收入进货支出)为( ) A30 元 B60 元 C28 000 元 D23 000 元 解析：设毛利润为 L(p)， 由题意知 L(p)pQ20QQ(p20) (8 300170pp2)(p20) p3150p211 700p166 000，
14、 所以 L(p)3p2300p11 700. 令 L(p)0， 解得 p30或 p130(舍去) 22 此时，L(30)23 000. 因为在 p30附近的左侧 L(p)0， 右侧 L(p)0. 2 即 4a212( 3 )0， a a23a20，a2或 a0， 所以不存在实数 a，使得 f(x)是( ， )上的单调函数 16(本小题满分 12分)已知 f(x)ax3bx22xc在 x2 时有极大值 6，在 x1 时 有极小值，求 a，b，c的值；并求 f(x)在区间3,3上的最大值和最小值 解：(1)f(x)3ax22bx2，由条件知 Error! 1 1 8 解得 a ，b ，c . 3
15、2 3 1 1 8 (2)f(x) x3 x22x ， 3 2 3 f(x)x2x2(x1)(x2) 列表如下： x 3 (3，2) 2 (2,1) 1 (1,3) 3 f(x) 0 0 24 f(x) 26 6 6 3 2 61 6 61 3 由上表知，在区间3,3上，当 x3 时，f(x)取最大值 ，x1 时，f(x)取最小值 . 6 2 17(本小题满分 12分)已知函数 f(x)x33ax23x1. (1)当 a 2 时，讨论 f(x)的单调性； (2)若 x2， )时，f(x)0，求 a的取值范围 解：(1)当 a 2 时，f(x)x33 2x23x1.f(x)3x26 2x3. 令
16、 f(x)0，得 x1 21，x2 21. 当 x( ， 21)时，f(x)0，f(x)在( ， 21)上是增加的； 当 x( 21， 21)时，f(x)0，f(x)在( 21， 21)上是减少的； 当 x( 21， )时，f(x)0，f(x)在( 21， )上是增加的 (2)要使 x2， )时，f(x)0 恒成立，只需 x2， )时，f(x)min0 即可 由于 f(x)3(x22ax1)3(xa)21a2， 当 a21 时，f(x)0 且不恒为零，所以 f(x)在2， )上的最小值为 f(2)； 当 a21 时，由 f(x)0 可得 xa a21，记 x1a a21，x2a a21.结合二
17、次函数的性质易知，当 x( ，x1)(x2， )时，f(x)0，当 x(x1，x2) 时，f(x)0.所以 f(x)在( ，x1)和(x2， )上是增加的，在(x1，x2)上是减少的而由 x1 x20 知 x22，即 f(x)在2， )上是增加的，故此时也有 f(x)minf(2) 5 综上 可知，f(x)在2， )上的最小值为 f(2)3(4a5)，由 f(2)0，得 a ，故 a 4 5 的取值范围为 . ，) 4 1 18(本小题满分 12分)已知函数 f(x) x2aln x，aR R. 2 (1)若 a2，求这个函数的图像在点(1，f(1)处的切线方程； (2)求 f(x)在区间1，
18、e上的最小值 1 1 2 解：(1)a2 时，f(x) x22ln x，f(1) ，f(x)x ，f(1)1， 2 2 x 1 所以切线方程为 y (x1)，即 2x2y30. 2 a 1 (2)依题意，x0，f(x)x (x2a)， x x 当 a1 时，因为 x1，e，1x2e2，所以 f(x)0(当且仅当 xa1 时等号 1 成立)，所以 f(x)在区间1，e上是增加的，最小值为 f(1) . 2 当 ae2时，因为 1x2e2，所以 f(x)0(当且仅当 xe，ae2时等号成立)，所 25 1 以 f(x)在区间1，e上是减少的，最小值为 f(e) e2a. 2 1 当 1ae2时，解 f(x) (x2a)0 得 x a(负值舍去)，f(x)的符号和 f(x) x 的单调性如下表： x 1， a) a ( a，e f(x) 0 f(x) 最小值 1 1 故 f(x)在区间1，e上的最小值为 f( a) a a ln a. 2 2 1 1 1 综上所述，a1 时，f(x)的最小值为 f(1) ；1ae2时，f(x)的最小值为 f( a) a 2 2 2 1 aln a；ae2时，f(x)的最小值为 f(e) e2a. 2 26