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1、高考八大高频考点例析 命题及其关系 以四种命题，逻辑联结词为主要内容，考查四种命题之间的关系，及含有 考查方式 逻辑联结词的命题的真假，主要以选择题、填空题为主，属容易题 1.要掌握互为逆否的两个命题是等价的，对某些命题的判断可以转化为判 备考指要 断其逆否命题 2.命题 p或 q中，p，q有真则真；命题 p且 q中 p，q有假则假. 考题印证 例 1 (重庆高考)“命题 若 p则 q”的逆命题是( ) A若 q则 p B若綈 p则綈 q C若綈 q则綈 p D若 p则綈 q 解析“ 根据逆命题的概念可知， 若 p则 q”“的逆命题为 若 q则 p” 答案 A 跟踪演练 1设集合 Ax|2a0
2、，p：1A，q：2A.“若p或 q”“为真命题，p且 q”为假命题，则 a的取值范围是( ) A(0,1)(2， ) B(0,1)2， ) C(1,2 D1,2 解析：若 p为真，则2a1. 若 q为真，则2a2. 依题意，得 p假 q真，或 p真 q假 即Error!或Error!14”的否定是_ 解析：已知命题是特称命题，其否定为全称命题，把存在量词改成全称量词，再否定结论 答案：任意 xR R，x1 且 x24 圆锥曲线的定义及性质 主要考查椭圆、抛物线、双曲线的简单性质、待定系数法求圆锥 考查方式 曲线方程，圆锥曲线定义的应用，尤其是离心率是高考热点，选择题、 填空题、解答题都有可能出
3、现 “” 对于圆锥曲线的有关问题， 回归定义 是一种重要解题策略， 备考指要 应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合思想、方程思想的应用. 考题印证 x2 y2 例 4 (1)(新课标全国卷 )设椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2， a2 b2 P是 C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C的离心率为( ) 3 1 A. B. 6 3 4 1 C. D. 2 3 3 x2 y2 5 (2)(新课标全国卷 )已知双曲线 C： 1(a0，b0)的离心率为 ，则 C的渐近 a2 b2 2 线方程为( ) 1 1 Ay x By x 4 3 1 Cy x Dyx 2 解析 (
4、1)在 RtPF2F1中，令|PF2|1，因为PF1F230，所以|PF1|2，|F1F2| 2c |F1F2| 3 3.所以 e . 2a |PF1|PF2| 3 c 5 b 1 x2 y2 (2)由双曲线的离心率 e 可知， ，而双曲线 1(a0，b 0)的渐近线 a 2 a 2 a2 b2 b 1 方程为 y x，故所求渐近线方程为 y x. a 2 答案 (1)D (2)C 跟踪演练 7(四川高考)抛物线 y28x的焦点到直线 x 3y0 的距离是( ) A2 3 B2 C. 3 D1 解析：由抛物线方程知 2p8p4，故焦点 F(2,0)，由点到直线的距离公式知，F到直 |2 3 0
5、| 线 x 3y0 的距离 d 1. 13 答案：D 8设圆锥曲线 T的两个焦点分别为 F1，F2.若曲线 T上存在点 P满足|PF1|F1F2|PF2| 432，则曲线 T的离心率等于( ) 1 3 2 A. 或 B. 或 2 2 2 3 1 2 3 C. 或 2 D. 或 2 3 2 解析：设圆锥曲线的离心率为 e，因|PF1|F1F2|PF2|432，则若圆锥曲线为 |F1F2| 3 1 椭圆，由椭圆的定义，则有 e ；若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的 |PF1|PF2| 42 2 |F1F2| 3 3 1 3 定义，则有 e ；综上所述，所求的离心率为 或 ，故选 A. |PF1|PF2
6、| 42 2 2 2 答案：A 直线与圆锥曲线的位置关系 5 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点，涉及求弦长、焦点弦、中点弦、 考查方 取值范围、最值、定点、定值等问题，题型以解答题为主这类题目综合性强， 式 难度较大，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、 不等式、平面向量等知识综合 处理直线与圆锥曲线的位置关系时，常用联立方程组消元法得到一元二次方 备 考指 程，要注意直线的斜率不存在的情形，分析解决这类问题，往往利用数形结合的 要 思想，以及“设而不求”的方法，由于运算量较大，要注意运算结果的准确性. 考题印证 x2 y2 3 例 5 (天津高考)设椭圆 1(a
7、b0)的左焦点为 F，离心率为 ，过点 F且与 x a2 b2 3 4 3 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 (1)求椭圆的方程； (2)设 A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点 F且斜率为 k的直线与椭圆交于 C，D两点若 AC DB AD CB 8，求 k的值 c 3 解 设 F(c,0)，由 ，知 a 3c.过点 F且与 x轴垂直的直线为 xc，代入椭 a 3 c2 y2 6b 2 6b 4 3 圆方程有 1，解得 y ，于是 ，解得 b 2，又 a2c2b2，从 a2 b2 3 3 3 x2 y2 而 a 3，c1，所以椭圆的方程为 1. 3 2 (2)设点 C(x1，y1)，D
8、(x2，y2)，由 F(1,0)得直线 CD的方程为 yk(x1)， 由方程组Error!消去 y，整理得(23k2)x26k2x3k260. 6k2 根据根与系数的关系知 x1x2 ， 23k2 3k26 x1x2 . 23k2 因为 A( 3，0)，B( 3，0)，所以 AC DB AD CB (x1 3，y1)( 3x2， y2)(x2 3，y2)( 3x1，y1) 62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21) 6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k2 2k212 6 . 23k2 6 2k212 由已知得 6 8， 23k2 解得 k 2. 跟踪演练 9(陕西高考
9、)已知动点 M(x，y)到直线 l：x4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍 (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程； (2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A，B 两点，若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率 解：(1)如图，设点 M 到直线 l 的距离为 d，根据题意，d2|MN|. x2 y2 由此得|4x|2 x12y2，化简得 1，所以动点 M 的轨 4 3 x2 y2 迹方程为 1. 4 3 (2)法一：由题意，设直线 m 的方程为 ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2) x2 y2 将 ykx3 代入 1 中，有(34k2)x224kx240，
10、 4 3 其中，(24k)2424(34k2)96(2k23)0， 24k 由根与系数的关系得 x1x2 ， 34k2 24 x1x2 . 34k2 又因 A 是 PB 的中点，故 x22x1, 将代入，得 8k 12 x1 ，x21 ， 34k2 34k2 8k 12 3 可得 (34k2) 2 ，且 k2 ， 34k2 2 3 3 3 3 解得 k 或 k ，所以直线 m 的斜率为 或 . 2 2 2 2 法二：如图，由题意，设直线 m 的方程为 ykx3，A(x1，y1)，B(x2.y2) A 是 PB 的中点， x2 3y2 x1 ， y1 . 2 2 x21 y21 x y 2 2
11、又 1, 1， 4 3 4 3 联立，解得Error!或Error! 7 3 3 即点 B 的坐标为(2,0)或(2,0)，所以直线 m 的斜率为 或 . 2 2 10已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2， y2)(x10； 当 x16时，T21 Da0 或 a21 解 析：f(x)3x22ax7a，当 4a284a0，即 0a21 时，f(x)0 恒成立， 函数不存在极值点 答案：A x2 y2 8已知 F1，F2是椭圆 1 的两个焦点，P 为椭圆上一点，则|PF1|PF2|有( ) 16 3 A最大值 16 B最小值 16 C
12、最大值 4 D最小值 4 解析：由椭圆的定义知 a4，|PF1|PF2|2a248.由基本不等式知|PF1|PF2| 16 |PF1|PF2| 8 ( 2 ) (2 ) 2 216，当且仅当|PF 1|PF2|4 时等号成立，所以|PF1|PF2|有最 大值 16. 答案：A 9.已知函数 yxf(x)的图像如右图所示(其中 f(x)是函数 f(x)的导函 数)，下面四个图像中，yf(x)的图像大致是( ) 解析：x0 时，f(x)在(0,1)上有 f(x)0； 且 x1 处 f(x)取极小值 x0 且 x1 处 f(x)取极大值， 即函数 f(x)在( ，1)，(1， )上增加，在(1,1)
13、上减少，选项 C 符合题意 答案：C 10设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为( ) Ay24x By28x Cy24x Dy28x a a 解 析：a0时，F(，0 )，直线 l 方程为 y2(x4 )， 4 a 令 x0 得 y . 2 1 a a SOAF | |4.解得 a8. 2 4 2 同理 a11时，f(x)0，f(x)增加； 当1b0)的两个焦点，O为坐标原点， a2 b2 2 点 P(1， 2)在椭圆上，且 PF 1 F F 0，O是以 F1F2为直径的圆，直线 l：yk
14、xm 1 2 与O相切，并且与椭圆交于不同的两点 A，B. (1)求椭圆的标准方程； 2 (2)当OA OB ，求 k的值 3 1 1 解：(1)依题意，可知 PF1F1F2， c1， 1，a2b2c2，解得 a22，b21，c2 a2 2b2 1， x2 椭圆的 方程为 y21. 2 (2)直线 l：ykxm与O：x2y21 相切， |m| 则 1，即 m2k21. k21 由Error!得(12k2)x24kmx2m220， 直线 l与椭圆交于不同的两点 A，B. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 4km 0k20k0，x1x2 ， 12k2 2m22 x1x2 ， 12k2 m22k2 1k2 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2 ， 12k2 12k2 1k2 2 OA OB x1x2y1y2 ，k1. 12k2 3 20