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1、 组合图形组合图形的面积的面积 计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识， 适当添加辅助线， 搭一座连通已知条件与所求问题的小 “桥” ，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 例例 1、已知图 121 中，三角形 ABC 的面积为 8 平方厘米，AEED，BD=23 BC，求阴影部分的面积。 【解析】阴影部
2、分为两个三角形，但三角形 AEF 的面积无法直接计算。由于 AE=ED,连接 DF，可知 SAEF=SEDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。 因为 BD=23 BC，所以 SBDF2SDCF。又因为 AEED，所以 SABFSBDF2SDCF。因此，SABC5SDCF。由于 SABC8 平方厘米，所以 SDCF851.6（平方厘米），则阴影部分的面积为： 1.623.2（平方厘米）。 例例 2、在ABC 中（图 12-2），BD=DE=EC，CF：AC=1：3。若ADH 的面积比HEF 的面积多 24 平方厘米，求三角形 ABC 的面积是多少平方厘米
3、？ 【解析】ADH 的面积比HEF 的面积多 24 平方厘米， 则三角形 ADE 的面积比三角形 FDE 的面积多 24 平方厘米， 又因三角形 FDE 和三角形 FEC 的面积相等， 也就是说三角形 AEC 比三角形 FEC 的面积多 24 平方厘米， 又因多出的 24 平方厘米,是三角形 AEC 的面积的 23， 所以三角形 AEC 的面积是 24 2/3=36 平方厘米， 则三角形 ABC 的面积是 36 1/3=108(平方厘米)， 答：三角形 ABC 的面积是 108 平方厘米。 A B C F E D 121 12-2 例例 3、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形，如图
4、123 所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？ 【解析】已知 SBOC是 SDOC的 2 倍，且高相等，可知：BO2DO；从 SABD与 SACD相等（等底等高）可知：SABO等于 6，而ABO 与AOD 的高相等，底是AOD 的 2倍。所以AOD 的面积为： 623。 答：AOD的面积是 3。 例例 4、四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E、F 两点三等分，且四边形 AECF 的面积为 15 平方厘米。求四边形 ABCD 的面积（如图 124 所示）。 【解析】由于 E、F 三等分 BD，所以三角形 ABE、AEF、AFD 是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三
5、角形 BEC、CEF、CFD 的面积也相等。由此可知，三角形 ABD 的面积是三角形 AEF 面积的 3倍，三角形 BCD 的面积是三角形 CEF 面积的 3 倍，从而得出四边形 ABCD 的面积是四边形 AECF 面积的 3 倍。 15345（平方厘米） 答：四边形 ABCD 的面积为 45 平方厘米。 例例 5、如图 125 所示，BO2DO，阴影部分的面积是 4 平方厘米。那么，梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ 【解析】因为 BO2DO，取 BO 中点 E，连接 AE。根据三角形等底等高面积相等的性质，可知 SDBCSCDA；SCOBSDOA4，类推可得每个三角形的面积。所以： S
6、CDO422（平方厘米） SDAB4312 平方厘米 S梯形ABCD12+4+218（平方厘米） 答：梯形 ABCD 的面积是 18 平方厘米。 B C D A O 12-3 12 6 124 A B C D E F B A D C O E 125 例例 6、如图 1817 所示，长方形 ADEF 的面积是 16，三角形 ADB 的面积是 3，三角形 ACF的面积是 4，求三角形 ABC 的面积。 【解析】连接 AE。仔细观察添加辅助线 AE 后，使问题可有如下解法。 由图上看出：三角形 ADE 的面积等于长方形面积的一半（162）8。用 8 减去 3 得到三角形ABE 的面积为 5。同理，用
7、 8 减去 4 得到三角形 AEC 的面积也为 4。因此可知三角形 AEC 与三角形 ACF 等底等高，C 为 EF 的中点，而三角形 ABE 与三角形 BEC 等底，高是三角形 BEC 的 2倍，三角形 BEC 的面积为 522.5，所以，三角形 ABC 的面积为 16342.56.5。 例例 7 7、如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分。AOB 的面积是 2 平方千米，COD 的面积是 3 平方千米，公园陆地面积为 6.92 平方千米，那么人工湖的面积是多少平方千米？ 【解析】由BOC 与DOC 等高 h1，BOA 与DOA 等高 h2， 利用面积公式
8、：11BO h22，11DO h32，得 BO：DO=2：3， 即3DOBO2，又21BO h12 得2211 323DO hBO hBO h22 232。 则湖的面积为：31236.920.582（平方千米） 课堂狙击 1、如图所示，AEED，BC=3BD，SABC30 平方厘米。求阴影部分的面积。 【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形 AEF 的面积无法直接计算。 由于 AE=ED,连接 DF，可知 SAEF=SEDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。 305212 平方厘米 2、如图所示，DE12 AE，BD2DC，SEBD5 平方厘米。求三角
9、形 ABC 的面积。 126 A B C F D E ODCBA【解析】 5323 2212 平方厘米 3、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？ 【解析】 422 824 4、如图所示，已知四边形 ABCD 的对角线被 E、F、G 三点四等分，且阴影部分面积为 15平方厘米。求四边形 ABCD 的面积。 【解析】 15460 平方厘米 5、如图所示， AD=6，CG=4；求阴影部分的面积。（ABCD 为正方形） 【解析】 6626426 平方厘米 6243 平方厘米 （6+3）6227 平方厘米 6、如图所示，阴影部分面
10、积是 4 平方厘米，OC2AO。求梯形面积。 【解析】 428 平方厘米 8216 平方厘米 16+8+8+436 平方厘米 7、如图 1818 所示，长方形 ABCD 的面积是 20 平方厘米，三角形 ADF 的面积为 5 平方厘C B D A E F B C D A O 8 4 C B D A E F G G A B C D E 6 4 B A D C O A B C D E F 米，三角形 ABE 的面积为 7 平方厘米，求三角形 AEF 的面积。 【解析】 20273 312 1.5 20751.56.5 课后反击 1、如图所示，AE=ED，DC13 BD，SABC21 平方厘米。求阴
11、影部分的面积。 【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形 AEF 的面积无法直接计算。 由于 AE=ED,连接 DF，可知 SAEF=SEDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。 21739 平方厘米 2、已知三角形 AOB 的面积为 15 平方厘米，线段 OB 的长度为OD 的 3 倍。求梯形 ABCD 的面积。 【解析】 15345 15+5+15+4580 3、已知 SAOB6 平方厘米。OC3AO，求梯形的面积（如图所示）。 【解析】 6（3+1）24 632 24+6+232 A B C F E D B C D A O D B A C O 4、如
12、图 1819 所示，长方形 ABCD 的面积为 20 平方厘米，SABE4 平方厘米，SAFD6平方厘米，求三角形 AEF 的面积。 【解析】 20210 （104）10610 225 2064225 735 5、底边长为 6 厘米，高为 9 厘米的等腰三角形 20 个，迭放如下图： 每两个等腰三角形有等距离的间隔，底边迭合在一起的长度是 44 厘米回答下列问题： （1）两个三角形的间隔距离； （2）三个三角形重迭（两次）部分的面积之和； （3）只有两个三角形重迭（一次）部分的面积之和； （4）迭到一起的总面积 【解析】 （1）从图中可看出，有（20-1=）19 个间隔，每个间隔距离是（44-
13、6）19=2（厘米） （2）观察三个三角形的迭合画横行的两个三角形重叠画井线是三个三角形重叠部分， 它是与原来的三角形一般模样，但底边是原来三角形底的13（2 厘米），高也是原来三角形高的13（3 厘米），所以面积为13 232 （cm2）每三个连着的三角形重叠产生这样的一个小6222A B C D F E 9644三角形，每增加一个大三角形，就多产生个一个三次重叠的三角形，而且与前一个不重叠因此这样的小三角形共有 20-2=18（个），面积之和是 3 18=54（cm2）。 （3）每两个连着的三角形重叠分，也是原来的三角形一般模样的三角形，底边是原来三角形的23，高是原高的23，因此面积是2
14、1226912 cm233 . 每增加一个大三角形就产生一个小三角形共产生 20-1=19（个），面积19 12=228（cm2）所求面积 228-54 2=120（cm2） （4）20 个三角形面积之和，减去重叠分，其中 120cm2重叠次，54cm2重叠次 216 920 120542312 cm2 竞赛讲解： 1、图中 ABCD 是梯形，AECD 是平行四边形，则阴影部分的面积是( )平方厘米（图中单位：厘米）。 【解析】 阴影部分的面积等于以 12 为底以 10 为高的平行四边形面积的一半， 即 12102=60（平方厘米） 2、如图，已知长方形 ABCD 的面积是 24 平方厘米，三
15、角形 ABE 的面积是 5 平方厘米，三角形 AFD 的面积是 6 平方厘米，那么三角形 AEF 的面积是（ ）平方厘米。 【解析】 连结长方形对角线 AC，可知 SABC=SACD=12（平方厘米） 因为 SAFD=6（平方厘米），所以 SACF=6（平方厘米），由此可知 F 是 DC 边的中点 因为 SABE=5 （平方厘米） ， 所以 SAEC=7 （平方厘米） ， 由此可知 BEEC=57 因此5BEEC7，又DECFECSS. FECABE77SS53.51010（平方厘米）. AEFS2453.569.5（平方厘米） EDCBA1210FEDCBA计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识， 适当添加辅助线， 搭一座连通已知条件与所求问题的小 “桥” ，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。