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1、2013年浙江中考数学复习专题二次函数知识点归纳温州中学 浙江中考复习专题二次函数知识点归纳 二次函数知识点总结: 21(二次函数的概念:一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。 a,0yaxbxc,，abc这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零(二次函数的定义域是全体a,0bc实数( 22. 二次函数的结构特征: yaxbxc,，? 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2( xx? 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项( babcac二次函数的基本形式 21. 二次函数基本形式:的性质: yax,oo结论:a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2、 总结: 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a x,0时，y随的增大而增大;x,0时，y随x 00轴 ya,0 ，向上 0的增大而减小;x,0时，y有最小值( xx,0yx,0y时，随的增大而减小;时，随x 00y轴 ，a,0 向下 0x,0y的增大而增大;时，有最大值( x 22. 的性质: yaxc,，1 温州中学 结论:上加下减。 总结: 的符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 a 时，随的增大而增大;时，随x,0x,0yyx 0c轴 y a,0，向上 的增大而减小;时，有最小值( x,0yxc 时，随的增大而减小;时，随x,0x,0yyx 0c轴 y a,0，向下 的增大而
3、增大;时，有最大值( x,0yxc2yaxh,3. 的性质: ，结论:左加右减。 总结: 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 axh,时，随的增大而增大;xh,时，随yyx h0 a,0，向上 X=h 的增大而减小;xh,时，有最小值0( yx时，随的增大而减小;时，随xh,yxh,yxh0 ，a,0 向下 X=h 0的增大而增大;xh,时，y有最大值( x2yaxhk,，4. 的性质: ，2 温州中学 总结: 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a时，随的增大而增大;时，随xh,xh,yyx hk a,0，向上 X=h 的增大而减小;时，有最小值( xh,kyx时，随的增大而减小
4、;时，随xh,yxh,yx hk， a,0向下 X=h 的增大而增大;时，有最大值( kxh,yx二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 2yaxhk,，? 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标; hk，2? 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下: hkyax,，向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位2. 平移规律 hk 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”( 概括成八个字“左加右减，上加下减”( 22yaxhk,，三、二次函数与的比较 yaxbxc,，222yaxhk,，
5、请将yxx,，245利用配方的形式配成顶点式。请将配成。 yaxbxc,，总结: 22yaxhk,，从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前yaxbxc,，222bacb4,bacb4,者，即，其中( hk,yax,，,24aa24aa,3 温州中学 2四、二次函数图象的画法 yaxbxc,，22五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、yaxbxc,，yaxhk,，()对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴y的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，(若与轴0c0c2hc，x0x0xx，12没有交点，则
6、取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. yx2五、二次函数的性质 yaxbxc,，2,bbacb4, 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为( a,0 x,2a24aa,bbb当时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大;当时，有最小yyyx,x,x,xx2a2a2a24acb,值( 4a2,bbbacb4, 2. 当a,0时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为(当时，y随x,x,2a2a24aa,2bb4acb,的增大而增大;当时，y随的增大而减小;当时，y有最大值( x,x,xx2a2a4a六、二次函数解析式的表示方
7、法 2b1. 一般式:a,0(，为常数，); yaxbxc,，ac2hk2. 顶点式:(，为常数，a,0); yaxhk,，()aa,03. 两根式:(，是抛物线与轴两交点的横坐标). xxyaxxxx,()()x1212注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只2有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示(二次函数解析式xbac,40的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a2a,0二次函数中，作为二次项系数，显然( yaxbxc,，aa,0 ? 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越
8、小，反之的值越小，开口越大; aa4 温州中学 ? 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大( a,0aa总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小( aaa2. 一次项系数 b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴( ba? 在的前提下， a,0b当时，即抛物线的对称轴在轴左侧; b,0y,02ab时，即抛物线的对称轴就是轴; 当b,0y,02ab当时，即抛物线对称轴在轴的右侧( b,0y,02a? 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 a,0b当时，即抛物线的对称轴在轴右侧; b,0y,02ab当时，即抛物线的对称轴就是轴
9、; b,0y,02ab当b,0时，即抛物线对称轴在轴的左侧( y,02a总结起来，在确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置( a总结: 3. 常数项 c? 当c,0时，抛物线与y轴的交点在轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; x? 当0c,0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为; ? 当c,0时，抛物线与y轴的交点在轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负( x总结起来，决定了抛物线与y轴交点的位置( c总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的( abc二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析式
10、必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便(一般来说，有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式; x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式( 二、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 x22 关于轴对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,x22yaxhk,，yaxhk,关于轴对称后，得到的解析式是; x，y 2. 关于轴对称 22y 关于轴对称后，得到的解析式是
11、; yaxbxc,，yaxbxc,，5 温州中学 22yaxhk,，关于轴对称后，得到的解析式是yaxhk,，; y，3. 关于原点对称 22 关于原点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,，,22yaxhk,，yaxhk,，, 关于原点对称后，得到的解析式是; ，4. 关于顶点对称 2b22 关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc,，,; yaxbxc,，2a22yaxhk,，yaxhk,，关于顶点对称后，得到的解析式是( ，5. 关于点对称 mn，22yaxhk,，yaxhmnk,，,，,22关于点对称后，得到的解析式是 mn，根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，
12、抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变(求a抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式( 二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况): x22一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. yaxbxc,，y,0axbxc，,0图象与轴的交点个数: x2? 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次AxBx，00()xx,xx，x,bac40，1212122bac,42axbxca，
13、,00方程的两根(这两点间的距离ABxx,. ，21a? 当,0时，图象与轴只有一个交点; x? 当,0时，图象与轴没有交点. x1a,0 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有; xxy,0 2a,0当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有( xxy,022. 抛物线的图象与y轴一定相交，交点坐标为，; yaxbxc,，(0c)3. 二次函数常用解题方法总结: ? 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程; x? 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 2bb? 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符yaxbxc,，a
14、cac号判断图象的位置，要数形结合; ? 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的x一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 6 温州中学 2? 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数;axbxca，,(0)x下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: a,0,0抛物线与轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根 x两个交点 可零、可负 ,0轴只二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与x有一个交点 ,0轴无二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根 . 抛物线
15、与x交点 图像参考: 2y=2x二、学生基本情况分析：2y=x2xy=2一、指导思想：2xy= -22y= -xB、当a0时2y=-2x函数的取值范围是全体实数；7 (3) 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)温州中学 2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2+2y=2x九年级数学下册知识点归纳2y=2x(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.22y=2xy=2(x-4)2y=2x-4垂直于切线; 过切点; 过圆心.2y=2(x-4)-38 平方关系：商数关系：