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1、2.3数学归纳法一、选择题(每小题 5分，共20分)1. 一个关于自然数 n的命题，如果验证当n=1时命题成立，并在假设当n = k( k 1且k6 N)时命题成立的基础上，证明了当n=k+2时命题成立，那么综合上述，对于()A. 一切正整数命题成立B. 一切正奇数命题成立C. 一切正偶数命题成立D.以上都不对三、解答题(共70分)A. (15分)对于n N*,用数学归纳法证明：1 - n + 2 - ( n- 1) +3 - ( n- 2) +-+ (n-1) -2 .1 .+ n J =-n( n+ 1)( n+ 2).11112 .在数列 一an中，an= 1 一二十 二一 2 3 42
2、n-11.2n则 ak+1=()A.1 ak+2k+ 1_11B. ak+ -2k+2 2k+4-1C. ak+ ；2k + 2_11D. ak+ 二2k + 1 2k+23.设平面内有 k条直线，其中任何两条不平 行，任何三条不共点，设 k条直线的交点个数为f(k),贝I f(k+1)与 f(k)的关系是()A. f(k+1) =f(k) +k+ 1B. f(k+1) = f(k) +k 1C. f (k+ 1) = f ( k) +rkD. f(k+1) =f(k) +k+ 28. (20分)已知正项数列 an和bn中，a = a(0 a2 时，an=anbn, bn = bn 14.用数
3、学归纳法证明当 n为正奇数时，xn+yn 能被x + y整除，第二步归纳假设应写成 ()A.假设 n = 2k+1(k6 N*)正确，再推 n=2k+3 正确B.假设 n = 2k1(k6 N*)正确，再推 n=2k+1 正确C.假设n= k(k N*)正确，再推n= k+ 1正确D.假设n=k(k1)正确，再推 n=k+2正确、填空题(每小题5分，共10分)5.用数学归纳法证明n4+ n2时,当n= k+ 1时左端在 n= k时的左端加上 .6.利用数学归纳法证明( n+ 1)( n + 2) -( n+ n)= 2nx1X3Xx (2 n 1) , n6 N*” 时，从 “ n= k” 变
4、 到“n= k+1”时，左边应增乘的因式是 .9. (20 分)数列an满足 s=2nan(n6 N*) .(1)计算ai, a2, a3,并由此猜想通项公式(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.10.（15 分）已知点 pn（ an, bn）满足 an+1 = an- bn+1,bnbn+1 = 1-40（ n N）且点 R的坐标为（1 ,(1)求过点P1, P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于 nc 2,点R都在(1) 中的直线l上.选择题2.3数学归纳法 答题纸5.填空题6 .得分：题号1234答案三、解答题7.8.9.10.2.3数学归纳法答案、选择题1.B解析：本题证的
5、是对n=1,3,5,7,命题成立，即命题对一切正奇数成立.11112.D 解析： a1 = 1 -a2=1 刁+不一22 3 41111Jt 以 ak+1 = ak +- 2k- 1 2k a a 2k + 1 2k+ 2.1111111 1an= 1 一7 + 7二+ T , ak= 1 二 +工-7+2 3 42n- 1 2n2 3 43.C解析：当n=k+ 1时，任取其中1条直线，记为l ,则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k),因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他 k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平
6、面内其他的f ( k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k) + k=f(k+ 1).4.B解析：首先要注意 n为奇数，其次还要使 n = 2k-1能取到1.二、填空题5.( k2+ 1) +(k2+2) +-+ (k+1)2解析：n=k 时左端为1 + 2+3 +k2,n=k+1时左端为1 + 2+3 + k2+(k2+1) +(k2 + 2)+ (k+ 1)2.6.2(2 k+1)解析：当 n = k(kc N*)时，左式为(k+ 1)(=k + 2)(k+k)；当 n=k+ 1 时，左式为(k+ 1 + 1) ( k+ 1 +2)(k+1 + k-1) - ( k+1+k)
7、( k+ 1 + k+ 1),则左边应增乘的式子是(2 k+ ：)(2 k+2) = 2(2 k+1).k+1三、计算题7.证明：设 f(n)=1 n+ 2 - ( n-1) +3 - ( n-2) +-+ ( n-1) - 2+ n 1.(1)当n=1时，左边=1,右边=1,等式成立；1.(2)设当 n= k 时等式成立，即 1 - k+ 2 ( k 1) + 3 ( k 2) +-+ (k-1) 2+ k - 1= -k( k+ 1)( k+2),6则当n= k+ 1时，f(k + 1) =1 - ( k + -1) + 2( k+ 1) - 1 + 3( k+ 1) -2 + ( k+
8、1) -2 - 3+ ( k+ 1) -1 - 2+ r(k +1) , 1=f( k) + 1 + 2+ 3+ - + k+(k+1)1 ,1= 6k(k+ 1)( k+2) +k+ 1)( k+1 + 1)1 =-(k+ 1)( k+2)( k+ 3).6由(1)(2)可知当n 6 N时等式都成立.8.解：(1)证明：用数学归纳法证明.当n = 1时，a1 + b1 = a+ (1 - a) = 1,命题成立；假设n=k( kl 且kc N*)时命题成立，即&+bk=1,则当n=k+1时，ak+1 + bk+1=&bk+1+bk+1 = (ak +bkbkbk ,1) - bk+1=(ak
9、+1) 二产5r 1.当n=k+ 1时，命题也成立.由、可知，an+ bn= 1对n N*恒成立.;an+1 = anbn+ 1 =anbnan(1 an)an1 On1 an 1 + an1 + an1=-+1anI, ，1 I 一,数列 0-是公差为1_ ,11的等差数列,其首项为a,111-+ (nT)”,从而an9.解：(1) ai = 1, a21 + (n-1)a3 一 7 _ 152 a3= 4, a=万，an +1anr 11即=1. 2n 1*由此猜想 an= 2n-1 (n 6 N). 证明：当 箱=1时，a1=1,结论成立.假设n = k(k1,且k N)时，结论成立,即ak2k 1那么n2k-1，=k+ 1(k1,且 kc N)时,ak+1S 1)时，2ak+bk=1 成立，则当n = k+ 1时，bk2ak+1 + bk 1 = 2ak bn 1 + bk 1 = 14a2(2 ak+1)bk1 2ak=)/ =) / =1,1 2ak 1 - 2ak:当n=k+ 1时，命题也成立.由知，对 nc N*,都有2an+bn=1,an+1an即点Pn在直线l上.1 a1 2 * n-1 .(1)证明：又t任意 nc N*,有bn= 1 ；求数列an的通项公式.