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1、北京 101101 中学 20182018 届下学期高三年级 3 3 月月考数学试卷（理科） 一、选择题：共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 在复平面内，复数 z 满足 z（1+i）=2，则 z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知直线 l1：x+ay-1=0，l2：（a+1）x-ay=0，若 p：l1l2；q：a=-2，则 p 是 q 的 （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 y 6 0 3x 3. 设 x，y 满足约
2、束条件 ，则目标函数 z=-2x+y 的最小值为（ ） x y 2 0 x 0, y 0 A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 4. 我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺， 两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”现用程序框图描述，如 图所示，则输出的行值 n 为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 函数 y=2x2-e|x|在-2，2的图象大致为（ ） - 1 - 6. “某学校开设 蓝天工程博览课程”，组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选
3、择甲博物馆的方案有 （ ） A. A 2 A4 种 B. A 54种 C. C 2 54 种 D. C A 种 2 2 4 6 5 6 6 6 5 7. 设函数 f（x）=Asin（ x+ ）（A， ， 是常数，A0， 0），且函数 f（x）的部分 图象如图所示，则有（ ） 3 5 7 A. f ( ) f ( ) f ( ) 4 3 6 3 7 5 B. f ( ) f ( ) f ( ) 4 6 3 5 7 3 C. f ( ) f ( ) f ( ) 3 6 4 - 2 - 5 3 7 D. f ( ) 0，y0，x+2y=1，则 的最小值为_。 x y 12. 一个几何体的三视图如图所
4、示，则这个几何体的体积为_。 a 13. 在（x+ ）（2x-1）5展开式中，各项系数之和为 4，则展开式中的常数项为_。 x 14.已知函数 f（x），对于给定的实数 t，若存在 a0，b0，满足：xt-a，t+b，使得 |f（x）-f（t）| 2，则记 a+b 的最大值为 H（t）。 （1）当 f（x）=2x时，H（0）=_； （2）当 f（x）=x2且 t1，2时，函数 H（t）的值域为_。 - 3 - 三、解答题：共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. 在 ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c 且满足（2a-c）cosB=bcosC。
5、 3 3 （I）求角 B 的大小；（II）若 ABC 的面积为 ，且 b= 3 ，求 a+c的值. 4 16. 某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200人。为了解学生本学期课外阅读时间，现采 用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“”初中学生 和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5 组：0，10）， 10，20），20，30），30，40），40，50，并分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直 方图。 （I）写出 a 的值； （II）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数； （III）从阅读
6、时间不足 10个小时的样本学生中随机抽取 3 人，并用 X 表示其中初中生的 人数，求 X 的分布列和数学期望。 17. 如图，四边形 ABCD是 梯 形 ， ADBC， BAD=90， 四 边 形 CC1D1D 为矩形，已知 ABBC1，AD=4，AB=2，BC=1。 - 4 - （I）求证：BC1平面 ADD1； （II）若 DD1=2，求平面 AC1D1与平面 ADD1所成的锐二面角的余弦值； （III）设 P 为线段 C1D 上的一个动点（端点除外），判断直线 BC1与直线 CP 能否垂直?并 说明理由。 x y 1 2 2 18. 如图，已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，F
7、为椭圆 C 的右焦点。A a b 2 2 2 （-a，0），|AF|=3。 （I）求椭圆 C 的方程； （II）设 O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为 M。直线 OM与直线 x=4 交于点 D，过 O 且平行于 AP 的直线与直线 x=4交于点 E。求证：ODF=OEF。 ln(2x) 19. 已知函数 f（x）= 。 x （I）求 f（x）在区间1，a（a1）上的最小值； （II）若关于 x 的不等式 f2（x）+mf（x）0只有两个整数解，求实数 m 的取值范围。 20. 设 数 列 an满 足 ： a1=1； 所 有 项 anN*； 1=a10，2cosB=1，cosB= 1
8、2 又0= 。 | m | n | 29 3 29 即平面 AC1D1与平面 ADD1所成的锐二面角的余弦值为 。10 分 29 （III）结论：直线 BC1与 CP 11 分 证明：设 DD1=m（m0）， DP =DC （ （0，1）， 1 由 B（4，2，0），C（3，2，0），C1（3，2，m），D（0，0，0）， 得 DC DP DC CD BC =（-l，0，m）， =（3，2，m）， = =（3 ，2 ， m）， =（-3， 1 1 1 -2，0），CP =CD +DP =（3 -3， 2 -2， m）。 12分 若 BC1CP，则 BC1 =-（3 -3）+ m CP 2=0，
9、即（m2-3） =-3，因为 0， 3 所以 m2=- +30，解得 1，这与 00 得 f（x）的递增区间为（0， ）； x 2 2 e 令 f （x） 时，f（x）在1， ）上为增函数，在（ ，a上为减函数，f（2）= =ln2=f（1）， 2 2 2 2 e 若 2，f（x）的最小值为 f（a）= ， 5 分 a 综上，当 12，f（x）的最小值为 f（a）= . 6分 a e e e （2）由（1）知，f（x）的递增区间为（0， ），递减区间为（ ，+），且在（ ，+ 2 2 2 1 ）上 ln2xlne=10，又 x0，则 f（x）0. 又 f（ ）=0. 2 m0 时，由不等式 f
10、2（x）+mf（x）0得 f（x）0或 f（x）0解集为 1 （ ，+ ），整数解有无数多个，不合题意； 9分， 2 1 1 m=0时，由不等式 f2（x）+mf（x）0 得 f（x） 0，解集为（0， ） （ ，+）， 2 2 整数解有无数多个，不合题意； . . . . . 10 分 m0 得 f（x）-m或 f（x）0有两整数解，则 f（3） -mf（1）=f（2）， 1 -ln2m- ln6 3 1 综上，实数 m 的取值范围是（-ln2，- ln6 . . . . . . 13 分 3 20. （本小题 13 分） （I）1，3，6 3分 （II）由 an=4n-1m，得 nl+lo
11、g4m（mN*） 4 分 当 1m3，mN*时，b1=b2=b3=1 5 分 当 4m15，mN*时，b4=b5=b15=2 6 分 当 16m50，mN*时，b16=b17=b50=3 7分 b1+b2+b50=13+212+335=132 8分 （III）a1=S1=1+c=1 c=0 当 n2 时，an=Sn-Sn-1=2n-1 an=2n-1（nN*） 9 分 m 1 由 an=2n-lm 得，n （mN*） 2 因为使得 anm 成立的 n 的最大值为 bm， 所以 b1=b2=1，b3=b4=2，b2t-1=b2t=t（tN*） 当 m=2t-1（tN*）时； 1 (t 1) 1 Tm=2 （t-1）+t=t2= （m+1）2 . . . . . . . . . . . . . . 11 分 2 4 当 m=2t （tN*）时； - 11 - 1 t 1 Tm=2 t=t2+t= m（m+2） 12分 2 4 ( 2 m 1) (m 2t 1,t N*) 4 所以 Tm= 13 分 m(m 2) (m 2t,t N*) 4 - 12 -