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1、北京师大附中 2017-20182017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文 科） 说明：本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题（每小题 5 5 分，共 4040分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项， 请将答案填在答题纸上） 1设集合 A x |1 x 3，集合 ，则集合 等于 ( ) B x | x 4 A B 2 Ax | 2 x 3 Bx | x 1 Cx |1 x 2 Dx | x 2 2已知函数 y f (x) 的图象关于 x 1对称，且在 (1,)上单调递增，设 ( 1) ， a f 2 b f (2) c f (3) a,b,c ，
2、 ，则 的大小关系为 ( ) A c b a Bb a c Cb c a D a b c 3下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A y x2 sin x B y x2 cos x C 2 1 D y x y x sin 2x 2 x x y 2 2 2 2 1( 0, 0) a b 2 3 4设双曲线 的虚轴长为 2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程 a b 为 ( ) A y 2x B y 2x C D y 2 x 1 y x 2 2 5设全集 U 是实数集 R， ， ，则下图中阴影部分所表 M x x | 2 1 | 4 N x 2 x 1 示的集合是 ( ) - 1 - Ax
3、 | 2 x 1 Bx | 2 x 2 Cx |1 x 2 Dx | x 2 a b 2 2 6“ ab0”“是 ”的( ) ab 2 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7当 x 1时，关于函数 ( ) 1 ，下列叙述正确的是( ) f x x x 1 A函数 f(x)有最小值 2 B函数 f(x)有最大值 2 C函数 f(x)有最小值 3 D函数 f(x)有最大值 3 8定义在区间a，b上的连续函数 y=f(x)，如果 a,b，使得 f (b) f (a) f ()(b a) ，则称 为区间a，b“上的 中值点”，下列函数： f (x) 3x 2 ；
4、 f (x) x2 x 1； f (x) ln(x 1) ； ( ) ( 1)3 f x x 2 中，在区间O，1“”上 中值点 多于一个的函数序号为( ) A B C D 二、填空题（每小题 5 5 分，共 3030分，请将答案填在答题纸上） 9已知复数 z a(1 i) 2 为纯虚数，则实数 a=_ 10若 f (x) x2 2x 4ln x ，则 f (x) 0 的解集为_ x x 3 2, 1, 11已知函数 ，若 ，则实数 a=_ f (x) f ( f (0) 4a x ax, x 1, 2 12已知 a 0,b 0,a b 2 ，则 y 1 4 的最小值是_ a b 13已知函数
5、 f (x) 的导函数 f (x) 的图像如图所示，给出以下结论： - 2 - 函数 f (x) 在（-2，-1）和(1，2)是单调递增函数； 函数 f (x) 在 x=0 处取得极大值 f(0)； 函数 f (x) 在 x=-1 处取得极大值，在 x=1处取得极小值； 函数 f(x)在(-2，0)上是单调递增函数，在(0，2)上是单调递减函数 则正确命题的序号是_（填上所有正确命题的序号） 14如图， 矩形 ABCD与矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，将DEF 沿 FD翻折，翻折后的点 E（记 为点 P）恰好落在 BC 上，设 AB=1，FA =x(x1)，AD=y则当 x= 2 时，y
6、有最小值_ 三、解答题（共 8080分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15（满分 13分）己知函数 f x x3 3x 1 (I)求函数 f(x)的极值： (II)求函数 f(x)在0，2上的最大值； 16（满分 13 分）已知集合 A 是函数 y lg(20 8x x2 ) 的定义域，集合 B 是不等式 x2 2x 1 a2 0(a 0) p : x A,q : x B 的解集， （I）若 A B ，求 a 的取值范围； （II）若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围 17（满分 13 分）设 F 为抛物线C : y2 4x 的焦点，A、B 是抛物线 C 上的两个
7、动点，O 为 坐标原点 - 3 - (I)若直线 AB经过焦点 F，且斜率为 2，求线段 AB 的长度|AB|； (II)当 OAOB 时，求证：直线 AB 经过定点 M(4，0) 18（满分 14 分）已知四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=2， E，F 分别是 PB,PD 的中点 （I）求证：PB平面 FAC； （II）求三棱锥 P-EAD 的体积； （III）求证：平面 EAD平面 FAC 19（满分 13分）已知椭圆C：x2 2y2 9 ，点 P(2，0) (I)求椭圆 C 的短轴长与离心率； (II)过(1，0)的直线l 与椭圆 C 相交
8、于 M、N 两点，设 MN 的中点为 T，判断|TP|与|TM|的 大小，并证明你的结论 20（满分 14分）已知函数 f x ln x x (I)求函数在点(1，0)处的切线方程； (II)设实数 k 使得 f(x)0，且 , A(x , y ), B(x , y ) 1 2 3, 1 2 1 x x x x 1 1 2 2 所以 2 AB 5 x x 5 (x x ) 4x x 5 1 2 1 2 1 2 - 5 - t s 2 2 （II）因为 A，B 是抛物线 C 上的两点，所以设 ， A( ,t), B( ,s) 4 4 2 (st) 由 OAOB，得 ，所以 OAOB st 0 s
9、t 16 16 2 2 2 2 ( )( 16) t s t s t s ts MA ( 4,t),MB ( 4,s), ( 4)s ( 4)t 0 4 4 4 4 16 由 ，知 MA A MB ，即直线 AB 经过定点 M（4,0） 18解：（I）连接 BD，与 AC交于点 O，连接 OF， 在PBD 中，O，F 分别是 BD，PD 中点， 所以 OFPB， 又因为 OF 平面 FAC，-1 分 PB 平面 FAC， 所以 PB/平面 FAC， 说明：本题下面过程中的标灰部分不写不扣分 （II）法 1：因为 PA平面 ABCD，AB,AD 平面 ABCD， 所以 PAAB，PAAD， 又因
10、为 ABAD， PA AB A，PA,AB 平面 PAB， 所以 AD平面 PAB， 在直角PAB 中，PA=AB=2，E 为 PB 中点， 所以 S 1， PAE 1 2 所以三棱锥 P-EAD 的体积为 V S AD P EAD PAE 3 3 法 2：因为 PA平面 ABCD，所以 PA 为棱锥 P-ABD的高 因为 PA=AB=2，底面 ABCD 是正方形， - 6 - 1 1 1 4 所以 ， V S PA 2 2 2 P ABD ABD 3 3 2 3 因为 E 为 PB 中点，所以 ， S S PAE ABE 1 2 所以 V V P EAD P ABD 2 3 （III）证明：
11、 因为 AD平面 PAB，PB 平面 PAB， 所以 ADPB， 在等腰直角PAB 中，AEPB， 又 AE AD A，AE,AD 平面 EAD， 所以 PB平面 EAD， 又 OFPB， 所以 OF平面 EAD， 又 OF 平面 FAC， 所以平面 EAD平面 FAC C x y 2 9, 2 9 , 2 9 , : 1 a b c 2 2 19解：（I） ，故 9 9 2 2 2 有 a 3， 3 2 b c 2 椭圆 C 的短轴长为 2b 3 2 ，离心率为 2 e c a 2 （II）方法 1：结论是： TP TM 当直线l 斜率不存在时，l : x 1, TP 0 TM 2 当直线l
12、 斜率存在时，设直线l : y k(x 1),M (x , y ), N(x , y ) 1 1 2 2 2 2 2 9 x y y k(x 1) (2k 1)x 4k x 2k 9 0 2 2 2 2 ，整理得： (4k ) 4(2k 1)(2k 9) 64k 36 0 2 2 2 2 2 故 4k 2k 9 2 2 x x , x x 1 2 2 1 2 2 2k 1 2k 1 - 7 - PM PN (x 2)(x 2) y y 1 2 1 2 (x 2)(x 2) k (x 1)(x 1) 2 1 2 1 2 (k 1)x x (k 2)(x x ) k 4 2 2 2 1 2 1 2
13、 2k 9 4k 2 2 (k 1) (k 2) k 4 2 2 2 2k 1 2k 1 2 2 6k 5 2 2k 1 2 0 故 MPN 90 ，即点 P 在以 MN 为直径的圆内，故 TP TM （II）方法 2：结论是 TP TM 当直线l 斜率不存在时，l : x 1, TP 0 TM 2 当直线l 斜率存在时，设直线l : y k(x 1),M (x , y ), N(x , y ),T(x , y ) 1 1 2 2 T T 2 2 2 9 x y y k(x 1) ，整理得： (2k2 1)x2 4k2 x 2k 2 9 0 (4k ) 4(2k 1)(2k 9) 64k 36
14、 0 2 2 2 2 2 故 4k 2k 9 2 2 x x , x x 1 2 2 1 2 2 2k 1 2k 1 1 2k k x (x x ) , y k(x 1) 2 T T T 1 2 2 2 2 2k 1 2k 1 2k k (2k 2) k 4k 9k 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 TP (x 2) y ( 2) ( ) T T 2 2 2 2 2 2 2k 1 2k 1 (2k 1) (2k 1) 1 1 1 TM ( MN ) (k 1)(x x ) (k 1)(x x ) 4x x 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 1 4k 2k
15、 9 (k 1)(16k 9) 16k 25k 9 2 2 2 2 4 2 2 2 (k 1)( ) 4 4 2k 1 2k 1 (2k 1) (2k 1) 2 2 2 2 2 2 此时， 16k 25k 9 4k 9k 4 12k 16k 5 4 2 4 2 4 2 TM TP 2 2 (2k 1) (2k 1) (2k 1) 2 2 2 2 2 2 0 故 TM TP 20解：（I） y x 1； - 8 - （II）因为 x 0 ，所以 ln x kx 恒成立等价于 ln x 恒成立， k x x 2 ln x ln x ( ) ln e 1 令 ，再求函数 的最大值 ，得 k 的范围是 g(x) g(x) g e x x e 2e 2 2 k 1 ； 2e （III）由 h(x) f (x) kx 0 ，得 ln x kx 0 ，即 ， ， ln x kx2 0 k ln x x x 2 ln x ln x ( ) ln 1 e g(1) e2 研 究函数 ， 的最大值 ， ， x x e 2e e 2 2 1 g(e) e 2 1 所以，当 或者 时，有 0 个零点； k k e2 2e 1 1 k e2 k 2e e 当 或者 时，有 1 个零点； 2 1 1 当 时，有 2 个零点； k e 2e 2 - 9 -