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1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二),第二章2.4平面向量的数量积,学习目标1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一平面向量数量积的运算律,类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.,正确,错误,正确,错误,知识点二平面向量数量积的运算性质,类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.,(ab)2a22abb2,(ab)2a22abb2,(ab)(ab)a2b2,(abc)2a2b2c22ab2bc2ca,1.向量的数量积运算满足(
2、ab)ca(bc).()2.已知a0，且acab，则bc.()3.(ab)ab.(),思考辨析 判断正误,答案,题型探究,类型一向量数量积的运算性质,例1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b不与c垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确结论的序号是_.,答案,解析,解析根据向量积的分配律知正确；因为(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，(bc)a(ca)b与c垂直，错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|ab|组成三角形三边，|a|b|ab|成立，正确；正确.故正确
3、结论的序号是.,反思与感悟向量的数量积ab与实数a，b的乘积ab有联系，同时有许多不同之处.例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律.,跟踪训练1对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是A.|ab|a|b| B.|ab|a|b|C.(ab)ca(bc) D.|a|,答案,解析,解析因为ab|a|b|cosa，b，所以|ab|a|b|，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|ab|a|b|，只有当a，b同向时取“”，所以B错误；因为(ab)c是向量，其方向与向量c相同，a(bc)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；因为aa|a|a|cos 0|a|2，,
4、类型二平面向量数量积有关的参数问题,解答,命题角度1利用向量数量积处理垂直问题例2已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直.,解由已知得ab32cos 603.若cd，则cd0，cd(3a5b)(ma3b)3ma2(5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870，,反思与感悟由两向量垂直求参数一般是利用性质：abab0.,跟踪训练2已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，且bc，则t_.,2,解析由题意，将bcta(1t)bb0整理，得tab(1t)0，,答案,解析,命题角度2由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
5、例3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角， 则k的取值范围为_.,(0,1)(1，),解析e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.但当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.综上，k的取值范围为k0且k1.,答案,解析,反思与感悟向量a，b的夹角为锐角，得到ab0；反之，ab0不能说明a，b的夹角为锐角，因为a，b夹角为0时也有ab0.同理，向量a，b的夹角为钝角，得到ab0；反之，ab0不能说明a，b的夹角为钝角，因为a，b夹角为180时也有ab0.,解答,跟踪
6、训练3若向量e1，e2满足|e1|e2|1，e1，e2的夹角为60，向量2te1e2与向量e1e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.,解设向量2te1e2与向量e1e2的夹角为，由为钝角，知cos 0，,又当时，也有(2te1e2)(e1e2)0，但此时夹角不是钝角，设向量2te1e2与向量e1e2反向，则2te1e2k(e1e2)(k0)，,达标检测,1.下面给出的关系式中正确的个数是0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A.1 B.2 C.3 D.4,答案,1,2,3,4,5,解析,解析正确，错误，错误，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2，故选C
7、.,1,2,3,4,5,答案,解析,2.已知|a|2，|b|1，a与b之间的夹角为60，那么向量a4b的模为,解析|a4b|2a28ab16b222821cos 60161212，,答案,1,2,3,4,解析,5,解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，,答案,解析,1,2,3,4,5,A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形,1,2,3,4,5,答案,解析,解析(ab)aa2ab0，aba21，设a与b的夹角为，,规律与方法,1.数量积对结合律不一定成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而(ac)b|a|c|cosa，cb是一个与b共线的向量，若b与c不共线，则两者不相等.2.在实数中，若ab0，则a0或b0，但是在数量积中，即使ab0，也不能推出a0或b0，因为其中cos 有可能为0.3.在实数中，若abbc，b0，则ac，在向量中abbc，b0ac.,