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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题6分，共30分？)1 (甲)？如果实数已b, c在数轴上的位直如图所示，那么代数式4、a+b+/c-a) 2可以化简为().(A) 2c-a (B) 2a_2b(C) 一 a(D) a1 (乙)？如果a = -2 + /2 t那么1 + 一 的值为().2 +3 +a(A)-近(B) y/2(C) 2(D) 2A2b2 (甲)？如果正比例函数y-axaA 0)与反比例函数y- (方工0 )的图象有两个交点，其 x中一个交点的坐标为( 3, -2),那么另一个交点的坐标为().(A)(2, 3)(B)(3, -2)
2、(C)(-2, 3)(D)(3, 2)2 (乙)？在平面直角坐标系班中，满足不等式 M+护的整数点坐标(y y)的个数为()?(A) 10(B) 9(C) 7(D) 53 (甲)？如果e 为给定的实数，且l487? ”为宝也阜卜回尹业凰I一次操作.如果操作进行四次才停止，那么天的取值围是 6 (乙)? 如果a, b, c是正数，且满足d+ + c = 9,11 1 1011 =a+b h+c c+a 97 （甲）.如图，正方形4RCQ的边长为2/15 ,E、F分别是力BC的中点,AF与DE, DB分别交于点M, N,则4QMN的面积是-的值条对角BID7 （乙）？如图所示，点A在半径为20的圆
3、。上，以OA为一线作矩形OBAC,设直线BC交圆。干E两点，若OC = 12,则线段CE. BD的长度差是 039X 2018（甲）？如果关干*的方程/E+2二/_31= = 0的两个实数根分别为册，花，那么斗河 的42x2A值为.8（乙）.设为整数，且1MRW2012.若（；r-/i + 3 ） （ zr+n + 3 ）能被5整除，则所有的个数为?9 （甲）.2位八年级同学和山位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得 3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后,所有 同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则山的值
4、为 10 （乙）？如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长，那么称（上 y, Z）是三角形数？若（Q b, c）和（汕P均为三角形数，且5 -呻的取值围是11 （甲）如图，四边形 ABCDAOO,力是直径，AD = DC.分别延长34, CD,交点为作BF_EC,弁与EC的延长线 交于点龙aae=AOEC=6,则OF的长 为?10 （乙）？巳知是偶数，且1GU100.若有唯一的正整数对 （弘Z?）使得a2=b2+n成立，则这样的的个数为、解答题（共4题，每题15分，共60分）11（甲）？巳知二次函数y = F+ （2 + 3 ） X + ？+2,当一 lx0|过点0,且与OO切于点B. C为
5、OO上的点，0C与g交干点D,且0DCD?点E在0D上，且DC = DE,宓的延长线与00】交干点F ,求证：HBOCSHDOF12 （乙）？如图，QO的接四边形ZBCQ中，AC,妙是它的对角线，力。的中点/是的心.求证:（1）少是妙的外接圆的切线； AE+AD=2ED13 （甲）？巳知整数日勺方满足：a-b是素数，且是完全平方数.当0X2012时，求曰的最小值.13 （乙）？给定一个正整数，凸”边形中最多有多少个角等于 150。?弁说明理由.14 （甲）？求所有正整数力，使得存在正整数X, X2,，X2012，满足西 七? ? 2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数0 b c （可
6、以相同），使得J=c,求的最小值参考解答选择题1（甲）.C解：由实数d b, c在数轴上的位宣可知baOca) (h + c)=所以 4AAa + b +y(c-a)2 + h + c=-a + (a + b) + (c1 （乙）？ B解:2+77?2=1 +=1 +=1 + xS -1? /2+1yj22 （甲）？ D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关干原点对称，因此另一个交点的坐标为（3, 2） ?2 （乙）？ B?:由题设/E +曲2重+2匕得0l)2+(y-l)F2(-1)2 =1 ,O 1) ?因为上y均为整数，所以有1)2=0,6 _ 1)2=0,* -
7、1)0-1)2 =0 :/y-i)2=i：0 1)2 =0 ：x = LT；4x = L.y = 2 :X = broJ =:? = 0, fx = 0?y = ： y = 0 ；x = 0,= Jx = 2?y =y = ; y = 0 :解得2：x = 2=2以上共计9对（上刃？3 （甲）.D)_ 3 + 4d + 2b解：由题设知，1 Vd + ld+b + lM+ ，所以这四个数据的平均数为l + (d + l) + (a + b + l) + (2a +中位数为(a + l) + (a + b + l) 4 + 4a + 2/?2= 4 ,曰4 + 4d + 2/? 3 + 4a +
8、 2b_l干是4 _ 4 = 4 ?3 (ZJ. B解：如图，以仞为边作等边 ACQE,连接血由干力EC, CD= CE. ECD4 ECA+ 乙 ACDW DCE+ 乙 ACD =上 ACE 所以 BCDAAACE, BD= AE.又因为 ZADC = 30P,所以 ZADE = 90。.在 Rt A ADE 中，AE = 5, AZ) = 3,干是 DE=Jae-AD2 =上y均为非负整数.由题设可得4,所以 CQ= DE = 4.4 (甲)？ D解：设小倩所有的钱数为衣元、小玲所有的钱数为y元，x + 2 = n(y-2)9Vy + n = 2(x-n)r(2y7)n = j+4,(2y
9、-7) + 15. .152y-72y_7因为为正整数，所以2y-7的值分别为1,3, 5,15,所以y的值只能为4, 5, 6, 2y-l11.从而力的值分别为8, 3, 2, 1; x的值分别为14,7, 6,7.4 (乙)？ C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为- 0,所以32-3p-c/ 0,即3p + q9.由于，q都是正整数，所以/7=1, 1 (75;或p = 2, 1Q0.干是共有7组S, 9)符合题意.5 (甲).D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，具和除以4的余数分别是0,1,2, 3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以989
10、10 mit 目，厂花尹=芬/?2 = 36“产京因此属最大.5（乙）？ CB：因为o + b + + l = a + l ） （b + l）,所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变.设经过99次操作后黑板上剩下的数为 x，则1 J ,1| - 1 一 ”_ I I+L 23 呵），解得x+l = 101, x = 100.、填空题6（甲）？ 7x19解：前四次操作的结果分别为3x-2, 3 (3x-2 ) -2 = 9x-8, 3 (9x-8 ) -2 = 27x-26, 3 (27 衣 26) 2 = 81x 80? 由巳知得j27x-26487.解得7x 19容易验证，当
11、7VXV19时，3X-2W487 9.v-8487, 故的取值围是 7x/5 cosZBA=?AF 5 由题设可知 ADdEAF.所以 ZAED = ZAFB,ZAME： 180 - ZBAF - ZAED = 180 - ZBAF - ZAFB = 90 .于是 AM =AE cos ZBAF = a ,MN = AN-AM= ZaF-AM = 315S$ND _MN _4S Fd AF 15又 SgFD=一 (2a) (2a) = 2a ,所以 Sawjvd因为a =所以SwV =8?D287(乙) 解：如图，设DE的中点为M,连接OM,则OM DE.因为OB =如-12? =16,所以“
12、 OBOC6x1248OM=205645/&BG-芍 36CM =JOC2_OM- = , BM = ? 564 36 _28CE-BD = (EM-BM) = BM CM =- 5TT8 (甲).-彳解：根据题意，关干*的方程有3 a =_4 (一 2_3 + _) A0,4 2(；f-3) 20.由此得93又心心0,所以4沪0,从而z此时方程为*匚=0,解w -.2011故 2012_ _兀28 (乙).1610解：(/72 - +7? 4-3) = (n2 +3)-n=n 4+5/7 2 +9因此 51(+9)，所以 n4 = l(mod 5),因此 “=5k 域 5ki22012-5
13、= 4022所以共有2012-402=1610 个数9 (甲).8 解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知2A + 3/7 = 130,b=m + U(m+2) ,所以 2。+ ” =(加 + 1)(加 + 2).干是20V /? = 130-(w +1)(/ + 2) 43,87(/w + l)(w + 2)由此得0 bc()解：依题意得：111，所以bc d,代入(2)得丁 + 2)lb c a，! + !_L +_L,两边乘以 a 得 a b c c _a c 1 + -即匚3化简得a2-3ac + c 209两边除以/得c_a c c c-a33 +、 /J 一23 J5 a综合得一
14、一-I2 cf- -3(-) + l （I-切c,代入（2）化简得ZE三近Rv三近 另一方面：*Xc,所以k,综合得A-A1 .0 （甲）？半解：如图，连接4G BD, OD./l ./工飞。由 S3 是 0O 的直径知 ZAG4=ZAZ24 = 90 ?飞依题设A BFC = 90,四边形ZECQ是OOq 力 y的接四边形，所以,J3CF = EAD所以 RtABCFARtABAD 因此一 二?CF AD因为OQ是。O的半径，AD= CD所以OQ垂直平分力C, ODII BC, 一 DE OE小EI干是匚二=一=2 ?因此DC OBDE = 2CD = 2AD CE = 3AD.HA3由 H
15、AEDsHCEB DE? EC = AE? BE?因为 AE =,BE BA,22所以 2AD3AD = -BA, BA- 2A2 AD,故2 2CF =邑？ BC=a =应.BA2a/2210 （乙）.12解：依题意得 =/一，=3 +必一 ） 由干是偶数，a+b、a? b同奇偶，所以n是4的倍数，即” 二4,当1 /? 100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对（ G /?）,则：k = p或k =,其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7. 11. 13、17、19、 23、4. 9、25,从而 这样的n 1 12个。三、解答题11（甲）？解：因为当一
16、lvx- 0 ,即（m+1 ） 2 0,所以.（3分）当兀二一1时，y 0 ；当x = 3时，y 0,即(1)+ ( ？ + 3)(1) + 力口 + 2 V 0 $32 + 3(m + 3) + /n + 2 0 ,解得加M -5 ?（8分）设方程 F+ ( 7 + 3 ) x+ (加+ 2) = 0的两个实数根分别为召，冬，由一元二次方程根与系数的关 系得期+兀2 =_ (加+3) , XX2 =m+2?f 119因为一+ 一1-,所以Xj x2 10A ； +x7m+ 210XX2解得 m -2 .因此？ 一12?11 (乙)？解：因为 sin/朋 6嘤=:,AO = 8,AB5所以10
17、.由勾股定理，得 BO = aaB-AO- =6.易知AACO ,因此 CO= BO= 6.于是 A(0,-8), 3(6,0), C(-6,0).设点Q的坐标为(加，n).由 SCOE = SADE 得 S5CDB =SAAOB ?所以一BCA n = AO-BOx12（-/i） = x8x6 .2 1 1 2 2 2解得n = 4?因此Q为ZB的中点，点Q的坐标为（3,-4） ?因此CQ,力O分别为力3, EC的两条中线，点E为的重心,Q所以点E的坐标为（0,-） ?（也可由直线CD交y轴干点E来求得？）设经过E, c, E三点的二次函数的解析式为y = a （x-6） （x + 6 ）.
18、BA2将点E的坐标代入，解得a-?-x222故经过9 C E三点的二次函数的解析式为 y =12（甲）？证明：连接BD,因为OB为OO的直径，所以ZODB = 90 .又因为DC = DE,所以 2a ni 2n （ni 为 素数 h 所以 2aniA2n=in 2, 2a in 2n= 1.（w + 1） 2m2 -1解得a= , n = ?44.（加一 1尸干正I） = a ni=?4（10 分）（10 分）当 = + 1 时，其中 lwRw2011，令 X =L X2 =2,，Xk = k, 人中=（2012 ）伙 + 1）,忑 +2=（2012 比）伙 + 2）, x2（）12 =（2
19、012-A）x2012,贝 ix2 x2o|22012 - Ar综上，满足条件的所有正整数力为1, 2, ?12012. （15 分 ）14 （乙）？解：当H = 2-1时，把2,3，分成如下两个数组： 2,3,2 8,28+1，,2 ,6-1 和4,5，彳一.在数组 2,3,2*, 2* +1,，2 -1 中，由干332,6-1,所以其中不存在数u, b, c, 使得J=c.在数组4,5，2*1中，由T4428-1,所以其中不存在数u, b,c,使得/=c.所以， n 2 16 .下面证明当n = 216时，满足题设条件.不妨设 2 在第一组，若22=4 也在第一组，则结论巳经成立. 故不妨设22=4 在第二组. 同 理可设44=2 S在第一组，（2审=2在第二组.此时考虑数8.如果8在第一组，我们取 a = 2,b = 8,c = 2 s t此时ah =c ;如果8在第 二组，我们取“=4,/ = 8,? = 2 ，” 此时ah = c .综上， n = 2 16满足题设条件.所以， 的最小值为2?.（ 注：也可以通过考虑2, 4, 16, 256, 65536 的分组惜况得到小值为65536.）