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1、习题16 V,16-1.如图所不,金属圆环半径为R,位于磁感应强度为 B的均匀磁场中,圆环平面与磁场方向垂直.当圆环以恒定速度vv在环所在平面内运动时,求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两 端a、b间的电势差.解：(1)由法拉第电磁感应定律d,考虑到圆环内的磁通量不变,所以,环中的感dta,vV、V,_(2)利用：ab (vv B) dl ,有：ab BV 2R 2BvR. a b【注：相同电动势的两个电源并联,并联后等效电源电动势不变】16-2.如下图,长直导线中通有电流I 5.0A,在与其相距d 0.5cm处放有一矩形线圈,共 1000匝,设线圈长l 4.0cm ,宽a 2.
2、0cm.不计线圈自感,假设线圈以速度v 3.0cm/s沿垂直于长导线的方向向右运动,求线圈在图示位置时的感应电动势.解法一：利用法拉第电磁感应定律解决.v v首先用qB dl 0I求出电场分布,易得:01B ,2 r那么矩形线圈内的磁通量为:x a 01l dr x 2 rAn 2d 4由i N,有:dtN 011( 11)dx2 x a x dt. 当 x d 时,有：i N 011av 1.92 104V.2 (d a)解法二：利用动生电动势公式解决.v v由qB dl 0 I求出电场分布,易得:考虑线圈框架的两个平行长直导线局部产生动生电动势,近端局部：1 NB11 v ,远端局部：2
3、NB21V ,那么:N 0I 11N 01alv()l v2(d d a) 2 d(d a)1.92 10 4V.16-3.电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线,圆心角为 120 , 几何尺寸及位置如下图.求当圆弧形导线以速度v平行于长直导线方向运动时,弧形导线中的动生电动势.解法一：用等效法连接 AO、OB,圆弧形导线与 AO、OB 形成闭合回路,闭合回路的电动势为0,所以圆弧形导线电动势与AOB直导线的电动势相等.v v v 2R 01V01V(v B) dl dx ln2,R 2 x 2v v vOB (v B) dl5 -R22R0 1V dx 2 x01Vl 5In 一,AB AO
4、OB01Vl 5ln -解法二：直接讨论圆弧切割磁感应线从圆心处引一条半径线,与水平负向夹角为,那么B S 2 (2R 0Rcos ) 2 rJ2再由(V B)都有：d B Rd vsin丁0-Rvsin d-0-ln- o0 2 R(2 cos )2216-4.电阻为R的闭合线圈折成半径分别为 a和2a的两个圆,如图 所示,将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内,磁感应强度按2 B B0sin t的规律变化.a 10cm, B0 2 10 T ,50rad/s, R 10 ,求线圈中感应电流的最大值.解：由于是一条导线折成的两个圆,所以,两圆的绕向相反.ddt迪(4a2 dt2 、,3 a B0
5、 cos tRRI max2 ,5 a B 0 co-2_23 冗 0.12 10501039.42 10 Ao16-5.匀强磁场中有一长方形导线框,分别以相同的角速度绕图a、b、c、d所示的固定转轴旋转,如图16-43所示.证实：四种情况下线圈中感应电流的最 大值相等.解：由法拉第电磁感应定律,-m ,其中m BScos ,为线圈平面的法线方向与磁场B的夹角.那么电动势的大小为BS sin |为线圈旋转的角速度大小.电动势的最大值为max BS ,电流的最大值为imax BS /R, R为线圈的电阻.对于题设的四种情况,因线圈的面积相同,旋转角速度相同,那么四种情况下的最大电流均相同.dB1
6、6-6.如下图,半径为 a的长直螺线管中,有 0的磁场,一直导线弯成等腰梯形的 dt闭合回路 ABCDA,总电阻为R,上底为a,下底为2a,求:(1)AD段、BC段和闭合回路中的感应电动势；2B、 C两点间的电势差UBUc.解：1首先考虑,3一 a2AD再考虑ddtdB dtOADdB5dt同理可得：BCBCv dldBAOv dlvODE-v dlvADE涡v dlDA有效面积为S扇oad2 dB2 dB6 a dt 那么,梯形闭合回路的感应电动势为:BC/ a 2ad (6 T)adB -,逆时针方向.dt2由图可知,AB CD梯形各边每段a上有电阻回路中的电流:dB那么,UB UC12r
7、 BC,3、a 一)-4 R dt,逆时针方向;I 2R BC()a2( 10 )dBdt16-7.圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体,d B电阻率为,如图所不.假设匀强磁场以 dBdt半径为R,高为k k 0, k为恒量的规律变化,求圆柱体内涡电流的热功率.解：在圆柱体内任取一个半径为r,厚度为dr ,高为h的小圆柱通壁,i有:a dlv 妲 r2,即：涡迎 r2 k r2 dtdt涡流由电阻公式R有电阻：R1S2 rhdr考虑涡流通过一个 d r环带,如图,而热功率：dPi2R22(k r )2 r hdrk2 hR48jdr,2216-8. 一螺绕环,每厘米绕 40匝,铁心截面积3.0
8、cm ,磁导率 200 ,绕组中通有 电流5.0mA ,环上绕有二匝次级线圈,求： (1)两绕组间的互感系数；(2)假设初级绕组中 的电流在0.10s内由5.0A降低到0,次级绕组中的互感电动势.解： n初 三 4000匝,N次 2,200 0810 5, S 3 104m2o0.01(1)由题意知螺绕环内：B nl ,那么通过次级线圈的磁链：次 N次BS N次nIS,次_5 _4 _4 M -N nS2 81054000 3 10 46.03 104 H;1初一I 初45 02(2)次 M - 6.03 10 4 3.02 10 2V.t0.116-9.磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R
9、的圆形空间B,金属杆放在如图14-47所示中位置,杆长为2R,其中一半位于磁场内,另一半位于磁场外.0时,求：杆两端感应电动势的大小和方向.解：;ac ab bc ? 而:abd扇形Oabdtab%=R2BW理dt 44 dtd obc d rR2R2 dBr 3R2R、dB-B,.二 ac 一 ；dt dt 1212 dt412 dt.dB dt0 , ac 0 ,即 ac 从 a16-10. 一截面为长方形的螺绕环,其尺寸如下图,共有 解：如果给螺绕环通电流,有环内磁感应强度：0NIB (R1 r R2)那么2 rv v ,B dS,有:S3hdrRi 2 r2R1利用自感定义式：L ,有
10、：L 0N hin0. I2R116-11,均匀磁场B被限制在半径 R =10 cm的无限长圆柱空间内,方向垂直纸面向里.取一固定的等腰梯形回路abcd,梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行,位置如下图.设磁感1强度以dB /dt =1 T/s的匀速率增加, -3Oa Ob 6 cm ,求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向.答案：3.68mV ,指向：沿adcb绕向解：大小：1d I S-dB (1r2-Oa sin ) dB 3.68mV| dt | dt 22dt指向：沿adcb绕向.16-12, 一圆形线圈 A由50匝细导线绕成,其面积为 4cm2,放在另一个匝数等于 100匝、半径为
11、20cm的圆形线圈B的中央,两线圈同轴.设线圈 B中的电流在线圈 A所在处激发 的磁场可看作匀强磁场.求：(1)两线圈的互感;(2)当线圈B中的电流以50A/S的变化率减小时,线圈A中的感生电动势的大小.解：设B中通有电流I ,那么在A处产生的磁感应强度为:0N B 14咫2 Rb0 nb 12Rb(1) A 中的磁通链为：A NaBSaNaNbI Sa.那么：M2Rb2Rb一 410 7 50 100 4 10 4 M 202 0.210 7 6.28 10 6 H.d ANaNbSa d I644(2) - 6.28 106 50 3.14 104V,/. a 3.14 10 V.dt2R
12、bdt16-13.如图,半径分别为b和a的两圆形线圈(ba),在t 0时共面放置,大圆形线小线圈的感应电流:0I小线圈的磁矩:PmiSaR dtoI2b2b R2asinR2a 一.sint)V(1)由 MvpmvB,有:M pm Bsin2|24 b224a . 2 sinR当 t 一时:22I24 b2R2 2:01 24b2R2 sin202|2td t 02_4b2R2i216Rb圈通有稳恒电流I,小圆形线圈以角速度绕竖直轴转动,假设小圆形线圈的电阻为R,求:(1)当小线圈转过 90时,小线圈所受的磁力矩的大小；(2)从初始时刻转到该位置的过程中,磁力矩所做功的大小.解：利用毕一萨定律
13、,知大线圈在圆心O处产生的磁感应强度为:0IB ,由于ba,可将小圆形线圈所在处看成是匀强磁场, 2b磁感应强度即为B任一时间穿过小线圈的磁通量：oI ,所以,2bBS $16-14. 一同轴电缆由中央导体圆柱和外层导体圆筒组成,两者半径分别为R和R2,导体圆柱的磁导率为1 ,筒与圆柱之间充以磁导率为2的磁介质.电流I可由中央圆柱流出,由圆筒流回.求每单位长度电缆的自感系数.12解：考虑到Wm -LI和wm2B22,可利用磁能的形式求自感.由环路定理,易知磁场分布:B1(rR1)11 rR22B2RrR1Vdd.21B 2dv,单位长度的磁能为：Wm,Ri(11rl 2 1 . (2 R2)2
14、2 rdrR2Ri利用Wm LI2 /2 ,有单位长度自感：L_18-)2 2 rdr r2 I R2t- ln -.2R11I216100V ,内阻不计的电源上,16-15. 一电感为2.0H ,电阻为10Q的线圈忽然接到电动势在接通0.1s时,求：(1)磁场总储存能量的增加率；(2)线圈中产生焦耳热的速率;电池组放出能量的速率.(3)解：(1)利用磁能公式Wm1LI2及LC电路通电暂态过程I(t) -(1 eRRtL ),有磁场总储能：Wm(t)对上式求导得储能增加率:1L (1 2 RdW(t)dtRt 2 e L)22R(1L 22(1 2R2Fte L )e4 2e L),10100
15、V , t0.1s代入,有:dW(t)dtt 0.1 s238 J/s；dQ dt有线圈中产生焦耳热的速率:dQ dTi2rRt 2(1 eL)2RR2R(1 eRf)2代入数据有:dQ(t)dt0.1s152J/s；(3)那么,电池组放出能量的速率:dE dtr 一te L代入数据有：d Edtt 0.1s 390 J/s.16-16.在一对巨大的圆形极板(电容C 1.010 12 F )上,加上频率为50 Hz ,峰值为1.74 105V的交变电压,计算极板间位移电流的最大值.解：设交变电压为:u Um cos t,利用位移电流表达式:I S.Id ddu 有： I D C dtCUmsi
16、n t,而 2 f , iDm 2 f CUm250 10 121.74 105 5.46 10 5 Ao16-17. 一球形电容器,内导体半径为Ri,外导体半径为R2.两球间真空.在电容器上加电压,内球对外的电压为 U U0 sin.假设 不太大,以致电容器电场分布与静态场情形近似相同,求两球间各处的位移电流密度, 位移电流.再计算通过半径为r (Ri r R2)的球面的总答案：r (R2 R1)U 0 cos t r0,4R20R1R2U 0 cos t解：由静电学计算：r0代表r方向单位矢量q(t)2 I 040rU詈(RiR2q(t)(R2 Ri)40R1R2位移电流密度为过球面的总位
17、移电流UR1 R2(R2一 rO R1)R1R2-2Z Z-r (R2 R1)U o sin t r00R1R2 .U 0 cos t r0 r (R2 R1)dS2 40 R1 R2 .J 4 rU 0 cos tR2 Ri思考题1616-1 .图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置.小线圈与冲击电流计相接,线圈面积为 A,匝数为N ,电阻为流计测得感应电量为解：q IdtR,其法向n与该处磁场方向相同,将小线圈迅速取出磁场时,冲击电 q,试求小线圈所在位置的磁感应强度.1 d NBA出dt ,R dt R R.BNAabcd,以ab表示在导体ab段上产生16-2.如下图,圆形截面区域内存在着
18、与截面相垂直的磁场,磁感应强度随时间变化O(a)磁场区域外有一与圆形截面共面的矩形导体回路 的感生电动势,I表示回路中的感应电流,那么C.(b)ab0I0；B.abab0I0；D.ab位于圆形区域直径上的导体棒与阻值为R的电阻连接形成回路,以导体ab段上产生的感生电动势, 感应电流,那么：0I0 ；0I0.ab通过导线ab表不在 表示回路中的B.abC . ab答：(a)0 I选C;0(b)D.BoabI 0 ；I 0.占/ hv16-3,在磁感应强度为B的均匀磁场内, 略自感),线框绕其对称轴以匀角速度有一面积为S的矩形线框,线框回路的电阻为 R (忽旋转(如下图).(1)求在如图位置时线框
19、所受的磁力矩为多大(2)为维持线框匀角速度转动,外力矩对线框每转一周需作的功为多少?答：(1)由BScosBS cos t ,而：I 一R一 pmIS1BS R1BS2 Rsinsin(2)Bpm sin WMd0t 1B2S2 sin2 R1B2S2 sin2 d Ro16-4. 一平板电容器充电以后断开电源,然后缓慢拉开电容器两极板的间距,那么拉开过程中 两极板间的位移电流为多大 假设电容器两端始终维持恒定电压,那么在缓慢拉开电容器两极板 间距的过程中两极板间有无位移电流*有位移电流,那么它的方向怎样答：(1)利用位移电流表达式：IDdq ,门、,一,由于平板电容器充电以后断开的电源,所以
20、 q在 dt电容器两极板拉开过程中不变化,有ID 0 ；(2)有位移电流,电容器两端维持恒定电压, 两极板间距增加日场强变小,q下降且引起下降,使位移电流降低.位移电流的方向与场线方向相反.16-5.图a为一量值随时间减小,方向垂直纸面向内的变化电场,均匀分布在圆柱形区域内,试在图b中画出：(1)位移电流的大致分布和方向；(2)磁场的大致分布和方向.2 dE dE 答：(1) Id 0 R ,( 0),位移电流在圆枉形区域内 dt dt均匀分布,分布具有轴对称性；(2)应用安培环路定理：r R时, B内 一d-r0 0 -d-E r, B内与r成正比,2 R22 drr R时,B外 -0-0
21、dE R , B外为定值不变.2 d r16-6.空间有限的区域内存在随时间变化的磁场,所产生的感生电场场强为场的空间区域中分别取闭合曲面S,闭合曲线1,那么：vvvvvvA.已EidS0, Eidl0;B.已EdSvvvvvvC.已EidS0,lEidl0;D.已EidS0,0,v vEi dlv vEi dlEi,在不包含磁0；0.答：选Bo 16-7.试写出与以下内容相应的麦克斯韦方程的积分形式：(3)变化的电场伴有磁场;(1)电力线起始于正电荷终止于负电荷；(2)磁力线无头无尾;(4)变化的磁场伴有电场.v v解：(1) ?D dS v v (4) o E dlqi ；(2)v dSv v2BdSv v 0; (3) ?H dlIcv D S-rv dS