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1、玉林高中：函数与导数解答题玉林高中:函数与导数解答题 221(设函数 f(x),(1，x),ln(1，x)(1) 求的单调区间; f(x)1，(2) 若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围; mf(x),mx,1,e,1,e，2(3) 若关于的议程在区间上恰好有两个相异的实数根，求实数,x0,2af(x),x，x，a的取值范围。 解:(1)函数的定义域为， (,1),(,1,，,)12x(x，2)，/ f(x),2(x，1),x，1x，1，/,2,x,1x,0得或; 由f(x),0/x,2,1,x,0由得或， f(x),0减区间为和 (,2)(,1,0)/x,0x,2(2)由得或 f(x),0
2、1，由(1)知在上递减，在上递增。 ,0,e,1f(x),1,0,e，11122？f(,1),，2,f(e,1),e,2e,2,，2，且， 22eee1，2时， ,f(x),e,2？x,1,e,1max,e，2m,e,2故时，不等式恒成立。 f(x),m2(4) 方程， f(x),x，x，a2即 x,a，1,ln(1，x),02记， g(x),x,a，1,ln(1，x)2x,1/则 g(x),1,1，xx，1/x,1x,1由得或; g(x),0/,1,x,1由得 g(x),0由在上递减，在上递增。 ,0,11,2g(x)2为了使在上恰好有两个相异的实数根，必须保证在和,0,20,1g(x),0
3、f(x),x，x，ag(0),0,g(1),0,2,2ln2,a,3,2ln3上各有一个实数根，于是有解得 ，,1,2,g(2),0,2xt,22(已知函数的定义域为() ,2,tf(x),(x,3x，3),e(1) 试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数; ,2,tf(x)t/f(x)22ot,2,(t,1)，总存在，满足，并确定这样(2) 求证:对于任意x,(,2,t)oxo3e的的个数。 xo/2xxx解:(1)， ？f(x),(x,3x，3),e，(2x,3),e,x(x,1),e/x,0由或， f(x),0,x,1/由， f(x),0,0,x,1在上递增，在上递减，欲使在上为单调函
4、数，则，,0,1,，,0,1,2,t？f(x)f(x),2,t,0 /f(x)f(x)22200？,(t,1)xx(2)， 00xx003ee222x,x,(t,1)即， 003222g(x),x,x,(t,1)令， 003222g(x),x,x,(t,1),0，,2,t从而问题转化为证明方程在上有解，并讨论解的个数。 003222？g(,2),6,(t,1),(t，2)(t,4),33 212g(t),t(t,1),(t,1),(t，2)(t,1),33?当t,4或,2,t,1时， g(,2),g(t),0在上有解，且只有一解。 ？g(x),0(,2,t)?， 当1,t,4时,g(,2),0
5、且g(x),022但由于， g(0),(t,1),03在上有解，且有两解。 ？g(x),0(,2,t)2?， 当t,1时,g(x),x,x,0,x,0或x,1在上有且只有一解; ？g(x),0(,2,t)2， 当t,4时,g(x),x,x,6,0,x,2或x,3在上也有且只有一解。 ？g(x),0(,2,4)/f(x)22ot,2,(t,1)综上所述，对于任意的，总存在，满足， x,(,2,t)oxo3e当t,4或,2,t,1时且，有唯一的x适合题意; 0有两个x适合题意。 当1,t,4时,023(已知函数 f(x),e,ln(x，1)(1) 求函数的最小值; f(x)x，1x,x221e,1
6、，ln(2) 已知0,x,x，求证: 12x，11,xx,1解:(1)由题意知函数f(x)的定义域是， 11/xx,1,x,0f(x),e,？,1,e，当时， x，1x，11x/？e,0，得， f(x),0x，1f(x)函数在区间(,1,0)上是减函数， ？1xx,0x,0当时，当时， ？e,1,0f(0),1x，11x， ？e,0x，1/即，函数在区间上是增函数， ,，0,，,f(x)f(x),0？x,0故当时，取得最小值，最小值为1。 f(x)xx,0(2)由(1)知，当时， ， f(x),e,ln(x，1),f(x),1min而， 0,x,x,x,x,01221x,x21因此， f(x,
7、x),e,ln(x,x，1),12121x,x21 ？e,1，ln(x,x，1).？?21x，1(x,x，1)(x，1)2211？ln(x,x，1),ln,ln又 21x，1x，112，x(x,x)，(x，1)x(x,x)，(x，1)12121212,ln,ln，1,ln1,0, ,x，1x，122，x，12？ln(x,x，1),ln？ ?21x，11x，1x,x221e,1，ln综合?、?得成立。 x，11a,04.设函数，其中 f(x),ax,(a，1)ln(x，1)(1) 求的单调区间; f(x)xx,0,ln(x，1),x(2) 当时，证明不等式:; 1，x1,g(a),0(3) 设的
8、最小值为，证明不等式: f(x)g(a)aax,1/f(x),(a,0)解:(1)由已知得函数的定义域为，且， f(x)(,1,，,)x，11/x,令，解得， f(x),0a/x当变化时，的变化情况如下表: f(x),f(x)111(,1,)(,，,) x aaa_/ 0 ，f(x)f(x)递减 极小值 递增 1/由上表可知，当时， x,(,1,)f(x),0a1函数在内单调递减， (,1,)f(x)？a1/当x,(,，,)时， f(x),0a1函数在内单调递增， (,，,)f(x)？a11所以，函数的单调减区间是(,1,)，函数的单调增区间是(,，,) f(x)f(x)aax，,(2)设,(
9、x),ln(x，1),x,0,，, 1，x11x/对求导，得 (x),(x)22x，1(1，x)(1，x)/x,0时，所以在内是增函数。 当,(x)(0,，,),(x),0所以在内是增函数。 ,(x)0,，,)xx,0ln(x，1),0当时，即， ,(x),(0),01，xx？ln(x，1), 1，xx？,ln(x，1),x同理可证， ln(x，1),x1，x11g(a),f(),1,(a，1),ln(，1)(3)由(1)知， aa111x1,ln(，1),ln(x，1),xx,将代入，得， a1，aaa1，x111,(a，1)ln(，1),1，即， aa111？,1,(a，1)ln(，1),
10、0,g(a),0，即 aaax2x25(已知函数恒满足关系式 f(x),2(ax，bx，c)f(x，1),f(x),2,x(1) 求常数a,b,c的值; n2k(2) 利用(1)的结果求出; 2,k,1knk(3) 求出 2,k,1kx2解:(1) a,1,b,4,c,6,f(x),2(x,4x，6)k2(2)由(1)， f(k，1),f(k),2,kn2k故 2,k,f(2),f(1)，f(3),f(2)，？，f(n，1),f(n),1kn，12 ,2(n,2n，3),6在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有xx(3)构造函数，且满足关系式 f(x),2(bx，c)f
11、(x，1),f(x),2,x|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。x得，所以，同理可得 b,1,c,2f(x),2(x,2)nkn，1 2,k,f(n，1),f(1),2(n,1)，2,k,16.已知函数，数列满足: ,a0,a,1,a,f(a),n,1,2,3,？f(x),x,sinxn1n，1n化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。证明:(1); 0,a,a,1n，1n13a,a(2) n，1n6解:证明:(1)先用数学归纳法证明 0,a,1,n,1,2,3,？n5.圆周角和圆心角的关系:n,1?当时，由已知显然结论成立。 n
12、,k?假设当时结论成立，即0,a,1 k上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。/0,x,1因为时， f(x),1,cosx,0所以在，上是增函数。 0,1f(x)f(0),f(a),f(1)又,在0,1上连续，从而， f(x)kn,k，10,a,1,sin1,1即，故时，结论成立。 k，1弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。0,a,1由?、?可知，对一切正整数都成立。 n0,a,1a,a,a,sina,a,sina,0又因为时， n，1nnnnnna,a0,a,a,1所以，综上所述 n，1nn，1n（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图
13、形，对称中心为圆心。13(2)设函数， g(x),sinx,x，x,0,x,160,x,1sinx,x由(1)知，当时， 8、从作业上严格要求学生，不但书写工整，且准确率高。对每天的作业老师要及时批改，并让学生养成改错的好习惯。222xxxxx/22从而 g(x),cosx,1，,2sin，,2()，,022222所以在上是增函数。 ，0,1g(x)推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。又在上连续，且， ,0,1g(x)g(0),00,x,1所以当时，成立。 g(x),01133于是，即sina,a，a,0.故a,a. g(a),0nnnn，1nn66推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.