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1、多边形的内角和 教学目的 1使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2使学生通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会利用它进行有关计算。 重点、难点1重点：多边形的内角和定理。 2难点：多边形的内角和定理的推导。 教学过程 一、复习提问1什么叫三角形? 2三角形的内角和是多少? 3什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少? 二、新授 1多边形的概念， 三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。 你能说出什么叫四边形、五边形吗?如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次
2、连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写) D D CA C E A B B 图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE。 一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。 下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范围内 。注 意我们现在研究的是如右图所示的多边形，也就是所谓的凸多边形 有什么不同？凹多边形凸多边形与三角形类似如图，A、D、C、ABC是四边形ABCD的四个内角，延长 AB、CB得四边形ABCD的两个外角CBE和ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有n个内角，有2n个
3、外角。如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形 ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。 问：(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD)(2)五边形有几条对角线? 以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。 (3)六边形有几条对
4、角线?n边形呢? 六边形有9条对角线。 从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条， (除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线。 大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；当n=5时，有5条：当n=6时，有9条，因此，我们可以得到多边形的对角线的条数的计算公式： 2多边形的内角和公式。 三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180，那么一般n边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形开始。 从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2
5、个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。 让学生填写表,由此，你可以得到”边形的内角和公式吗?n边形的内角和(n-2)180知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。知道多边形的边数,可以求出多边形的度数例1.求八边形的内角和的度数。分析: n边形的内角和公式为(n-2) 180 ,现在知道这个多边形的边数是，代入这个公式既可求出. 解 （n2）180=（82）180=1 080 例2.已知多边形的内角和的度数为900，则这个多边形的边数为_解 （n2）180 = 900 （n2）= 900 /180 （n2） = 5 n= 5
6、+2 n=7例3. 已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是1290，求这个十边形的另一个内角的度数.分析：先求出十边形的内角和，再减去1290,就可以得出.解: （102）180 =1440 则十边形的另一个内角的度数为 1440 - 1290 =150 那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?因为正多边形的每个角相等,所以知道正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数（n2）180/ n例4.正五边形的每一个内角等于_.解: （n2）180/ n= （52）180/5=540/5=108例5.如果一个正多边形的一个内角等于120,则这个多边形的边数是_解: 120n=（n2）180 12
7、0n=n180-360 60n =360 n =6 多边形的内角和等于(n-2)180，还可以用以下的划分来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?请你试一试。 对有困难的学生教师可以加以引导。 如图(教科书图9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此n边形就可划分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去以 P为顶点的周角所得的差就是”边形的内角和。因此，n边形的内角和为： n180-360n180-2180=(n-2)180 问：还有其他方法吗?让学生自主探索，对不同方法给予鼓励。 三、巩固练习 教科书第70页练习1、2。 四、小结本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)180。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。在转化过程中，我们还发现多边形的对角线的条数的计算公式。以及正多边形的特征。希望同学们在以后学习生活中勤思考，多练习！灵活运用所学知识解题。 五、作业 教科书P71习题9.2第1、2、3、4题。