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1、三圆两两外切的空隙圆一、弓I理 在厶ABC中，D E、F分别是边BC CA AB上 的点， 而且 AE=AF=a BF=BD=b CD=CE= , a0, b0, c0 (如图 1)，那 么( 1) = 。 ( 1)(2) AABC 的内切圆与边 BC, CA AB, 分别切于点 D, E, F。(3) A ABC 的内切圆的半径 R=。 ( 2)证明(1) ABC的三边长分别为 AB=a+b BC=b+c CA=c+a 半周 长 p= ( AB+BC+C )A=a+b+c, 由三角形面积的海伦公式得= = 。(2) 设厶ABC的内切圆的圆心为 0 00切边BC CA AB于L , M, N.
2、由切线性质得 AM=AN BN=BL CL=CM 而且AM+BN=AN+BN=a+bBN+CL=BL+CL=b+cCL+AM=CM+AM=c+a 由这三式解得 AM=a=AE BN=b=BF CL=c=CD 从而 L 与 D 重合， M 与 E 重合 N 与 F 重合。(3) 因 D, E , F 是 00与边 BC CA AB 的R(AB+BC+C ) =R ( a+b+c )，再由 (1)式得 R=.说明，在引理中，假设分别以厶 ABC 的三顶点 A、B、C 为圆心，以 a、b、c为半径作圆，那么 OA OB OC两两外切，而且 OF OD OE就是 O A、O BOC两两的公切线。二、空
3、隙圆的半径在一平面上，设 O AO B,OC两两外切，切点分别是 AC上的点L, AB上的点M BC上的点N.显然，由弧线LM MN NL所围成的“三角形 区域(简称空隙域)？龋？存在一个OP与OA OB,OC都外切，称此圆 为空隙圆 (见图 2)。定理在一平面上，设 O AO B,OC两两外切，而且它们 的半径分别 为，那么与 O AO B,OC都外切的空隙圆 OP的半径为r= . ( 3)其中 R= ， =1+ ， i=1 ， 2， 3. = . ( 4)证明在图 2 中，设 OABC 的内心，连接 OL, OM ON 由引理及其 说明知，OL, OM ON分别是OA与0 COA与0 B
4、OB与OC的公切 线，而且是厶ABC的内切圆的半径，再设 OP分别与O A、O BOC夕卜 切于点Q T, S,过Q T、S分别作OP的切线，三切线两两相交于 D E、 F, 由引理及引理的说明知， D E、F 分别在线段 ON OL , OM 内, 而且 BOC COA AOC 的内心，设 DN= , EL= , FM=,那么、分别是 BOC COA AOC 的内切圆的半径 .由切线性质知， DEF 的三边边长分别为+ ,+ , + .由引理知厶 DEF 的内切圆 O P的半径 r= ，下面求、 、。设厶 ABC 的内切圆半径为 R .连接 BF, BD, 贝 U BF, BD 分别是 /
5、MBPZ NBP 的角平分线，且 BPL DF 设/ MBF= , / NBD=, 那么 + = / MBNZMBO 在 Rt BMF Rt BND Rt BMO中，tg = =, tg = =,= =tg / MBO=tg()=，于是+ + =R (5)同理可得 + + =R , + + =R ( 6)( 5)( 6 )变形得( 7)方程组 ( 7 )的每个方程的两端都乘以 R 后再变形得( 8)令=1+ , i=1 , 2, 3.=.因为D, E, F分别在线段 ON OL , OM内， 且 ON=OL= OM=R所以， . 将方程组 ( 8)的三个方程两端相乘后再开平 方，便得 = ，此式与 ( 8)可解得 -1= ， -1= ， -1= ，所以 = ， = ， = . ( 9)于是 = = ，+ + = + +所以 r= = ，其中R， ，由4式确定。推论1 当 = =时，r= 。10)证明由 4式，R= ，=1+ = ，= ，将它们代入 3 式得 10 。推论 2 当 = 时，r= 11证明 据 4 式， R= ， = =1+ = . 将它们代入到 3式经化简即得 11