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1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题.1.下面说法中正确的选项是A.如果两个平面 % 3有一条公共直线a,就说平面 鹏3相交,并记作 “n 3= aB.两平面飞3有一个公共点 A,就说“3相交于过点A的任意一条直线C.两平面 % 3有一个公共点 A,就说 飞3相交于点A,并记作an 3= AD.两平面ABC与DBC相交于线段BC2 .三个平面最多可以把空间分成A. 4局部B. 6局部C. 7局部D. 8局部3 .空间四点 A, B, C, D共面,但不共线,那么下面结论成立的是A.四点中必有三点共线B.四点中必有三点不共线C. AB, BC, CD, DA四条直线中总有两条平行D.
2、AB与CD必相交4 . a, b是异面直线,以下四个命题：过a至少有一个平面平行于 b ;过a至少有一个平面垂直于 b;至多有一条直线与 a, b都垂直；至少有一个平面分别与 a, b都平行.正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 35 .以下命题：假设直线l上有无数个点不在平面a内,那么l / a；假设直线l与平面a平行,那么l与平面a内的任意一条直线平行；两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行；假设一条直线a和平面a内一条直线b平行,那么all a.正确的个数是A. 0个B. 1个C.2个D. 3个6 .以下命题中,不正确的选项是 A.两条平行直线与同一平面
3、所成的角相等B. 一条直线与两个平行平面所成的角相等C. 一条直线平行于两个平行平面中的一个平面,它也平行于另一个平面D.如果两条直线与同一平面所成的角相等,那么这两条直线不一定平行7 .以下判断中正确的选项是A.假设平面a内有两条直线都和平面3平行,那么all 38 .假设一条直线l与平面a和3所成的角相等,那么 all 3C.假设直线l /平面&直线ma 3,那么l / mD.假设平面a/平面3,直线lu a,那么l / 38. 一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面,那么这两个二面角的大小关系是A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定9.三条直线 m, n, l,三个平面&
4、%下面四个命题中,正确的选项是 m /C. ,二 m n n / T J10.正方形ABCD沿对角线 AC折成直二面角后,AB与CD所成的角为A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 二、填空题.1 .假设点M在直线a上,直线a在平面a内,那么 M, a, a之间的关系表示为2 .设a, b, c是空间的三条直线,以下四个命题：假设 a b, b c,贝U a “ c;假设a, b是异面直线,b, c是异面直线,那么a, c也是异面直线；假设a和b相交,b和c相交,那么a和c也相交；假设a和b共面,b和c共面,那么a和c也共面.正确的个数是.3 .如图,AAi/ BB1/CC1,且AA1
5、, BBi, CC1不共面,那么图中各条线段所在的直线中,4 .如图,正方体 ABCD - AiBiCiDi的棱长为a,点E, F分别是BB1,CC1的中点,那么AiDi到截面 AEFD的距离是5 .三棱锥 P - ABC的三条侧棱 PA, PB, PC两两垂直,且三个侧面的面积分别 为Si, S2, S3,那么这个三棱锥的体积为 .6 . AABC所在平面 a外有一点 P,过点P作POL平面a,垂足为 O,连接PA, PB, PC.(i)假设 PA = PB = PC,那么点 O 为 AABC 的 心；7 2)假设 PAXPB, PA PC, PCX PA,那么点 O 是 AABC 的 心；
6、8 3)假设点P到三边 AB, BC, CA的距离相等,那么点 O是 4ABC的 心;9 4)假设 PA = PB = PC, / C = 90o,那么点 O 是 AB 边的 点；10 )假设 PA = PB = PC, AB = AC,那么点 O点在 线上.三、解做题.1 .如图,在正方体 ABCDAiBiCiDi中,点E, F分别是棱 AA1,CC1的中点,求 证：点 Di, E, F, B 共面.Z),c加平面产b,平面 3门平面 产c,且 aA b = O.2 .平面 “n平面 3= a,平面求证：a, b, c相交于一点.3 .如图,在正方体 ABCD - AiBiCiDi中,点P,
7、 Q, R分别在棱 AB, BB1,CC1上,且DP, QR相交于点 O,求证：O, B, C三点共线.4 .四边形 ABCD为矩形,PAL平面ABCD,点 M、N分别是AB, PC的中点.(1)求证：MN /平面PAD;(2)当MN,平面PCD时,求二面角 P - CD - B的大小.一、选择题.1. A2. D【解析】23 = 8局部.3. B【解析】假设任取三点都共线,即有 4个点都共线,与题设不符.4. C对；不一定,只有a b时成立；错；对.5. A错,相交也行；错,可以异面；错,a可以在平面内；错,a可以在a上.6. C【解析】这条直线可在另一平面内7. D8. D【解析】假设一个
8、二面角的一个半平面恰好过另一二面角的棱,并与其中一个半平面垂直,那么此时两二面角的大小既不相等也不互补；假设两二面角的棱不互相平行,那么其大小关系不能确定.9. D【解析】取AC的中点E, AD的中点F, BC的中点G,连接 EFi, FG, EG.可得4EFG为等边三角形.AB与CD所成的角为 60o.二、填空题.1. M aC a2. 0 个.3. 12.【解析】AiBi 和 AC; A1B1 和 BC; AiA 和 BiCi； AA 和 BC;BiCi和 AB;BiCi和 AC;BiB和AC; BiB 和 AiCi；AiCi和 AB;AiCi和 BC;CCi和AiBi； CiC 和 AB
9、., 2 54. a- a.【解析】过点 Di作DiHXDF于点H,DiH即为所求. PiH _ 2 一1DH 12 5DiH = -5- a.52S3.3.【解析】设三条侧棱长分别为a, b, c,1 11那么一ab = Sibc = S2ca = S3 .2 22三式相乘,得 1 a2 b2 c2 = S1S2S3. 8abc = 2 2 GS2s3 .三侧棱两两垂直,V = - abc ,工=工.2S1s2s3. 3236.1外；2垂；3内；4中；5BC 边的高.【解析】1由三角形全等可证得,点O为4ABC的外心；2由直线和平面垂直的判定定理可证得,点O为 4ABC的垂心;(3)由直线和
10、平面垂直的判定定理可证得,点O为4ABC的内心；(4)由三角形全等可证得,点O为AB边的中点；(5)由(1)知,点O在BC边的高线上(或说在 / A的平分线上,或者说在BC边的中线 上).三、解做题.1 .证实：连接DiE, DiF,并分别延长,使 DiF与DC的延长线交于点 H, DiE的延长 线与DA的延长线交于点G.Di, E, F三点不共线,Di, E, F确定一个平面 a .G, H a .又点 E是AA/勺中点,EA工-DDi , - 2同理可得,点 C是DH的中点.CH = BC = BA = GA.又四边形 ABCD是正方形,/ BCH = / BAG = 90o.连接BH ,
11、 BG.ABCH , GAB是全等的等腰直角三角形ZCBH =/ABG = 45.ZGBA +/ABC+/CBH = i80 .G, B, H三点共线.又 G, H a ,GH U ,而 BC GH,BC :.Di , E, F, B四点共面.2 .证实：= aA 3= a, aA 产 b, aU 3, b 匚卜又 an b = O,O a, O C b.OC & O T.点O在& 丫的交线c上.三条直线 a, b, c相交于一点 O.3 .证实：. PC直线AB, DC直线CD, PC 平面 ABCD. DC 平面 ABCD.直线DPu平面ABCD.又 OC直线DP,OC平面 ABCD.同理可证,OC平面BCC1B1平面 ABCD n平面 BCCiBi =直线 BC,OC 直线 BC.O, B, C三点共线.4. (1)证实：取PD的中点为Q,连接AQ、QN, 点N为PC的中点, QN 1DC, 2QN AM,四边形AMNQ为平行四边形,MN/AQ,MN/平面 PAD.(2)解：: PAL平面 ABCD, CDXAD, PDXCD, /PDA为二面角P-DC-B的平面角. MNL平面 PCD, MN/AQ,AQL平面 PDC, AQXPD. 点Q为PD的中点,APAD为等腰直角三角形, PDA = 45o.即二面角 P - DC - B为45o.