奥数：简单的排列问题.学生版(精编版).docx

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1、7-4-1.简单的排列问题BtMlt 教学目标1 .使学生正确理解排列的意义；2 .了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列;3 .掌握排列的计算公式；4 .会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思 维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等.知识要点、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种 排法，就是排列问题.在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序 有关.一般地，从n个不同的元素中取出 m(mMn)个元素，按

2、照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同， 并且元素的排列顺序也相 同.如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同， 但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.从n个不同的元素中取出 m(mMn)个元素的所有排列的个数， 叫做从n个不同的元素的排列中 取出m个元素的排列数，我们把它记做Pnm .根据排列的定义，做一个 m元素的排列由m个步骤完成：步骤1 :从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(n-1)个元

3、素中任取一个元素排在第二位，有(n-1)种方法；步骤m ：从剩下的n-(m-1)个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n -(m-1) = n-m+1(种)方法；由乘法原理，从n个不同元素中取出 m个元素的排列数是 n (n-1) (n2) |(n-m+1),即 Pm =n(n 1)(n2)|l|(n m+1),这里，mn ,且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因 数小1,共有m个因数相乘.二、排列数一般地，对于 m =n的情况，排列数公式变为Pnn =n n T) -(n -2)川3 2 1 .表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n个排列全部取出的排列，叫做n个

4、不同元素的全排列.式子右边是从 n开始，后面每一个因数比前一个因数小1, 一直乘到1的乘积，记为n!,读做n的阶乘，则P；还可以写为：Rn=n!,其中n!=n （n1） （n2） | 3 2 1.目1 幅比 例题精讲模块一、排列之计算【例1】计算： p52；p4p3.【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】由排列数公式Pnm=n(n1) .(n2)川(nm+1)知: p52 =5 4 =20 P74=7M6M5M4=840,P73=7M6M5=210,所以 P4 P73 =840 210 =630 .【答案】20630【巩固】计算：百；【考点】简单排列问题【解析】P32 =3X2

5、=6【答案】632P6 P|0 .【难度】1星30【题型】解答，、32 P6 4 =6X5X4109 =120 90=30 .【巩固】 计算：P|4 P24;3P5 P33 .【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】 P4 -P2 =14 父13M12 -14 乂13 =2002 ; 3P5 -P33 =3父（6父5父4父3父2） -3父2父1=2154 .【答案】20022154模块二、排列之排队问题【例2】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】由于4人中必须

6、有一个人拍照， 所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人 来站.由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题.要计算的是有多少种排法.由排列数公式，共可能有：P43 =4父3父2 =24 （种）不同的拍照情况.也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：P4 =4父3M2父1 =24（种）不同的拍照情况.【答案】24【巩固】4名同学到照相馆照相.他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】4个人到照相馆口相，那么 4个人要分坐在四个不同的位置上.所以这是一个从4个元素中

7、选4个，排成一列的问题.这时 n =4 , m = 4.由排列数公式知，共有 P44 =4x3x2x1=24 （#）不同的排法.【答案】24【巩固】9名同学站成两排照相，前排 4人，后排5人，共有多少种站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】如果问题是9名同学站成一排照相， 则是9个元素的全排列的问题， 有P99种不同站法.而 问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边 4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题.方法一：由全排列公式，共有 P99 =9M8M7M6M5M4M3M 2父1 =362880 （种）不同

8、的排法.方法二：根据乘法原理，先排四前个，再排后五个.45p9 P5 =9 8 7 6 5 4 3 2 1 =362880【答案】362880【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于甲必须站在中间， 那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且 n=4.由全排列公式，共有 P4=4M3M2M1=24（种）不同的站法.【答案】24【巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解

9、析】由于奶奶必须站在中间， 那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且 n=4 .由全排列公式，共有 P4 =4X3X2X1=24 （种）不同的站法.【答案】24【例3】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有 种？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第8题【解析】5个人全排列有5!=120种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是 60种【答案】60种例4 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站（包括北京和上海），这条铁路线共需要多少种不同的车票.【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】P124 =

10、14父13 =182（种）.【答案】182【例5 班集体中选出了 5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体 育委员.问：有多少种不同的分工方式？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】P55 =120 （种）.【答案】120【例6】 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种 不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位 置.我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题.由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所

11、在的位置有关，所以是排列问题，且其中n = 5,m =3 .由排列数公式知，共可组成 P53 =5X4X3 =60 （种）不同的信号.【答案】60【巩固】 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可 以组成多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】P3 =3父2 =6 . 【答案】6【巩固】 在航海中，船舰常以 旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共 可以表示出多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一

12、：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题.由排列数公式，共可以组成 p3=3M2M1 =6（种）不同的信号.方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法； 其次，确定中间位置的旗子， 当最高位置确定之后， 中间位置的旗子只能从余下 的两面旗中去取，有 2种方法.剩下那面旗子，放在最低位置. 根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是： 3M2父1 =6（种）.【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排

13、列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化.【答案】6模块三、排列之数字问题【例7】 用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知 n=8, m = 4,根据排列数公式，一 共可以组成 P4 =8父7M6M5=1680（个）不同的四位数.【答案】1680【巩固】 由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】P63 =120.【答案】120【例8】 用0、1、2、3、4可以组成

14、多少个没重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】（法1）本题中要注意的是 0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有 4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有 P2种方法.由乘法原理得，此种三位数的个数是：4MP2=48（个）.（法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首 位是0的.从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为P53,其中首位是02的二位数有P4个.三位数的个数是： _ 3_ 2_-P5 -P4 =5父4父34父3=48（个）.本题不是

15、简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况， 要么直接在排列的时候考虑这些限制因素.【答案】48【例9】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】个位数字已知，问题变成从从 5个元素中取2个元素的排列问题，已知 n = 5, m = 2,根 据排列数公式，一共可以组成P2=5M4=20（个）符合题意的三位数.【答案】20【巩固】 用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个 不同的偶数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于组成偶数

16、，个位上的数应从2, 4, 6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有 P52 =5父4=20（种）选法.由乘法原理，一共可以组成 3M20 =60（个）不同的偶数.【答案】60【例10】由0, 2, 5 , 6, 7 , 8组成无重复数字的数，四位数有多少个？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为P4=6M5M4M3=360 ,由于0不能在千位上，而以0为千位数的四位数有 P53 =54X3=60,它们的差就是由0, 2, 5, 6,7, 8组成无重复数字的四位数的个数，即为：360-60 = 300个.

17、方法二：完成这件事 一一组成一个四位数，可分为 4个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数； 第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，组成一个四位数”这件事也就完成了， 从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下:百位十位个位寓一期；蜡注十位款由中首次不能由 0 .用以能从2 . 5 .6 . 7 , S中立迪个 歙丰.势有5片嫉片，第三步：限定十卷致？因为十代相百位已从i 0,2, 5 , 6. 7 . 3 + ； 用名2个鬓牛，所以十也： 又能从熟了的软字中够： 捧.吴哀4钟迷法. =寓。步：单或个位数回为千位一百依加中 is 已从.0 .2.5.5, 7 .

18、 8中用名3小敷半，所以 个在K罪从制下代效丰中 选择.共点3时迷法，鬲二步：珀泥石任教 由中敷丰不上并重复便用，；所以千徨崎i眄蚊半百崔不能再 阳，轶尚百低可以是。，肝以在 ：2 . 5. 6. 7. 8中去掉干位 j由去埼一个敦辛，方位其商5村 I庭法,根据乘法原理，所求的四位数的个数是:534x3 = 300（个）.【答案】300【例11】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】按位数来分类考虑：一位数只有1个3;两位数：由1与2, 1与5, 2与4, 4与5四组数字组成，每一组可以组成P2=2M1=2

19、（个）不同的两位数，共可组成 2黑4=8（个）不同的两位数； 三位数：由1, 2与3;1,3与5;2,3与4; 3, 4与5四组数字组成，每一组可以组成3P3 =3M2父1 =6（个）不同的三位数，共可组成 6M4 = 24（个）不同的三位数； 四位数：可由1, 2, 4 , 5这四个数字组成，有 p4=4M3M2M1=24（个）不同的四位数； 五位数：可由1, 2, 3, 4 , 5组成，共有 P55 =5父4M3M2M1 =120（个）不同的五位数.由加法原理，一共有1 +8 +24 +24+120 =177（个）能被3整除的数，即3的倍数.【答案】177【例12】用1、2、3、4、5这五

20、个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是 3的无重复数字的五位数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以分两类来看： 把3排在最高位上，其余 4个数可以任意放到其余 4个数位上，是4个元素全排列的 问题，有P： =4父3 M2 M1 =24（种）放法，对应24个不同的五位数； 把2, 4, 5放在最高位上，有 3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和 3之外的 3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余 3个数位上，有P33 = 6 种选择.由乘法原理，可以组成 3M3M6=54（个）不同的五位数.由加法原理，可以组成 24+54 = 78（个）不同的

21、五位数.【答案】78【巩固】 用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】从高位到低位逐层分类：千位上排1, 2, 3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从 09中除千位已 确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从 9个元素中取3个的排列3问题，所以百、十、个位可有P9 =9X8X7=504（种）排列方式.由乘法原理，有4M504 =2016（个）.千位上排5,百位上排04时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八 个数字中选择.也就是从 8个元素中

22、取2个的排列问题，即P82=8M7=56,由乘法原理，有 1 父5M56 =280（个）.千位上排5,百位上排6,十位上排0 , 1 , 2 , 3, 4, 7时，个位也从剩下的七个数字中选择， 有1父1父6父7=42（个）.（4）千位上排5 ,百位上排6,十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择 0, 1, 2, 3, 4共5 个.综上所述，比5687小的四位数有 2016 + 280+42+5=2343（个），故5687是第2344个四位数. 【答案】2344【例13】 用数字l8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数.共有一种组成方法.【考点】简单排列问题【难

23、度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第 7题【解析】l8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导， 符合条件的排列，一定符合被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显 然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2,第2、5、 8位上的数被3除可以余2可以余1,余数的安排上共有 2种方法，余数安排定后，还有 同余数之间的排列，一共有3!0！ X2! =144种方法.【答案】144种【例14】由数字0、2、8 （既可全用也可不全用

24、）组成的非零自然数，按照从小到大排列.2008排在 个.【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】 比2008小的4位数有2000和2002,比2008小的3位数有2M3M3=18 （种），比2008小 的2位数有2 M3 =6 （种），比2008小的1位数有2 （种），所以2008排在第 2+18+6+2+1=29 （个）.【答案】29【例15】千位数字与十位数字之差为2 （大减小卜且不含重复数字的四位数有多少个？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为2: 9,对应的十位数字取 0: 7,每确定一个千位数字， 十位数字就相应确

25、定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了，因此总共有 8父展个这样的四位数. 千位数字小于十位数字，千位数字222取1: 7,十位数字取3: 9 ,共有7MB个这样的四位数.所以总共有8mP8 +7MP8 =840 个这样的四位数.【答案】840模块四、排列之策略问题【例16】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9 ,那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1, 1, 1, 6; 1, 1, 2, 5; 1, 1, 3, 4; 1, 2, 2, 4;1, 2,

26、 3, 3; 2, 2, 2, 3 六种.第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了， 6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放 1,共有4种选择；第二种中，先考虑放2,有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1, 共有4M3 =12（种）选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择.最后一种， 与第一种的情形相似， 3的位置有4种选择，其余位置放 2,共有4种选择.综上所述，由加法原理，一共可以组成4+12+12 + 12 + 12 + 4=56（个）不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试 56次.【答案】56【例17】幼儿园里的6名小朋友去坐3把

27、不同的椅子，有多少种坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】在这个问题中，只要把 3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问 题就可以车t化成从 6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题.由排列数公式，共有：P3 =6父5M4 =120（种）不同的坐法.【答案】120【巩固】 幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把门有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从 6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题

28、. 由排列公式，共有：P3 =6父5M4=120（种）不同的坐法.【答案】120【巩固】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么 共有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个 元素中取6个，排在6个不同位置的排列问题.共有 R0 =10x9 m8m7m6m5 =151200（种）不同的坐法.【答案】151200【例18】一个篮球队有五名队员 A , B , C , D , E ,由于某种原因，E不能做中锋，而其余 4 个人可以分配到五个位置的任

29、何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下来以后，其余4个人对应4个位置，有P44 =4父3父2M1 =24（种）排列.由乘法原 理，4 M24 =96,故一共有96种不同的站位方法.方法二：五个人分配到五个位置一共有P55 =5X4X3X2X1=120（种）排列方式，E能做中锋一共有P： =4父3父2父1 =24（种）排列方式，则 E不能做中锋一共有 P55 -P44 =120 -24=96种不同 的站位方法.【答案】96【例19】 小明有10块大白兔奶糖，从今天起，每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列，如果在其中9个间隙中的某个位置插入 朱棍”则将10块糖分成了两部分.我们记从左至右，第1部分是第1天吃的，第2部分是第2天吃的，n：ooo oooeom-天吃了 3粒，第二天吃了剩下的7粒：OOOO | 00示第-QOT 4粒，第二天吃了 3粒，第三天吃了剩下的3粒.不难知晓，每一种插入方法对应一种吃法 ，而9个间隙，每个间隙可以插人也可以不插入，且相互独立，故共有 29=512种不同的插入方法，即512种不同的吃法.【答案】512