概率论与数理统计期末复习20题及解答.docx

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1、实用文档概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋 ，再从乙 袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电 话的概率.3、已知将0,1两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1 ,且输出结果为原字符的概率为(01).假设该信道传输各字符时是独立工作的.现以等概率从“ 101“ 010 ”这两个字符串中任取一个入信道.求输出结果恰为“ 000”的概率.4、试卷中的一道选择题有 4个答案可供选择

2、，其中只有 1个答案是正确的.某考生如果会做这道题， 则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案.设该考生会做这道题的概率 为0.85. (1)求该考生选出此题正确答案的概率；(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率.【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X的分布函数为F (x) A B arctan x,(3)求X的概率密度.(1)求系数A及B ; (2)求X落在区间(1,1)内的概率;6、设随机变量X的概率密度为f(x)ax, 0 x0, 其它1,求：(1)常数a ; (2)P(0.5 X 1.5); (3)X的分布函数F(x).7、设二维随

3、机变量(X,Y)的联合概率密度为A(1 f (x, y)0,xy),1, y其它.1;求：(1)系数A； (2)X的边缘概率密度fX (x) ; (3)概率P(Y8、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x, y)2x;0,其它.1.一 一 一求：(1) (X,Y)的边缘概率密度 fx(x), fY(y); (2)概率P(X ,Y 1) ; (3)判断X ,Y是否相互2独立.9、设X和Y是两个相互独立的随机变量，fY(y)X U 0, 0.2, Y的概率密度函数为 5e5y,y 0,0,y 0.(1)求X和Y的联合概率密度 f (x, y) ; (2)求概率P(Y X) .【第三章】数字特征

4、10、设随机变量X的概率密度为(ab)xb,0 x1,f (x)a (2x),1 x2,0,其它，_ _1,、，_已知 E(X),求：(1) a,b 的值；(2) E(2X 3).211、设随机变量X的概率密度为f(x)Ae2x, x 0, 0, x 0.求：(1)常数 A; (2) E(X)和 D(X) .(1)求X,Y的数学期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y) . (2)求X,Y的协方差cov(X,Y)与相12、设(X,Y)的联合概率分布如下:X-Y0101 / 4011 / 41 / 2关系数R(X,Y).【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试

5、成绩X (百分制)近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%. (1)试估计本次考试的不及格率(低于60分为不及格)；(2)试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.已知 (1) 0.8413,(1.5) 0.9332,(2) 0.9772 14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量 X (单位：mm)表示轴的直径，随机变量 Y (单2_2位：mm)表示轴衬的内径，已知 X N(50, 0.3 ), Y N(52,04 ),显然X与Y是独立的.如果轴衬的内径与轴的直径之差在1 3 mm之间，则轴与轴衬可以配套使用.求任

6、取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.已知 (2) 0.9772【第五章】 数理统计基本知识15、设总体X N(0, 1) , Xi,X2, ,X5是来自该总体的简单随机样本，求常数 k 0使k(X1 2X2)X2 X2 X52t(3).16、设总体X N (40,52),从该总体中抽取容量为64的样本，求概率 P(| X 40 | 1).【第六章】参数估计17、设总体X的概率密度为f(x；)(x 2)e0,x 2,其它，其中参数0 .设X3X2, ,Xn是取自该总体的一组简单随机样本，Xi,X2, ,4为样本观测值(1)求参数 的矩估计量.(2)求参数 的最大似然估计量.18、设总体X的概率密度

7、为f(x;)1-X xe0,x 0;x 0,其中参数0 .设X3X2, ,Xn是取自该总体的一组简单随机样本，Xi,X2, ,Xn为样本观测值(1)求参数 的最大似然估计量.(2)你得到的估计量是不是参数的无偏估计，请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为 0.618 (黄金分割)时将给人们视觉上的和谐美感.某工艺品厂生产矩形裱画专用框架.根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为0 0.618的正态分布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为x 0.646,样本标准差为s 0.093.试问在显著性水平0.05水平上能否认为

8、这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用.临床统计表明，在服用此药的人群中实用文档收缩压的增高值服从均值为0 22 (单位：mmHg ,毫米汞柱)的正态分布.现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验.现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值x 19.5(mmHg ),样本标准差s 5.2(mmHg ).试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代 药品比原药品副作用小”这一结论(取显著性水平0.05).解答部分【第一章】随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有 2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋，

9、再从乙袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设A表示“从甲袋移往乙袋的是白球” ，B表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则C AB,431又P(A) ，P(B A)-于是由概率乘法定理得所求概率为7624 12P(C) P(AB) P(A)P(BA)=- - 7.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率.【解】 设Ai表示“此人第i次拨号能拨通所需电话”(i 1,2), A表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则A Ai A1A2,由概率加法定理与乘法定理得所求概率为

10、P(A) P(A A1A2) P(A1) P(A1A2)19 1P(A) P(A)P(A2A) -9 1 0.2.10 10 93、已知将0,1两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1 ,且输出结果为原字符的概率为(01).假设该信道传输各字符时是独立工作的.现以等概率从“ 101“ 010 ”这两个字符串中任取一个入信道.求输出结果恰为“ 000”的概率.【解】设Ai :输入的是“ 101 ”，A2:输入的是“ 010 ”，B:输出的是“ 000 ”，则P(Ai) 1/2, P(A2) 1/2, P(b|Ai) (1)2 , P(B A2)2(1),P(B) P(Ai)P(B Ai) P(A

11、2)P(B A2)12121一(1)-(1)(1).2224、试卷中的一道选择题有 4个答案可供选择，其中只有 1个答案是正确的.某考生如果会做这道题,则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案.设该考生会做这道题的概率为0.85. (1)求该考生选出此题正确答案的概率；(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道 题的概率.【解】设A表示“该考生会解这道题” ，B表示“该考生选出正确答案”，则P(A)(1)由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得0.85, P(A) 0.2, P(B A) 1, P(B| A) 0.25.P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B|

12、A)P(AB)”0.85 10.90.944. 180.85 1 0.2 0.25 0.9.【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X的分布函数为F (x) A B arctan x, x(3)求X的概率密度.(1)求系数A及B ; (2)求X落在区间(1,1)内的概率;【解】(1)由分布函数的性质可知F()如 F(x) A B ( -) 0,F( ) lim F(x) A B -x2由此解得(2) X的分布函数为于是所求概率为P( 1 X 1)(3) X的概率密度为F(x)1A -,B2arctanx (),1111F (1) F ( 1) ( arctan1) ( arctan( 1

13、)22f(x) F (x)(1x2)6、设随机变量X的概率密度为f(x)ax, 0 x 1,0, 其它，实用文档y x2求：(1)常数 a ； (2) P(0.5 X1.5)； (3)X的分布函数F(x).【解】(1)由概率密度的性质可知f(x)dx1axdx01,由此得(2)P(0.51.5)12xdx1/22 .3/20dx101/20.75.(3)当 xx 1时,1时，有所以,0时，有F(x)x0dx0;F(x)F(x)X的分布函数为7、设二维随机变量求：(1)系数A; (2)00dx00dxF(x)(X,Y)的联合概率密度为f (x, y)A(10,X的边缘概率密度fX(x)【解】(1

14、)由联合概率密度的性质可知由此得(2)当1 x 1时，有当x 1或x 1时，显然有所以X的边缘概率密度(3)P(Y X2)x2xdx012xdx0,2x ,1,xy),(3)x0dx10,x 1,1.1, y其它.概率P(Y1.1;f (x, y)dxdydx 1 A(1fX(x)f (x, y)dyfX(x)fX(x)1/2,0,xy)dy4A1,f (x, y)dxdy1dx10.x2 114xy . dy 41 x 1;其它.%y一(一 x14 2x21)dx -23实用文档8、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x, y)1, 0 x 1,0 y 2x;0,其它.求：(1) (X,

15、Y)的边缘概率密度独立. 1fx(x) , fY(y) ； (2)概率 P(X - ,Y21) ； (3)判断X ,Y是否相互【解】(1)当0 x 1时，有2xfx (x)f(x,y)dy 0 dy 2x;当x 0或x 1时，显然有fx(x) 0.于是X的边缘概率密度为2x, 0x1; fX(x)0,其它.当0 y 2时，有1yfY (y)f (x, y)dx y dx 1 52当y 0或y 2时，显然有fY(y)0.于是Y的边缘概率密度为1、(2) P(X 2,Y 1)1 fY(y)2,0,11/ 2dy f (x, y)dx0 y 2；其它.11/21dy dx .0y/24(3)容易验证

16、f (x, y)fX(x) fY(y),故X与Y不独立.9、设X和Y是两个相互独立的随机变量，X U 0, 0.2, Y的概率密度函数为fY(y)5e5y, y 0,0, y 0.(2)求X和Y的联合概率密度 f (x, y) ； (2)求概率P(Y X).【解】(1)由题意知，X的概率密度函数为fX(x)5,0,0 x 0.2;其它.因为X和Y相互独立，故 X和Y的联合概率密度5y25e ,0 x 0.2, y 0;f (x, y)fX(x)fy(y)0 其它 )(2)0.2 x0.2P(Y X) f (x,y)dxdy dx 25e 5ydy 5。(1 e )dx e【第三章】数字特征10

17、、设随机变量X的概率密度为f(x)b,(a b)x a(2 x) 0,0x1,1 x 2, 其它，1,已知E(X),求：(1) a,b的值;2【解】(1)由概率密度的性质可知(2)E(2X3).E(X)联立方程组f (x) dxxf (x)dx10(ab)x bdx10(ab)x2押2bxdxb2 b61,12,x) dx21a(2x)xdx解得(2) 由数学期望的性质，有E(2X3) 2E(X)4.11、设随机变量X的概率密度为f(x)Ae2x0,0,0.求：(1)常数 A; (2) E(X)和 D(X) .【解】(1)由概率密度的性质可知f (x)dxAe2xdx由此得(2)由数学期望公式

18、得E(X)2x 2x ,x 2e dxtetdtH2)由于E(X2)2x t a2e 2xdx40 t2e tdt13)%2!故利用方差计算公式得2211 21D(X) E(X ) E(X)()224【解】 由(X ,Y)的联合概率分布知X,Y服从0 1分布:12、设(X,Y)的联合概率分布如下：-Y0101 / 4011 / 41 / 2(1)求X,Y的数学期望E(X),E(Y),方差D(X), D(Y). (2)求X,Y的协方差cov(X,Y)与相 关系数R(X,Y).3/16 , 1/4 ,从而E(XY) 0 0 1/4010101/4111/41/2,cov(X,Y) E(XY) E(

19、X)E(Y)1/2 3/4 1/2 1/8,P(X 0) 1/4, P(X 1) 3/4,P(Y 0) 1/2, P(Y 1) 1/2,由0 1分布的期望与方差公式得E(X) 3/4, D(X) 3/4 (1 1/4)E(Y) 1/2, D(Y) 1/2 (1 1/2)由(X,Y)的联合概率分布知cov(X,Y)1/8.3R(X,Y).D(X) D(Y) , 3/16 1/43【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X (百分制)近似服从正态分布,已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%. (1)试估计本次考试的不及格率(低于

20、60分为不及格)；(2)试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.已知 (1) 0.8413,(1.5) 0.9332,(2) 0.9772 2【解】 由题意，可设 X近似服从正态分布 N(75,).已知P(X 95) 2.3%,即95 7520P(X 95) 1 P(X 95) 1() 1(一)2.3%,由此得 (20) 0.977,于是型 2,10,从而近似有 X N(75, 102).(1)60 75P(X 60)()( 1.5) 1(1.5) 1 0.9332 0.0668,10由此可知，本次考试的不及格率约为6.68%.(2)85 75P(65 X 85) F

21、(二)(1) 2 (1) 1 2 0.8413 1 0.6826,由此可知，成绩在 65分至85分之间的考生人数约占考生总数的68.26% .14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X (单位：mm)表示轴的直径，随机变量 Y (单位：mm)表示轴衬的内径，已知 X N(50, 0.32), Y N(52,0.42),显然X与Y是独立的.如果轴 衬的内径与轴的直径之差在1 3 mm之间，则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.已知 (2) 0.9772【解】 设Z Y X,由X与Y的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知， 一_ 22Z Y X N(52 50,0

22、.30.4 ),即Z N(2,0.52).于是所求概率为 _3 21 2P(1 Z 3)(/)崇)(2)( 2)0.50.52 (2) 1 2 0.9772 1 0.9544.【第五章】 数理统计基本知识15、设总体 X N(0, 1),k(X1 2X2)X2 X2 X52t(3).Xi,X2, ,X5是来自该总体的简单随机样本，求常数【解】 由XN(0, 1)知Xi 2X2 N (0, 5),于是X1 2X212 N (0,1),%52又由分布的定义知所以X； x2 x；2(3),(X1 2X2)/ ,5X1 2X2,(X； X： X；)/3X3 X4= t(3), X；比较可得从而16、设

23、总体X由题设2、N(40,5 ),从该总体中抽取容量为64的样本，求概率 P(| X 40 | 1).P(|XX401 1) P(|-64,于X n4058 N (0,1)408| 一) 5/85P(|u| 8) 2 (1.6) 1 2 0.9452 1 0.8904.5【第六章】参数估计17、设总体X的概率密度为f(x；)(x 2)e0,x 2,其它，其中参数0 .设X3X2, ,Xn是取自该总体的一组简单随机样本，Xi,X2, ,Xn为样本观测值(1)求参数 的矩估计量.(2)求参数 的最大似然估计量. x 2 t1【解】(1) E(X) xf(x, )dx 2 xe (x 2)dx0 (

24、t 2)e tdt - 2 ,1令X E(X),即X 2,解得参数的矩估计量为(2)样本似然函数为L()nf (X,i 1(xi 2)xi 2n)i 1上式两边取对数得上式两边对求导并令导数为零得lnL()nlnn(Xii 12n),d ln L()dn n一(xi 2n) 0, i 1n 1解得 ，从而参数的最大似然估计量为X 2n x 2i 11X 218、设总体X的概率密度为f(x；)1-x xe0,x 0;x 0,其中参数0 .设X1，X2, ,Xn是取自该总体的一组简单随机样本，入,*2, ,4为样本观测值(1)求参数 的最大似然估计量.(2)你得到的估计量是不是参数的无偏估计，请说

25、明理由.【解】(1 )样本似然函数为nnxinr1-1L( ) f(X, ) xie二 xxi1上式两边取对数得求导数得ln L( ) 0解得(2) E(X)于是lnL( ) 2nlnlnL()2n i 112 x/-yX edxIn Xi i 12nXi的极大似然估计量为2n i 1XiX t/X、2 x/ ()e dX,2 t,t e dX0? X 1-11E(?) E(-)E(X) E(X) 222221 nX X i 是 的无偏估计.2n i 12【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为 0.618 (黄金分割)时将给人们视觉上的和谐美感 画专用框架.根据该厂制定的技术标准，一批合格

26、产品的宽与长之比必须服从均值为.某工艺品厂生产矩形裱00.618的正态分布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取准差为s 0.093.试问在显著性水平25个样品，测得其宽与长之比的平均值为x 0.646,样本标0.05水平上能否认为这批产品是合格品？【解】由题意，待检验的假设为Ho ：因为未知，所以检验统计量为0 0.618; H1：0.618.tS/ nX 0.618S/ .255(X 0.618)t(24), S|t|关于H 0的拒绝域为现在 x 0.646 ,因为 |t| 1.505 2.06t /2(n 1) t0.025(24)2.06.s 0.093 ,所以统计量t的观测值为5(0

27、.646 0.618)t 1.505 .0.093t0.025(24),即t的观测值不在拒绝域内，从而接受.原假设，即可以认为这批产品是合格品.20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用.临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为0 22 (单位：mmHg ,毫米汞柱)的正态分布.现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验.现从该批志愿者中随机抽取 16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值x 19.5(mmHg ),样本标准差s 5.2(mmHg ).试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代 药品比原药品副作用小”这一结论(取显著性水平0.05).【解】由题意，待检验的假设为Ho因为未知，所以取统计量t且关于Ho的拒绝域为t22; Hi：4(X 22)t(15), St (n 1) to.o5(15)1.753.现在 x 19.5, s5.2,所以统计量t的观测值为x 4(19.5 22) t 1.923.5.2因为t 1.9231.753 to.o5(15),即t的观测值在拒绝域内，从而拒绝.原假设，即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论