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1、康杰中学 2017201820172018高考数学（理）模拟题（五） 【满分 150分，考试时间为 120分钟】 一、选择题（51260 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将 正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号） x y x y 2 2 1已知集合 ， | 1 M x 1 ，则 M I N 3 2 9 4 A B(3, 0), (2, 0) C3, 2 D3, 3 2. 已知复数 z x yi(x, y R) 满足 z 1，则 y x 1 的概率为 A 3 1 B 3 + 1 4 2 4 2 C 1 1 D 1 + 1 4 2 4 2 3等比数列 a
2、各项均为正数，a3a8 a4a7 18 ，则 log a log a log a n 3 3 3 1 2 10 15 A.20 B.36 C.9 D. 2 2 2 4已知命题 P ：存在 n R ，使得 是幂函数，且在 (0,)上单调递增； 命 n n f (x) nx 3 题 q ：“x R, x2 2 3x ”的否定是“x R, x2 2 3x ”.则下列命题为真命题的是 A p q B p q C p q D p q 5早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的科学方法，其中商 鞅铜方升是公元前 344年商鞅督造的一种标准量器，其三视图如图所示 (单位：寸)，若 取 3，其体积为 12
3、.6(立方寸)，则图中的 x 为 A1.2 B1.6 C1.8 D2.4 6如图，已知 P,Q 是函数 f (x) Asin(x )(A 0, 0, )的图 2 象 与 x 轴 的 两 个 相 邻 交 点 ， R 是 函 数 f (x) 的 图 象 的 最 高 点 ， 且 RP RQ 3 g(x) f (x) x 1 ，若函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则 函数 g(x) 的解析式是 - 1 - A g(x) 2sin( x ) B g(x) 3 sin( x ) 2 4 2 4 C g(x) 2sin( x ) D g(x) 3 sin( x ) 2 4 2 4 2 sin( 6x)
4、x 2 7.函数 的图像大致为 y 4 1 x y 1 8已知实数 x, y 满足 y 2x 1，如果目标函数 z x y 的最小值为 1，则实数 m 等于 x y m A7 B5 C4 D3 9 如 果 执 行 右 边 的 程 序 框 图 ， 输 入 正 整 数 N(N 2) 和 实 数 a1,a2 , aN A、B ，输出 ，则 A. A+B为 1, 2 , , 的和 a a a N A+B B. 为 的算术平均数 a1,a2 , ,a 2 N C. A 和 B 分别是 a1,a2 , ,a 中最大的数和最小的数 N D. A 和 B 分别是 1, 2 , , 中最小的数和最大的数 a a
5、 a N 10点 A，B，C，D 在同一球面上， AB BC 6, ABC 90 ，若四面体 ABCD 体积最大值为 3，则这个球的表面积为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 11已知 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ，则椭 F F 1, 2 F PF 1 2 3 圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 4 3 2 3 A B C3 D2 3 3 - 2 - 12设过曲线 f (x) ex x 3a (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l ，总存在过 1 曲线 g(x) (x 1)a 2 cos x 上一点处的切线l ，使得l l ，则实数 a 的取值范围
6、是 2 1 2 A1, 1 B2, 2 C1, 2 D2,1 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） n 13.若 3 3 的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1024，则该展 x x 开式中的常数项是_. 14.如图，在 ABC 中， N 为线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 P 在 BN u uur u uur uuur 2 2 上且 ，则实数 的值为_. AP (m )AB BC m 11 11 15.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四 “”个顶点，则这四个顶点是 三节棍体 的四个顶点的概率为_. 16 已 知 数
7、 列 的 通 项 公 式 为 ， 数 列 的 通 项 公 式 为 ， 设 a a 25n b b n k n n n n b ,a b c c n n n c c n N* k ，若在数列 中， 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围 n n 5 n a ,a b n n n 是_. 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17（本小题满分 12分） 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c ，且 2acosC c 2b . （1）求角 A 的大小； （2）若 c 2 ，角 B 的平分线 BD 3 ，求 a 的值. 18（本小
8、题满分 12分） 如图， AB 为圆 O 的直径，点 E, F 在圆 O 上， AB / /EF ,矩形 ABCD 和 圆O 所在的平面互相垂直，已知 AB 2, EF 1. （1）求证：平面 DAF 平面CBF ； （2）当 AD 的长为何值时，二面角 D FC B 的大小为 60 . - 3 - 19（本小题满分 12分） 春节来临，有 A、B、C、D 四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即 可获得火车票，他们获得火车票与否互不影响.若 A、B、C、D 获得火车票的概率分别是 1 1 p , , p , 1 3 2 4 1 率是 . 2 1 ，其中 ，又 等比数列.且 两人恰
9、好有一人获得火车票的概 p p p , ,2p A、C 1 3 1 3 2 （1）求 的值； p1, p3 （2）若C、D 是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设 X 表示， A、B、C、D 能够回家过年的人数，求 X 的分布列和期望 E（X）. 20（本小题满分 12分） 已 知 抛 物 线 C 的 标 准 方 程 为 y2 2px( p 0) ， M 为 抛 物 线 C 上 一 动 点 ， A(a, 0)(a 0) MA C N A C 为其对称轴上一点，直线 与抛物线 的另一个交点为 .当 为抛物线 的焦点且直线 MA与其对称轴垂直时， MON 的面积为 18. （1
10、）求抛物线C 的标准方程； 1 1 （2）记 ，若 值与点 位置无关，则称此时的点 为“稳定点”，试求 t t M A AM AN “出所有 稳定点”，若没有，请说明理由. 21（本小题满分 12分） 已知函数 ( ) ln 1 2 2 ，其中 . f x x x ax a R 2 （1）讨论函数 f (x) 的单调性； m 0 1 ,1 mln x a x x e （2）已知函数 .其中 ，若对任意 ，存在 ， g(x) m 1, 2 1, x 2 使得 成立，求实数 的取值范围. f (x ) g(x ) 1 m 1 2 请考生在第 22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题
11、记分. 22（本小题满分 10分） x 2 t 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 （t 为参数），以原点O 为极点， x y 4 t - 4 - 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 sin2 2 cos .直线l 交曲线C 于 A, B 两点. （1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设点 P 的直角坐标为 (2,4)，求点 P 到 A, B 两点的距离之积. 23（本小题满分 10分） 已知函数 f (x) 2x 1 2x 1 . （1）求证： f (x) 的最小值等于 2； 1 （2）若对任意实数 a和b ， 2a b a a b f
12、 (x) 0，求实数 x 的取值范围. 2 - 5 - 2018 届数学理模拟（五）参考答案 1D【解析】根据题意，集合 M x | 3 x 3, N y | y R， 故选 D 2C【解析】 (x, y)在单位圆上动，故概率为 1 1 1 1 4 2 4 2 3A【解析】 5 a3a8 9, log 3 a1a2.a10 log 3 9 20 1 4C【解析】当 n 1时， f (x) x 为幂函数，且在 (0,)上单调递增，故 p 是真命题，则 3 q x R, x2 2 3x x R, x2 2 3x q q 是假命题；“ ”“的否定是 ”，故 是假命题， 是真命题所以 p q,p q,
13、p q 均为假命题， p q 为真命题，选 C 5B【解析】由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的，故其体积为 1 1 (5.4 x) 3 1 ( ) x 16.2 3x x 12.6 2 3 x 1.6 ，又 故 .故选 B 2 4 3 6A【解析】由已知，得 ，则 ， ， R( , A) RP (1,A) RQ (1,A) 2 于是 RP RQ A2 1 3，得 A 2 ，又 T 5 1 ，T 4， 2 ， 2 2 2 T 2 1 由 及 ，得 ，故 因为 与 2k ,k z f (x) 2sin( x ) g(x) 2 2 2 4 2 4 f (x) x 1 的图象关于
14、 对称， 则 g(x) f (2 x) 2sin (2 x) 2sin ( x ) 2sin( x ) 2 4 2 4 2 4 2 cos 6x x 7.D【解析】 奇函数，排除 A；当 时 ，排除 B； 有无数个 f x x y 0 f (x) ( ) 0 4 1 x 零点，排除 C，故选 D. 8. B【解析】选项代入不等式组中，验证当 m 5时成立. 9C【解析】由程序框图知 A 为其中最大的数，B 为最小的数，故选 C. 10D【解析】由体积最大得高为 3， (3 R)2 ( 3)2 R2 得 R 2 11A【解析】设椭圆离心率 ，双曲线离心率 ，由焦点三角形面积公式得 ，即 e e
15、12 3 22 b b 1 2 a1 3a2 4c 2 2 2 1 3 1 1 ，即 ，设 ， 4 m ,n 即m2 3n2 4 e e e e 2 2 1 2 1 2 - 6 - 由柯西不等式得 m n最大值为 4 3 . 3 12.C【解析】 1 成立 x1,x2使(e 1)(a 2 sin x2 ) 1 x 即 2 sin x a 2 1 e x 1 1 1 2 a 2 e 1 x 1 1 1 2 2 x a x e 1 e 1 1 1 n 13. -90 【解析】 3 3 令 ，得 ，展开式常数项为 x C x 1 n 5 53 ( 1)332 90 x u uur u uur uuu
16、r 5 5 6 14. 【解析】 ，由系数和为 1 得 . AP m AB AN m 11 11 11 12 15. 【解析】从 8 个顶点任取 4 个有 种，构成三节棍体的三棱锥有一个面在长方 C84 70 35 C1C3 6 4 2 24 体 的面上，所以有 种. 2 16. 5,3 【解析】C 是 a 与b 中最大值， a 单调递减，b 单调递增， n n n n n 故 或 解得 b a b a b a 5 k 3 5 5 6 5 5 4 17 （6 分） - 7 - （12 分） 18（ 1） 证 明 Q平 面 ABCD 平 面 ABEF ， CB AB ， 平 面 ABCD I 平
17、 面 ABEF AB CB 平面ABEF Q AF 平面ABEF AF CB ， . ， 又 Q AB 为圆O 的直径， AF BF Q BF CB B AF 平面CBF . （5 分） Q AF 平面DAF 平面DAF 平面CBF , （2）解：设 EF 的中点为G ，CD 的中点为 I，以O 为坐标原 点，OA,OG，OI 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空 间直角坐标系（如图）. 过点 F 作 FH AB ，交 AB 于点H ， Q AB EF 1 AB 2, EF 1, AH 2 2 . 在 RtAFB 中，根据射影定理 AF2 AH AB ，得 AF 1. AF 1
18、Qsin ABF ,ABF 30 AB 2 3 ， ，设 ，则点 的坐标为 HF AD t(t 0) D 2 (1, 0,t) C(1, 0,t) (1, 0, 0), ( 1, 0, 0), (1 , 3 ,0) ，则 .又 A B F 2 2 uuur uuur 1 3 CD (2, 0, 0), FD ( , ,t) 2 2 . ur uuur 2x 0 n CD 0, 设平面 DCF 的法向量为 1 ( , , ) ，则 ur uuur 即 n x y z 1 1 3 x y tz n FD 0, 0 1 2 2 2 2 令 z 3 ，解得 x 0, y 2t,n (0, 2t, 3)
19、 . 1 uur uuur 1 3 由（1）可知 AF 平面CFB ，取平面CBF 的一个法向量为 n AF ( , ,0) ， 2 2 2 n n 1 2 ur uur cos 60 n n 1 2 3t 1 6 ，即 ，解得 . t 2 4 31 4 t 2 - 8 - AD 6 当 的长为 时，二面角 的大小为 . D FC B 60 4 （12分） 19 （5 分） （12分） 1 1 p p 2 20解：（1）由题意， ， S OA MN 2p 18 MON 2 2 2 2 p 6 C y2 12x ， 抛物线 的标准方程为 . （4 分） x my a, （ 2） 设 ， 设 直
20、线 的 方 程 为 ， 联 立 得 M (x , y ), N(x , y ) MN x my a 1 1 2 2 y 12x 2 - 9 - y2 12my 12a 0 144m2 48a 0, y y 12m, y y 12a . . 1 2 1 2 由对称性，不妨设m 0. 当a 0 时， y1 y2 12a 0, y1 y2 同号， Q 又 Qt 1 1 1 1 AM AN 1 m y 1 m y 2 2 1 2 1 2 1 144 2 1 1 (y y ) m t (1 ) 2 1 2 1 m (y y ) 1 m 144a a 1 m 2 2 2 2 2 2 1 2 ， 不论 a
21、取何值，t 均与 m 有关，即 a 0 时， A “”不是 稳定点 . 当a 0 时， 1 2 12 0, 1 2 异号. Q y y a y y 1 1 1 1 又 ， Qt AM AN 1 m y 1 m y 2 2 1 2 1 a 1 1 2 1 2 1 144 2 48 1 (1 3 ) (y y ) (y y ) 4y y m a t 2 1 2 1 2 1 2 1 m (y y ) 1 m (y y ) 1 m 144a a 1 m 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 当且仅当 时， 与 无关，此时的点 “”为 稳定点 .（12分） a 1 0,即a 3 t m A
22、(3, 0) 3 1 x 2ax 1 2 21解：（1） （1 分） f (x) x 2a (x 0) x x 令 h(x) x2 2ax 1, 4(a2 1) ， 当a 0 时，2ax 0 ， f (x) h(x) 0 ，函数 在 上单调递增；（2 分） f (x) (0,) x 当 0 a 1时， 4(a2 1) 0，所以 h(x) 0，即 f (x) 0 ， 函数 f (x) 在 (0,)上单调递增； （3 分） 当a 1时， 4(a2 1) 0，令h(x) 0，得 1 2 1 0, 2 2 1 0 ， x a a x a a 且 ，由 ,由 x x f (x) 0 x(0, x ) U
23、(x ,) 1 2 1 2 f x x x x ( ) 0 ( , ) 1 2 f (x) 在 (0, x )和 (x ,)上单调递增，在 (x , x ) 单调递减，（5 分） 1 2 1 2 综上，当 a 1时，函数 f (x) 在 (0,)上单调递增， 当 a 1时， f (x) 在 (0,a a2 1) , ( a a2 1,)上单调递增， - 10 - 在 (a a2 1, a a2 1) 上单调递减. （6 分） （2）存在 ，使得 成立， x1, x2 1,e f x g x ( ) ( ) 1 1 2 存在 使得 且 成立， x1, x2 1,e g(x ) 1 f (x )
24、f (x ) 1 g(x ) 2 1 1 2 ， g(x) 1 f (x) 且f (x) 1 g(x) , x1,e min max min max 1 由（1）知，当 时， 上单调递增， a ,1 f (x)在1,e 2 1 f (x) f (1) 2a min 2 e 2 f (x) f (e) 2ae 1 max 2 （8 分） m(1 ln x) 1 ln x 0 又 时， g (x) , x 1,e x 2 由 m 0可知， g(x) 0，则 g(x) 在1,e上单调递增， m 此时 ， g(x) g(1) m, g(x) g(e) m min max e 且 g(x) 1 f (x
25、) min max f (x) 1 g(x) min max 1 e 2 且 恒成立， 1 2 1 m a ,1,m 1 2ae 1 a m 2 2 2 e e 1 1 2 且 ， m ( 2ae 2) ( 1)m ( 2a) min max 2 e 2 1 e 2 可看作关于 的一次函数， a ,1, y 2ae 2 a 2 2 e e e 2 2 2 则 ， （10 分） ( 2ae 2) 2e 2 m 2e 2 min 2 2 2 1 3 e 同理， ， ， （11分） ( 2a) m 3 2 2 2(e 1) max e 2 又 m 0， m(0, 2e 2) （12分） 2 x 2
26、t 22 解 ： （ 1） 由 直 线 l 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ）， 得 的 普 通 方 程 为 t l y 4 t x y 2 0 ， - 11 - 直线l 的极坐标方程为 cos sin 2 0. （3 分） 曲线C 的直角坐标方程为 y2 2x （5 分） （2）直线l ： x y 2 0 经过点 p(2,4)，斜率为 1， 2 x 2 T 2 直线l 的标准参数方程为 （ 为参数） （7 分） T 2 y 4 T 2 将直线l 的参数方程代入 y2 2x ，化简得T 2 10 2T 40 0 . （10 分） PA PB T1T2 40 23解：（1） 2x 1 2
27、x 1 2x 1 1 2x (2x 1) (1 2x) 2 f (x) 2 （4 分） 当且仅当 (2x 1)(1 2x) 0“时 =”成立， 1 1 即当且仅当 时， 的最小值等于 2 （5 分） x f (x) 2 f (x) 2 2 （2）当 a b 0即 a b 时， 2 1 ( ) 0可化为 ，即 a b a a b f x 2 b 0 f (x) 0 2 2 a 0 x R 成立， （6 分） 当 a b 0 时， 2a b a 2a b a (2a b) a a b ， 当且仅当 (2a b)(a) 0“时 =”成立，即当仅当 (2a b)a 0“时 =”成立. 2a b a 2a b a 2a b a ,且当 时, 的最小值等于1. 1 (2a b)a 0 1 a b a b a b 2a b a 1 1 ， 2a b a a b f (x) 0 f (x) 2 a b 2 1 ，即 . （8 分） f (x) 1 f (x) 2 2 由（1）知 f (x) 2, f (x) 2 由（1）知当且仅当 1 1 时， . x f (x) 2 2 2 1 1 综上所述， x 的取值范围是 , （10 分） 2 2 - 12 -