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1、山西省运城市康杰中学 20182018 届高考数学模拟试题（四）理 【满分 150 分，考试时间 120 分钟】 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1 2i 1. 复数 的实部为 z 2 i 5 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 设集合 A y y x x ，集合 1，则 等于 log ,0 4 B x ex A B 2 A. ,2 B. (0,) C. (,0) D. R 3. “”结绳计数 是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所 示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，
2、在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一， 根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是 A. 492 B. 382 C. 185 D. 123 4. 给出下列四个结论： 1 1 “命题 .”“的否定是 .”； x 0, x 2 x 0, x 2 0 0 x x 0 “ 若 ，则 .”“的否命题是 若 则 .”； sin 3 , sin 3 3 2 3 2 若 p q 是真命题， p q 是假命题，则命题 p,q 中一真一假； 1 若 ，则 是 的充分不必要条件. p : 1;q :ln x 0 p q x 其中正确结论的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1 5. 已
3、知 ，则 tan 4 cos2 tan 4 1 A. B. 2 1 C. D. 4 1 3 1 5 - 1 - x y 1 6. 已知实数 x, y 满足 x 2y 2 0 ，若 z x ay 只在点（4，3）处取得最大值，则 a 2x y 2 的取值范围是 A. (,1) B. (2,) C. (,1) D. (1 ) ， 2 7. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为 2 的正 方形，侧视图是底边长分别为 2 和 1 的直角梯形，则该几何 正视图 侧视图 体的体积为 8 A. B. 3 4 3 8 2 C. D. 3 4 2 3 俯视图 8. 已知a 与b 为单位向量，且a b ，向
4、量c 满足| c a b |2，则c 的取值范围为 A. 1，1 2 B. 2 2，2 2 C. 2，2 2 D. 32 2，3 2 2 9. 将函数 y 2sinx( 0) 的图象向左平移 (0 ) 个单位长度后，再将所得的图象 2 向下平移一个单位长度得到函数 y g(x) 的图象，且 y g(x) 的图象与直线 y 1相邻两个交 点的距离为 ，若 g(x) 1对任意 x( , ) 恒成立，则 的取值范围是 12 3 A. , B. , C. , D. , 12 2 6 3 12 3 6 2 y 2 x 2 1 F1, F2 F PF 10.设双曲线 的左、右焦点分别为 . 若点 P 在双
5、曲线上，且 为锐角三 1 2 3 角形，则 的取值范围是 PF+P F 1 2 A. (2 7,8) B. (2 3,2 7) C. (2 7,) D. (8,) 11. 点 P 为棱长是 2 5 的正方体 ABCDA B C D 的内切球 O 球面上的动点，点 M 为 B C 的 1 1 1 1 1 1 - 2 - 中点，若满足 DP BM ，则动点 P 的轨迹的长度为 A. B. 2 C. 4 D. 2 5 12. 设 函 数 f (x)是 函 数 f (x)(x R) 的 导 函 数 ， 已 知 f (x) f (x)， 且 f x f x f f f (x) 2ex 0 x ( ) (
6、4 ), (4) 0, (2) 1 ，则使得 成立的 的取值范围是 A. (2,) B. (0,) C. (1,) D. (4,) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 幂函数 f (x) (m2 3m 3)xm 的图象关于 y 轴对称，则实数 m _. 14. (x y 2)5 的展开式中，x2 y2 的系数为_. sin A 5c 15. 在 ABC 中， a,b,c 分别是内角 A，B，C 的对边且 B 为锐角，若 ， sin B 2b 7 5 7 sin , B S b ，则 的值为_. ABC 4 4 x y 2 2 16. 已知椭圆 的左、右焦点分
7、别为 ，过 的直线与椭圆交于 2 2 1(a b 0) F，F F 1 2 1 a b A, B的两点，且 轴，若 为椭圆上异于 的动点且 ，则该椭圆的 AF x P A, B 4 S S 2 PAB PBF 1 离心率为_. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21题为必考 题，每个试题考生必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） n 已知数列 满足 ，等差数列 满足 . a 2 2 cos2 , * b a b a b a n N 1 2 1, 2 2 n n n 2 （1）记 ，求数
8、列 的通项公式 ； c a b a b c c n 2n 1 2n 1 2n 2n n n （2）求数列 的前 项和 . a b 2n S n n 2n 18.（12 分） 中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井， 取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点布置井位进行全面勘探，由于勘探一口 井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这 - 3 - 口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表： 井号 1 2 3 4 5 6 坐标 (x, y)(km) （2，30） （4，40） （5，60） （6，50）
9、（8，70） (1, y) 钻探深度（km） 2 4 5 6 8 10 出油量（L） 40 70 110 90 160 205 （1）若 1-6号旧井位置线性分布，借助前 5 组数据求得回归直线方程为 y 6.5x a ，求 a ， 并估计 y 的预报值； （2）现准备勘探新井 7（1，25），若通过 1、3、5、7 号井计算出的b ， a 的值（b ， a 精确 到 0.01）相比于（1）中b,a 的值之差都不超过 10%，则使用位置最接近的已有旧井 6 (1, y) ， 否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？ n x y nx y i i 4 4 , , 94, 945 （参考公式和计算结
10、果： ） b i a y bx x x y 1 2 n 2i1 2i1 2i1 x nx i i 2 2 1 1 i i1 （3）如果称出油量与勘探深度的比值 k 不低于 20的勘探井为优质井，那么在原有 6 口井中任 意勘探 4 口井，求勘探出优质井数 X 的分布列与数学期望. 19. （12分） 已知四边形 ABCD 为等腰梯形， AB CD, AB 2, AD CD BC 1，沿对角线 BD 将 ABD 旋转，使得点 A 至点 P 的位置，此时满足 PD BC . （1）证明 PD CD ； （2）求二面角 A PB C 平面角的正弦值. 20. （12分） 已知动点 M 到定点 F(1
11、,0) 的距离比 M 到定直线 x 2的距离小 1. - 4 - （1）求点 M 的轨迹C 的方程； （2）过点 F 任意作互相垂直的两条直线l1和l ，分别交曲线C 于点 A, B 和 K, N 设线段 2 AB KN P,Q PQ ， 的中点分别为 ，求证：直线 恒过一个定点. 21（12 分） 已知函数 f (x) x2 2(a 1)x 2axln x 2a 1(a R). （1） a 2 时，求 f (x) 在 (0, 2) 上的单调区间； （2）x 0且 1, 2 ln 2 1 恒成立，求实数 的取值范围. x a x a ax x x 1 （二）选考题：共 10 分。 请考生在第
12、22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 第一题记分。 22. 选修 44：坐标系与参数方程选讲（10 分） x t cos 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 （t 为参数， 0 ），曲 y 2 t sin x 2 cos 线 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴 O x y 2 2 sin 建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设C 与l 交于 M、N 两点（异于O 点），求 OM ON 的最大值. 23. 选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数 f (x) x x a ,a R （1）若 f (1) f (1)
13、1，求 a 的取值范围； 5 （2）若 a 0 ，对 x, y,a，都有不等式 恒成立，求 的 f (x) y y a a 4 取值范围. - 5 - 数学理答案（四） A 卷 15 BDDCC 610 CABBA 1112 CB B 卷 15 ACCBB 610 ABCDB 1112 AD 1. 解析 由复数的运算性质易求得 2. 本题考查集合的运算，指数函数，对数函数的基本性质. 解析 A , 2, B (0,)，故 A B R 3. 本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识 解析 143 342 24 3 123 4. 本题考查了命题真假判断、充要条件等基础知识 解析 对，错 5.
14、解 析 由 得 ： ， 则 tan 4, 1 sin cos 1 4 sin 2 1 tan cos sin sin cos 2 1 cos(2 2) 1 sin 2 1 cos ( ) 2 4 2 2 4 6. 解析 本题考查线性规划.由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标 函数 z x ay ，变形为 y 1 x 1 z(a 0)只在 A(4, 3) 处取得最大值，则 1 1 a a a 1 0 a 或 ，可得 或 ，由 时 在点 处取得最大值，所以 0 a 1 a 0 a 0 z A a(,1) 7.解析 本题考查三视图还原直观图的方法，几何体体积的计算，考查空间想象能A E 力
15、及运算求解能力. B 解析 如图，在棱长为 2 的正方体中，点 A, B,C 为正方体的顶点，点 D, E 为 C 所在棱的中点，由三视图还原后的几何体为四棱锥 A BCDE ，分析知四棱锥的 D 侧面ABE 底面 BCDE ，点 A 到直线 BE 的距离即为棱锥的高，易求得为 4 5 ，故四棱锥的 5 1 4 5 8 体积为 V 2 5 3 5 3 8. 解析 本题考查向量的几何运算及向量的模。因为 a 与 b 为单位向量，且 a b ，故可设 a (1, 0),b (0,1),c (x, y) | c a b | c a b (x 1, y 1), 又 2， - 6 - (x 1)2 (y
16、 1)2 2 ，即 (x 1)2 (y 1)2 4 ，其表示圆心为（1，1），半径 r 2的 圆， 2 2 c= x2 y2 2 2 . 9. 解析 本题考查三角函数的图象变换与性质. 易知由 y 2sinx 经向左向下平移后，得到 ( ) 2sin( ) 1, x 12 3 g x x g(x) 2 ( , ) 由已知得函数 的最小正周期为 ，则 ，当 0 2 6 时 ， ， ， 解 得 2x ( , ), g x Q ( ) 1,0 6 3 2 2 3 6 3 . 10. 解析 11. 解析 本题考查多面体与球及线线，线面垂直。根据题意，该正方体的内切球半径为 r 5，由题意，取 的中点
17、N，连接 CN，则 ，正方体 ， BB CN BM ABCDA B C D 1 1 1 1 1 CN为 DP 在平面 B1C1CB 中的射影，点 P 的轨迹为过 D，C，N 的平面（平面 CNQD，Q 为 AA1 的中点）与内切球的交线（圆），正方体 的棱长为 ，设球心 O 在平 ABCDA B C D 2 5 1 1 1 1 面 ADD1A1的投影为 O，取 DD1的中点 F，则有 DF ，QF ，DQ DF QF OE QD OE 5 2 5 5 ，作 易得， 即为 O 到截面圆的 2 2 - 7 - 距离，如图所示，OQ = 5 ，由平面几何知识易得： QOE QDF ，则 O Q O
18、E ， DQ DF O Q DF 5 5 即 ，O 到截面圆的距离为 1，截面圆的半径距离为 1， O E 1 DQ 5 截面圆的半径为 ，点 P 的轨迹长度为： . ( 5)2 12 2 2 24 ( ) ( ) ( ) 0 f (x) f x f x 12. 解析 本题考查导数的应用. 设 ，则 ，即函数 F(x) F x e e x x F x f (x) f (4 x) y f (x) x 2 ( ) 在 R 上单调递减，因为 ，即导函数 关于直线 对称，所 以函数 y f (x) 是中心对称图形，且对称中心（2，1），由于 f (4) 0，即函数 y f (x) 过 点（4，0），其
19、关于点（2，1）的对称点（0，2）也在函数 y f (x) 上，所以有 f (0) 2，所 以 ，而不等式 即 ，即 所以 ，故 F(0) 2 f (0) f (x) 2ex 0 f (x) 2 F(x) F(0), x 0 e e 0 x 使得不等式 f (x) 2ex 0 成立的 x 的取值范围是 (0,). 13. 2 14. 15. 解析 - 8 - 16. 3 3 解析 本题考查椭圆离心率的求法：因为 轴且 ，假设 在第一象限，则 AF x F2 (c,0) A 2 b 2 A(c, ) a ， 过 作 轴 于 ， 则 易 知 ， 由 得 B BC x C AF F S 4S BFC
20、 1 2 1 PAB PBF 1 A F1 3 BF1 5 b 2 ，所以 所以 ，代入椭圆方程得 AF2 3 BC ，F1F2 3 CF1 , B( c, ) 3 3a 25c b 2 2 1 25c2 b2 9a2 , b2 a2 c2 3c2 a2 ，即 又 ，所以 ，所以椭圆离心率为 9a 9a 2 2 e c a 3 3 . 2,n为奇数 17. 解:（1）由题意知 （2 分） a n 3 cos n 4,n为偶数 1 于是 ， b a 1,b 4 1 1 2 2 故数列 的公差为 3，故b n n ， （4 分） b 1 3( 1) 3 2 n n 所以 c 23(2n 1) 2
21、4(32n 2) 36n 18 （6 分） n （2）由（1）知，数列 为等差数列. c n n(c c ) S a b a b c c c 18n 1 n 2 （12分） 2n 1 1 2n 2n 1 2 n 2 18. 解:（1）因为 x 1 (30 40 60 50 70) 50 1 (2 4 5 6 8) 5 y 5 5 又回归直线必过样本中心点 (x , y ) ，则 a y bx 50 6.55 17.5 故回归直线方程为 y 6.5x 17.5 ，当 x 1时， y 6.5117.5 24 即 y 的预报值为 24. （4 分） （2）因为 1 1 x (2 581) 4, y
22、(30 60 70 25) 46.25 4 4 4 4 又 . x 94, x y 945 2 2i 1 2i 1 2i 1 i1 i1 - 9 - 4 x y 4x y 2i1 2i1 945 4 4 46.25 6.833 所以 4 94 442 x 4x 2 2 2i1 i1 a y bx b 6.83,a 18.92 b 6.5,a 17.5 即 ，又 . 46.25 6.833 4 18.92 b b a a 所以 ，均不超过 10%， 5%, 8% b a 因此可以使用位置最接近的已有旧井 6（1，24）. （8 分） （3）由题意，1、3、5、6 这 4 口井是优质井，2，4 这
23、两口井是非优质井， 勘探出优质井数 X 的所有可能取值为 2，3，4， C C 2 2 P(X 2) 4 2 C 4 6 2 5 C C 8 3 1 ， ， P(X 3) 4 2 P(X 3) 4 2 C 15 4 6 C C 4 0 P(X 4) 4 2 C 4 6 1 15 所以 X 的分布列为： X 2 3 4 2 8 5 15 P 2 8 1 8 所以 （12 分） EX 2 3 4 5 15 15 3 1 15 19.（1）证明：在等腰梯形 ABCD 中，由平面几何知识易得 A 60 ，又 AB 2, AD 1， 由余弦定理可得BD 3 ，则 AD2 BD2 AB2 ，故 AD BD
24、 , 折叠后 PD BD ，又 PD BC, BD BC B ，故 PD 面 BCD， 而CD 面 BCD，故 PD CD （6 分） （2）由（1）知 PD 面 BCD， AD BD ，以点 D 为坐标原点，以 DB, DA, DP 所在的直 线分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 3 1 A(0,1, 0), B( 3, 0, 0), P(0, 0,1),C( , , 0), 2 2 3 1 则 ， AP (0,1, 1), PB ( 3,0,1), BC ( , ,0) 2 2 - 10 - 0 n AP 0, y z 设平面 APB 的法向量为 ，则 即 . n
25、1 (x, y, z) 1 0, n BP 1 取 x 1,则 y 3, z 3,故 n1 (1, 3, 3) 同理可求得平面 PBC 的法向量 2 (1, 3, 3) n n n 1 3 3 1 1 2 设二面角 A PB C 的平面角为 ，则 ， cos 7 7 7 n n 1 2 4 3 sin 7 结合图形可知 .（12分） 20. 解：(1)由题意可知：动点 M 到定点 F(1, 0) 的距离等于 M 到定直线 x 1的距离，根据 抛物线的定义可知，点 M 的轨迹C 是抛物线。 （2 分） p y2 4x 2 ， 抛物线方程为： （4 分） x x y y （2）设 A,B 两点坐标
26、分别为(x , y ), (x , y ) ，则点 P 的坐标为 1 2 , 1 2 1 1 2 2 2 2 由题意可设直线 的方程为 ， l y k(x 1) (k 0) 1 2 4 y x 由 得 . k2 x2 (2k2 4)x k2 0 y k(x 1) (2k 4) 4k 16k 16 0 2 2 4 2 .（5 分） 4 4 因为直线 l 与曲线C 于 A,B 两点，所以 x x 2 , y y k(x x 2) ， 1 1 2 2 1 2 1 2 k k 2 2 所以点 P 的坐标为 1 , .（6 分） k k 2 1 由题知，直线 的斜率为 ，同理可得点 的坐标为 .（7 分
27、） l Q (1 2k2 ,2k) 2 k 2 当 k 1时，有1 1 2k2 ，此时直线 PQ 的斜率 k 2 k PQ 2 2k k k 2 1 k 1 1 2k 2 2 k 2 . k 所以，直线 PQ 的方程为 y 2k (x 1 2k2 ) ， 1 k 2 - 11 - 整理得 yk2 (x 3)k y 0. 于是，直线 PQ 恒过定点 E(3,0)；（10 分） 当 k 1时，直线 PQ 的方程为 x 3 ，也过点 E(3,0)（11 分） 综上所述，直线 PQ 恒过定点 E(3,0) （12分） 21. 解： （5 分） （7 分） （8 分） （11 分） （12 分） 22.
28、 解： （1）曲线C 的普通方程为 x2 (y 2)2 4 - 12 - 化简得 x2 y2 4y ，则 2 4 sin ，所以曲线C 的极坐标方程为 4 sin （4 分） （2）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点 (0, 2) ，也就是圆C 的圆心，则 MON 不妨设 ，其中 M ( ,), N( ) (0, ) 1 2 2 2 则 OM ON 1 2 4 sin 4 sin( ) 4(sin cos) 4 2 sin( ) 2 4 所以当 时， 取得最大值为 .（10分） OM ON 4 2 4 2 23. 解： （1） f (1) f (1) 1 a 1 a 1 若 a 1，则1
29、 a 1 a 1，得 2 1，即 a 1时恒成立； 若 1 a 1，则1 a (1 a) 1，得 a 1 ，即 1 1 ； a 2 2 若 a 1，则 (1 a) (1 a) 1，得 2 1，即不等式无解. 1 综上所述， a 的取值范围是 (, ) .（5 分） 2 5 （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需 f (x) y y a max min 4 当 x,a时， a a 2 f x x2 ax f x f ( ) , ( ) ( ) max 2 4 y 5 y a a 5 5 , y a y y a a a 5 5 5 ，当 时， 4 4 4 4 4 4 min a2 5 则 ，解得 ，结合 ，所以 的取值范围是 （10分） 1 a 5 a 0 a 0, 5 a 4 4 - 13 -