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1、(WORD)-高一数学三角函数 三角恒等变换知识点总结高一数学三角函数 三角恒等变换知识点总结 三角函数 三角恒等变换知识点总结 一、角的概念和弧度制: (1)在直角坐标系内讨论角: 角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 (2)?与 角终边相同的角的集合: | 3600k, ,k Z或 | 2k , ,k Z 与 角终边在同一条直线上的角的集合: ; 与 角终边关于x轴对称的角的集合: ; 与 角终边关于y轴对称的角的集合: ; 与 角终边关于y x轴对称的角的集合: ; ?一些特殊角集
2、合的表示: 终边在坐标轴上角的集合: ; 终边在一、三象限的平分线上角的集合: ; 终边在二、四象限的平分线上角的集合: ; 终边在四个象限的平分线上角的集合: ; (3)区间角的表示: ?象限角:第一象限角: ;第三象限角: ; 第一、三象限角: ; ?写出图中所表示的区间角: (4)正确理解角: 要正确理解“090间的角” “第一象限的角”= ;“锐角”= ; “小于90的角” (5)由 的终边所在的象限，通过 来判断 来判断ooo 所在的象限。 2 所在的象限 3 度制:正角的弧度数为正数， 已知角 的弧度数的绝对值| | (6)弧负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零;任一 l，其中l为
3、以角 作为圆心角时所对圆弧的长， r 1 r为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 (7)弧长公式: ;半径公式: ; 扇形面积公式: ; 二、任意角的三角函数: (1)任意角的三角函数定义: 以角 的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角 的终边上任取一个 异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r，则sin ;cos ; tan cot ;sec csc 如:角 的终边上一点(a,a)，则cos ,2sin 注意r0 (2)在图中画出角 的正弦线、余弦线、正切线; 比较x (0, 2 )，sinx，tanx，x的大小关系: ( 三、同角三角函数的关系与诱导公式: 2
4、 作用:已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 (2)诱导公式: 诱导公式可用概括为: 2K ? ,- , 2? , ? ,3 2? 的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 的三角函数 作用:“去负脱周化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路(即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数去负;利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间0o,360o)或0o,180o)内的三角函数脱周;利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数化锐. (3)同角三角函数的关系与诱导公式的运用: ?已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 注意:用平方关系，有两个结果，一
5、般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以 讨论。 ?求任意角的三角函数值。 步骤: 公式二、 四、五、 六、七、 八、九 ?已知三角函数值求角:注意:所得的解不是唯一的，而是有无数多个( 步骤: ?确定角 所在的象限; ?如函数值为正，先求出对应的锐角 1;如函数值为负，先求出与其绝对值对 应的锐角 1; ?根据角 所在的象限，得出02 间的角如果适合已知条件的角在第二限; 则它是 , 1;如果在第三或第四象限，则它是 , 1或2 , 1; ?如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有 角的集合。 ，cos ;sin(如tan m，则sin3 , ) ;2 3
6、 cot(15 , ) _。 2 注意:巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度:(3，4，5);(6，8，10);(5，12，13);(8，15，17); 四、三角函数图像和性质 1(周期函数定义 定义 对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x,T) f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期( 请你判断下列函数的周期 y sinx y cosx y |cosx| y cos|x| y |sinx| y=tan x y=tan |x| y=|tan x| y sin|x| 例 求函数f(x)=3sin ( 于1
7、注意 理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数 f(x),c(c为常数)是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期( 结论:如函数f(x,k) f(x,k)对于任意的x R，那么函数f(x)的周期T=2k; k x,)(k 0)的周期。并求最小的正整数k,使他的周期不大53 如函数f(x,k) f(k,x)对于任意的x R，那么函数f(x)的对称轴是x 2(图像 (x,k),(k,x) k 2 4 3、图像的平移 对函数y,Asin(x， )，k (A,0, 0, ?0, k?0),其图象的基本变换有: (,( ( (1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的
8、变化引起的(A,1,伸长;A,1,缩短( (2)周期变换(横向伸缩变换):是由的变化引起的(,1，缩短;,1,伸长( (3)相位变换(横向平移变换):是由的变化引起的( ,0,左移; ,0，右移( (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的(k,0, 上移;k,0,下移 5 四、三角函数公式: 1+cos =2cos 1-cos =2sin1?sin =(sin 22 2 2 2 cos 2 ) 2 1=sin2 + cos2 sin =2sin降幂公式 2 cos 2 1,cos2 21,cos2 cos2 2 sin2 sin2 + cos2 =1 sin ?cos = 1 si
9、n2 2 3 3 三倍角公式:sin3 3sin ,4sin ;cos3 4cos ,3cos ; 五、三角恒等变换: 三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能(常用的数学思想方法技巧如下: 6 (1)角的变换:在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角 之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如: ?2 是 的二倍;4 是2 的二倍; 是 倍; 3 的二倍;是的二倍;3 是的二2224 是的二倍;2 是 的二倍。 4362 ooo
10、o 30o ;cos ?15 45,30 60,45 ;问:sin 12122o ? ( , ), ;? 4, 2,( 4, ); ?2 ( , ),( , ) ( 4, ),( 4, );等等 基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。 数“1”的代换变形有: 1 sin ,cos sec ,tan tan cot sin90 tan45 (4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的 方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式2222oo,cos 常用升幂化为有理式，常用升幂公式有: ; ; (5)公式变形:三角公式是变换的依据，
11、应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如:1,tan 1,tan _ _; ; 1,tan 1,tan tan ,tan _;1,tan tan _; tan ,tan _;1,tan tan _; 2tan ;1,tan2 tan20o,tan40o,3tan20otan40o sin ,cos ; asin ,bcos (其中tan 7 三角函数分类试题解析 1、三角函数线的应用 1.已知sin=1，则tan=_. 3 解:已知sin=1，则tan =33.已知0x， sinx、tanx、x的大小为_. 2 解:已知0x xsinx.2 是 2 4.已知 是第三象限的角，则 A.第一
12、或二象限的角 B.第二或三象限的角 C.第一或三象限的角 D.第二或四象限的角 5.在(0，2)内，使sinxcosx成立的x的取值范围是 ) () B.(，) C.() D.(，) () A.(424444442 6.已知sinsin，那么下列命题成立的是 A.若、是第一象限角，则coscos B.若、是第二象限角，则tantan C.若、是第三象限角，则coscos D.若、是第四象限角，则tantan 分析:利用单位圆中三角函数线比较三角函数值的大小，是一类常见的题型. 2、求三角函数值 7. tan2010?的值为 2，则 (I)tan(+)的值为_; 24 6sin+cos(?)的值
13、为_. 3sin,2cos8.已知tan 1 x 0，sinx,cosx .则 52 xxxx3sin2,2sincos,cos2 _. (I) sinx,cosx=_; (?)tanx,cotx9.已知, 8 10.已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A,B)=. 55(?)求证:tanA=2tanB; (?)设AB=3，求AB边上的高. 3、已知三角函数值求角 11.已知函数y=tan(2x+)的图象过点( A., 6B. 6，0)，则可以是 12C., 12D. 12 4、三角恒等变换 413已知x (,，)0，cosx=，则tan2x= 25 24A.7 B.,7 C.
14、24 D., 724247 14.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为 A.1,2 B.2,1 C.2 D.2 15.(04福建2)tan15?+cot15?的值是 A.2 B.2+ C.4 D.4 3 12 4.故选择C 000sin15cos15sin30 116. sin(+2)sin(,2)=， ()， 44442解: tan15?+cot15? 求2sin2+tan,cot,1的值. 17.已知tan( 1+)=2，求的值. 242sincos,cos 1x0，sinx+cosx=. 25 xxxx3sin2,2sincos+cos2 的值. (I)求sinx,cosx
15、的值;(?)求tanx+cotx18.已知, 本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、各个象限内三角函数符号的特点等基本知识， 19.已知，cos(,)=，sin(+)=,，求sin2的值 24135 5、三角函数图像及性质 20. (2002全国文，17)如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(x， )，b. (?)求这段时间的最大温差; (?)写出这段曲线的函数解析式. 解:(?)由图示，这段时间的最大温差是30,10=20?. (?)图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(x，)，b.的半个周期， 21已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx
16、). (?)求函数f(x)的最小正周期和最大值; (?)在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间,上的图像. 22. 已知函数y=221cos2x+1，x R. 2(?)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合; (?)该函数的图像可由y=sinx(x?R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到, 23.求函数y=sin4 x+,cos4x的最小正周期和最小值;并写出该函数在0，上的单 调递增区间. 6、三角函数的应用 (1)三角函数的最值问题 ?形如y=asinx+bcosx+c 型，转化为y ,),k型 24.当, x 时，函数f(x)=sinx+3cosx的 22 A.最大值是1，最小
17、值是,1 B.最大值是1，最小值是,1 2 C.最大值是2，最小值是,2 D.最大值是2，最小值是,1 ?形如y=asin2x+bsinx?cosx+cos2x型，通过降幂转化成Asin2x+Bcos2x型 例求y=sin2x+2sinx?cosx+3cos2x的最小值及取得最小值时的x的集合，并求其最大值. ?形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型，令sinx=t或cosx=t转化成y=at2+bt+c的二次函 数型. 25.函数y=cos2x,3cosx+2的最小值为 A.2 B.0 C.,1 D.6 4 解: y=cos2x,3cosx+2 (cosx,
18、),3 221，当cosx=1时，ymin=0. 故选择 4 ?形如y=a(sinx+cosx)+bsinx?cosx+c型，令 sinx+cosx=t ( t ， tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号“”；b2bt2,1则sinx?cosx=，转化为y=t+at,+c的二次函数型. 222 acosx,basinx,b)型，可用分离常数法或|cosx|?1来解决. 或 (y ccosx,dcsinx,d （1）一般式：2+cosx27.函数y=的最大值是 (C ) 2,cosx?形如y 定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，A.3
19、 B.5 C.3 D.5 52 (2)解三角形 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。28.?ABC中，a、b、c分别为?A、?B、?C的对边.如果 （4）二次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）a、b、c成等差数列，?B=30?，?ABC的面积为3，那么b= 2 A.1,32,3 B.1, C. D.2, 22 对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；(3)三角函数与向量 tan(,).令f(x)=a b，求函数f(x)29.已知向量a=(2cos， 定义：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即;tan(+)，b=+)，2424224 圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补;的最大值，最小正周期，并写出f(x)在 0，上的单调区间. (4)三角函数与解析几何 30.设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a，b满足 初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；A.a+b=1 B. a,b=1 C. a+b=0 D. a,b=0 (5)三角函数与方程、不等式 2、加强家校联系，共同教育。31. 求函数y=.