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1、高一数学集合知识点总结 一.知识归纳: 1.集合的有关概念。 1)集合:某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意:集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。 集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则ab)和无序性(a,b与b,a表示同一个集合)。 集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类:有限集,无限集,空集。 4)常用数集:N,Z,Q,R,N* 2.子集
2、、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集:若对xA都有xB,则AB(或AB); 2)真子集:AB且存在x0B但x0A;记为AB(或,且) 3)交集:AB=xxA且xB 4)并集:AB=xxA或xB 5)补集:cUA=xxA但xU 注意:?A,若A?,则?A; 若,则; 若且,则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 AB=AAB;AB=BAB;ABcuAcuB; AcuB=空集cuAB;cuAB=IAB。 5.交、并集运算的性质 AA=A,A?=?
3、,AB=BA;AA=A,A?=A,A B=BA; cu=cuAcuB,cu=cuAcuB; 6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。 二.例题讲解: 【例1】已知集合m=xx=m+,mZ,N=xx=,nZ,P=xx=,pZ,则m,N,P满足关系 A)m=NPB)mN=Pc)mNPD)NPm 分析一:从判断元素的共性与区别入手。 解答一:对于集合m:xx=,mZ;对于集合N:xx=,n Z 对于集合P:xx=,pZ,由于3+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以mN=P,故选B。 分析二:简单列举集合中
4、的元素。 解答二:m=,N=,P=,这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。 =N,N,mN,又=m,mN, =P,NP又N,PN,故P=N,所以选B。 点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。 变式:设集合,则(B) A.m=N B.mNc.NmD. 解: 当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B 【例2】定义集合A*B=xxA且xB,若A=1,3,5,7,B=2,3,5,则A*B的子集个数为 A)1B)2c)3D)4 分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A=a1,a2,an有子
5、集2n 个来求解。 解答:A*B=xxA且xB,A*B=1,7,有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。 变式1:已知非空集合m1,2,3,4,5,且若am,则6?am,那么集合m的个数为 A)5个B)6个c)7个D)8个 变式2:已知a,bAa,b,c,d,e,求集合A. 解:由已知,集合中必须含有元素a,b. 集合A可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e, a,b,d,e. 评析本题集合A的个数实为集合c,d,e的真子集的个数,所以共有个. 【例3】已知集合A=xx2+px+q=0,B=xx2?4x+r=0,且AB=1,AB=?2,1,3,求实
6、数p,q,r的值。 解答:AB=11B12?41+r=0,r=3. B=xx2?4x+r=0=1,3,AB=?2,1,3,?2B,?2A AB=11A方程x2+px+q=0的两根为-2和1, 变式:已知集合A=xx2+bx+c=0,B=xx2+mx+6=0,且A B=2,AB=B,求实数b,c,m的值. 解:AB=21B22+m?2+6=0,m=-5 B=xx2-5x+6=0=2,3AB=B 又AB=2A=2b=-=4,c=22=4 b=-4,c=4,m=-5 【例4】已知集合A=x0,集合B满足:AB=xx-2,且AB=x1 分析:先化简集合A,然后由AB和AB分别确定数轴上哪些元素属于B,
7、哪些元素不属于B。 解答:A=x-21。由AB=x1-2可知-1,1B,而B=。 综合以上各式有B=x-1x5 变式1:若A=xx3+2x2-8x0,B=xx2+ax+b0,已知AB=xx-4,AB=,求a,b。(答案:a=-2,b=0)点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。 变式2:设m=xx2-2x-3=0,N=xax-1=0,若mN=N,求所有满足条件的a的集合。 解答:m=-1,3,mN=N,Nm 当时,ax-1=0无解,a=0 综得:所求集合为-1,0, 【例5】已知集合,函数y=log2的定义域为Q,若PQ ,求实数a的取值范围。 分析:先将
8、原问题转化为不等式ax2-2x+20在有解,再利用参数分离求解。 解答:(1)若,在内有有解 令当时, 所以a-4,所以a的取值范围是 变式:若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。 解答: 点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。 三.随堂演练 选择题 1.下列八个关系式0=00 00其中正确的个数 (A)4(B)5(c)6(D)7 2.集合1,2,3的真子集共有 (A)5个(B)6个(c)7个(D)8个 3.集合A=xB=c=又则有 (A)(a+b)ABcA、B、c任一个 4.设A、B是全集U的两个子集,且AB
9、,则下列式子成立的是 (A)cUAcUB(B)cUAcUB=U (c)AcUB=(D)cUAB= 5.已知集合A=,B=则A= (A)R(B) (c)(D) 6.下列语句:(1)0与0表示同一个集合;(2)由1, 2,3组成的集合可表示为 1,2,3或3,2,1;(3)方程(x-1)22=0的所有解的集合可表示为1,1,2;(4)集合是有限集,正确的是 (A)只有(1)和(4)(B)只有(2)和(3) (c)只有(2)(D)以上语句都不对 7.设S、T是两个非空集合,且ST,TS,令X=S那么S X= (A)X(B)T(c)(D)S 8设一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,则不等式a
10、x2+bx+c0的解集为 (A)R(B)(c)(D) 填空题 9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为 10.若A=1,4,x,B=1,x2且AB=B,则x= 11.若A=xB=x,全集U=R,则A= 12.若方程8x2+x+k-7=0有两个负根,则k的取值范围 是 13设集合A=,B=x,且AB,则实数k的取值范围是。 14.设全集U=x为小于20的非负奇数,若A(cUB)=3, 7,15,(cUA)B=13,17,19,又(cUA)(cUB)=,则AB= 解答题 15已知集合A=a2,a+1,-3,B=a-3,2a-1,a2+1,若AB=-3,求实数a。 16设A=,B=, 八、教学
11、进度表其中xR,如果AB=B,求实数a的取值范围。 四.习题答案 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.应用题选择题 12345678 ccBcBcDD 填空题 （1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.3. 圆的对称性:9.10.0,11.x,或x312.13.14.1,5,9,11 解答题 15.a=-1 16.提示:A=0,-4,又AB=B,所以BA 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角1、20以内退位减法。()B=时,4(a+1)2-40,得a-1 156.46.10总复习4 P84-90B=0或B=-4时,0得a=-1 九年级数学下册知识点归纳()B=0,-4,解得a=1 (三)实践活动综上所述实数a=1或a-1