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1、高一数学同角三角函数基本关系式及诱导公式知识点总结及例题高一数学同角三角函数基本关系式及诱导公式知识点总结及例题 1( 同角三角函数的基本关系 sin 平方关系:22商数关系:tan . cos 2. 诱导公式 3，tan ,2，则cos ,_. 1( 已知?2? 答案 ,55 sin 解析 ?tan ,2，?,2，?sin ,2cos . cos 1又sin2，cos2,1，?2，cos2,1，?cos2. 3，?，?cos ,又?2?5 2sin ,cos 2( 若tan ,2，则的值为_( sin ，2cos 3答案 2tan ,13解析 原式,tan ，24 13( 已知是第二象限的角
2、，tan ,，则cos ,_. 25答案 ,5 解析 ?是第二象限的角，?cos 又sin2，cos2,1，tan , 25?cos ,. 445,?的值是_( sin ?cos ?tan?3?36 33答案 ,4 ?,?, ，?解析 原式,sin?costan3?3?6? ?,sin ?,cos ?,tan ? ,?3?6?3?sin 1,， cos 2 ,?3?3,42?2?22,，则sin?,_.( 已知cos?3?6?3? 2答案 , 2,sin?,?6,? 解析 sin?3?2? 2?,cos?,?,. ,sin?2，?6?6?3 题型分析 深度剖析 题型一 同角三角函数基本关系式的
3、应用 1例1 已知在?ABC中，sin A，cos A5 求sin Acos A的值; 判断?ABC是锐角三角形还是钝角三角形; 求tan A的值( 1思维启迪:由sin A，cos A及sin2A，cos2A,1，可求sin A，cos A的值( 1解 ?sin A，cos A,? 1?两边平方得1，2sin Acos A,，5 12?sin Acos A,.5 12由sin Acos A, 可知cos A ?2,1,2sin Acos A 2449,1，525 又sin A0，cos A0， 7?sin A,cos A,.? 43?由?，?可得sin A,，cos A,，5 4 5sin
4、A4?tan A,. cos A33,5 探究提高 对于sin ，cos ，sin cos ，sin ,cos 这三个式子，已知其中一个式 子的值，其余二式的值可求(转化的公式为2,1?2sin cos ;关于sin ，cos 的齐次式，往往化为关于tan 的式子( 已知tan ,2，求sin2，sin cos ,2cos2; 已知sin ,2sin ，tan ,3tan ，求cos . 解 sin2，sin cos ,2cos2 sin2，sin cos ,2cos2,sin，cos tan2，tan ,24,.tan，1 ?sin ,2sin ，tan ,3tan ， ?sin2,4sin
5、2，? tan2,9tan2，? 由?得:9cos2,4cos2，? ?，?得:sin2，9cos2,4， 36?cos2，sin2,1，?cos2,cos ,.4 题型二 三角函数的诱导公式的应用 53?,，求cos?的值; 例已知cos?6?3?6?73,?的值( 已知 5思维启迪:将，看作一个整体，观察，与,的关系(66 先化简已知，求出cos 的值，然后化简结论并代入求值( ?5，,?,， 解 ?6?6?5?. ?,?6?6 5?,cos?,?，? ?cos?6?6? ?3，,， ,cos?6?3 5?3,. 即cos?6?3 ?cos,cos 3,cos,cos 3?cos . 7,
6、? ?sin?tan?2? ?,tan?7,? ,sin?2? ? ,sin ?tan?2? ?sin?2,?,sin ?cos?2? cos 3,sin cos ,. sin 5 探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键(另外，切化弦是常用的规律技巧( 3,?tan?，?cos?2，?sin?2? ; cos?,3?sin?,3,? sin?,x?cos?2,x?tan?,x，?31,的值( 已知f,f?3?,xcos?2? ?，?tan cos sin?,2，?2?解 原式,cos?3，?,sin?3，? ,?tan cos sin?2，? ?,cos
7、 ?sin tan cos cos ,?,cos ?sin tan cos sin cos ,1. sin cos sin sin x?cos x?,tan x?fsin x ,cos x?tan x,sin x， 313131,sin?,?,sin ?f?3?3?3 310，,sin ,sin?3?32 题型三 三角函数式的化简与求值 11例已知tan ,的值;2sin cos ，cos 3,，tan?,?cos?2,?sin?2?化简:. cos?,?sin?,? 思维启迪:三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察 式子的规律，使用恰当的公式( 1解 因为tan
8、sin2，cos21所以2sin cos ，cos2sin cos ，cos tan2，12,2tan ，13 ,tan ?cos?,?sin?2?原式,cos?,?sin?,? sin ，?cos tan ?cos ?sin?2?cos ,1. ,cos ?sin ,sin 探究提高 在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简( 5，?,?， 已知sin?2?5 ，,cos2?,?cos2?42?42?sin?,?，cos?3，?求的值( 5，, 解 ?sin?25 ?cos 525，又?，?sin ,55 ,cos2?,?
9、cos2?42?42? sin?,?，cos?3，? ，,sin2?cos2?42?42,sin ,cos ,sin 2,3sin ,cos sin ,cos 分类讨论思想在三角函数化简中的应用 典例:化简:sin?4n,14n，1,?，cos?,? ( ?4?4?cos?2，?, 审题视角 角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论( 利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看( 第节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 一、选择题 1.tan30?等于 - - 解析:tan30?=tan=tan=-tan0?=-.故选D. 2.若cos =,?,则t
10、an 等于 - -解析:由已知得sin =-=-=-, ?tan =-2.故选C. 3.已知sin=log81 ,且?4,则tan的值为 - ? 解析:sin=sin =log8=-,又?, 得cos =, tan=tan=-tan =-2=.故选B.4.已知tan =2,则sin+sin cos -2cos等于 - -解析:sin+sin cos -2cos = = =.故选D. 5.若是三角形的内角,且sin +cos =,则tan 等于 - - -或- 解析:将sin +cos =两边同时平方, 整理得2sin cos =-,由这个结果可知角是第二象限角,并且=1-2sin cos =,
11、由于sin -cos 0,所以sin -cos =,将该式与sin 2 +cos =联立,解得所以tan =-.故选B. 6.已知f=, 则f的值为 - - 解析:?f=-cos , ?f=-cos= -cos=-cos= -cos=-.故选B. 二、填空题 7.当k?Z时,= . 解析:若k为偶数,则原式 = =-1;若k为奇数,则原式= 答案:-1 8.设?=-1. ,sin +cos =,则tan = . 解析:将sin +cos =? 两边平方得sin cos =? 由?得或 又?0 ?sin 故tan =. 答案: 9.若函数f=sin-2cos是奇函数,其中为锐角, 则sin 2c
12、os = . 解析:因为函数f=sin-2cos是奇函数,所以f=sin -2cos =0,所以tan =2. 由于为锐角,故 解得sin =,cos =. 所以sin 2cos =. 答案: 三、解答题 10.已知函数 f=. 求函数y=f的定义域; 设tan =-,求f的值. 解:由cos x?0,得x?+k,k?Z, 所以函数的定义域是, xx?+k,k?Z,. tan =-, f= = =-1-tan =. 11.已知关于x的方程2x-+的值;+1)x+m=0的两个根为sin 和cos ,?,求: m的值;网 方程的两根及的值. ?sin?cos?解 :?sin?cos? +=+? m
13、,? = =sin +cos =. 将?式两边平方得1+2sin cos =. 所以sin cos =. 由?式得=, 所以m=. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、基本知识: 同角三角函数的基本关系式: 平方关系: 商式关系: 倒数关系: 诱导公式:A函数名称不变，符号看象限。 B函数名称要改变，符号看象限。 方法总结:运用诱导公式转化三角函数的一般步骤: 用公式二或一 用公式一 用公式三、四、五 三、例题分析: 例1、求值:求下列角度的三角函数值。 1. sin=_，2、cos4080?=_(3、cos 27? 5、cot 4、tan 例1 化简 sintancot ( costan
14、 例2、设 的值为 例3、计算=_. tan1?tan2?tan3?tan88?tan89? 例2 例5、已知函数f=asin，bcos，其中a，b，都是非零实数，且满 足f=,1，则f= 例4、已知A、B、C为?ABC的三个内角，求证: cos=,cosA; 1 例 若sincos= ，?，求cos,sin的值( 842 变式1 条件同例， 求cos+sin的值( 变式 已知cos,sin= , 例 已知tan=3(求 1+2sincos1+ tan 例4、证明:= cos,sin 1,tan 例5、化简:1?2sin 3 ， 求sincos，sin+cos的值( 4sin?2cos? ;c
15、os2+sincos的值( 5cos?3sin? ? 2 cos ? 2 ?1?2sin ? 2 cos ? 2 ，?0? ? ? ? 已知?是第三象限角，求 ?cos?cos? 的值。 ? 1?cos?1?cos? 求cos2?cos2的值。 44 已知cot?0，求sin?2?sin?4?3?的值。 若f?cos17x, 求f sin?cos ? ?3?2? ， 求sin?cos? sin3?2?cos3?2? 三、 填空题 1. sin,sin+cos+cos的值为_( 3. sin500?cos130?+sin230?cos400?,tan320?cot140?的值为_( . 1+ta
16、n505?_0( 6. sincos420?,tan330?cot=_( 三、 填空题 三、练习 1(sin2150?+sin2135?+2sin210?+cos2225?的值是 A( 13 B( C( 11 D( 同角三角函数基本关系与诱导公式 强化训练题 班级 姓名 得分 一(选择题: 1(给出下列等式，?sin?sin?;?sin?cos?; ?cos?cos?;?cos?sin?(其中正确的个数是 A(1 B( C( D(4 2(已知sin?m,，那么tan? 2?mA( B(? C(? D(?222m?m?m?mmmm 7anA? ，则t 13 512512A( B( C(? D(?
17、 1251253(在?ABC中，若sinA?cosA? 4(若?为第一象限角，那么sin2?，tan? 2，cos2?，cos? 2中，取值必为正的有 A( 0个 B(1个 C(2个D(3个 5(?2sincos化简的结果是 A(sin3?cos B(cos3?sin3 二(填空题: C(cos3?sin D(?cos3?sin3 6(sin315?sin?cos570?sin? 7 (若cos?，且?的终边过点P，则 tan? ?8(已知角?终边上的一点P，那么cos( 9(已知sin?17?) ，求cos1cos12(化简:( ?tantantansin 13( 求证: 1?sin?cos
18、?1?sin?( 1?sin?cos?cos? 1?m2 14(已知cos? ，求sin?与tan?的值(1?m 15(已知sin?asin?，tan?btan?，其中?为锐角，求证:cos? a2?1( b2?1 参考答案 一(选择题: 1(A (B (D (C (A 二(填空题:(531 ( (? (? 10(?52 1222三(解答题:11(解:由条件得:sin?2cos?，代入sin?cos?1得:cos? ?2sin?sin?cos?cos?11cos? 12(解:原式?22211sincoscoscos ?tansinsinsin cosxsinx?sinxcosx( cosxta
19、nx? cos?cos2?cos?13(证明:?左边? ?cos?cos? 1?sin?右边( cos?cos? ?原等式成立( 注:本题也可由cos?1?sin?及等比定理得证( 1?sin?cos? 1?m2 14(解:?cos? ，?cos?0且cos?1(1?m ?是第二或第三象限角，且 1?m2 24m2 ( sin?1?cos?1?2221?m22 ?当?是第二象限角时，sin?2m?2mtan?，; 1?m21?m2 2m2mtan?当?是第三象限角时，sin?，(21?m1?m 15(证明:将sin?asin?、tan?btan?两边分别相除可得: bcos?acos?( 再由
20、?得:sin 222?b2cos2?a2?a2(2a2?1?1?cos?bcos?a，即cos?2( b?12 又?为锐角，?cos?a2?1(b?1 a2?1注:本题也可由条件将a、b代入2并化简得证( b?1 同角三角函数基本关系式及诱导公式 必修四:同角三角函数基本关系式及诱导公式 1( 同角三角函数的基本关系 平方关系:2，cos2,1.商数关系:sin cos tan . 2. 诱导公式 1( 已知?，32，tan ,2，则cos ,_. 答案 ,5 5解析 ?tan ,2，?sin cos ,2，?sin ,2cos . 又sin2，cos2,1，?2，cos2,1，?cos21
21、5. 又?，3 2?，?cos ,52( 若tan ,2，则2sin ,cos sin ，2cos 的值为_( 答案 4解析 原式,2tan ,13 tan ，2,43( 已知是第二象限的角，tan ,1 2，则cos ,_. 答案 ,25 5解析 ?是第二象限的角，?cos 又sin2，cos2,1，tan ,sin cos ,1 2， ?cos ,25 5.( sin3?cos 6?tan?,4 3?的值是_( 答案 ,33 4解析 原式,sin? ?，3?cos?, 6?tan?, 3 ,?,sin 3?,cos 6?,tan 3? ,?3 ?2?,3 2,3 4 ?22,，则sin?,
22、_.( 已知cos?3?6?3? 2答案 , 2,sin?,?6,? 解析 sin?3?2? 2?,cos?,?,. ,sin?2，?6?6?3 题型分析 深度剖析 题型一 同角三角函数基本关系式的应用 1例1 已知在?ABC中，sin A，cos A5 求sin Acos A的值; 判断?ABC是锐角三角形还是钝角三角形; 求tan A的值( 1思维启迪:由sin A，cos A及sin2A，cos2A,1，可求sin A，cos A的值( 1解 ?sin A，cos A,? 1?两边平方得1，2sin Acos A,，5 12?sin Acos A,.5 12由sin Acos A, 可知
23、cos A ?2,1,2sin Acos A 2449,1，525 又sin A0，cos A0， 7?sin A,cos A,.? 43?由?，?可得sin A,，cos A,，5 45sin A4?tan A,. cos A33,5 探究提高 对于sin ，cos ，sin cos ，sin ,cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求(转化的公式为2,1?2sin cos ;关于sin ，cos 的齐次式，往往化为关于tan 的式子( 已知tan ,2，求sin2，sin cos ,2cos2; 已知sin ,2sin ，tan ,3tan ，求cos . 解 sin2，
24、sin cos ,2cos2 sin2，sin cos ,2cos2,sin，cos tan2，tan ,24,.tan，1 ?sin ,2sin ，tan ,3tan ， ?sin2,4sin2，? tan2,9tan2，? 由?得:9cos2,4cos2，? ?，?得:sin2，9cos2,4， 36?cos2，sin2,1，?cos2,8cos ,4. 题型二 三角函数的诱导公式的应用 例已知cos? ?6?,3 3，求cos?5 ?6?的值; 已知 5，求sin?tan?,7 2?的值( 思维启迪:将 6，看作一个整体，观察5 6，与6,的关系( 先化简已知，求出cos 的值，然后化简
25、结论并代入求值( 解 ? ?6，?，?5 ?6,?,， ?5 6,? ?6?. ?cos?5 ?6?,cos?,? ?6，? ,cos? ?6，?,3 3， 即cos?5 ?6?,3 3. ?cos,cos ,cos,cos 3 5 ?cos 3 5. ?sin?tan?,7 2? ,sin?,tan?7 ?2,? ,sin ?tan? ?2? sin? ,sin ?2,?cos? ?2?,sin cos 3 sin cos ,5. 探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键(另外，切化弦是常用的规律技巧( 3,?tan?，?cos?2，?sin?2? ;
26、cos?,3?sin?,3,? sin?,x?cos?2,x?tan?,x，?31,的值( 已知f,f?3,x?cos?2? ?，?tan cos sin?,2，?2?解 原式,cos?3，?,sin?3，? ,?tan cos sin?2，? ?,cos ?sin tan cos cos ,?,cos ?sin tan cos sin cos ,1. sin cos sin sin x?cos x?,tan x?fsin x ,cos x?tan x,sin x， 313131,sin?,?,sin ?f?3?3?3 310，,sin ,sin?3?32 题型三 三角函数式的化简与求值 11
27、例已知tan ,的值;2sin cos ，cos 3,，tan?,?cos?2,?sin?2?化简:. cos?,?sin?,? 思维启迪:三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式( 1解 因为tan sin2，cos21所以2sin cos ，cos2sin cos ，cos tan2，12,2tan ，13 ,tan ?cos?,?sin?2?原式,cos?,?sin?,? sin ，?cos tan ?cos ?sin?2?cos ,1. ,cos ?sin ,sin 探究提高 在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，
28、 可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简( 5，?,?， 已知sin?2?5 求，,cos2?,?cos2?42?42? sin?,?，cos?3，?的值( 5，, 解 ?sin?25 ?cos 525，又?，?sin ,55 sin,cos2?,?cos2?42?42? sin?,?，cos?3，? ，,sin2?cos2?42?42,sin ,cos tan1,sin 2,3sin ,cos sin ,cos 二次函数配方成则抛物线的分类讨论思想在三角函数化简中的应用 集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径
29、定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。典例:化简:sin?4n,14n，1,?，cos?,? ( ?4?4?cos?2，?, （2）经过三点作圆要分两种情况:审题视角 角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论( 利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看( 1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。规范解答 解 当n为偶数时，设n,2k ，则1分 3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。原式,sin?8k,18k，1,?，co
30、s?,? ?4?4?，cos?2k，? ,sin?2k，?4?4? 1、20以内退位减法。,?，cos?,? ,sin?4?4? 2. 图像性质：，?，cos?4? ,sin?4?2? ，?，sin?，?,0.5分 ,sin?4?4? 1、在现实的情境中理解数学内容，利用学到的数学知识解决自己身边的实际问题，获得成功的体验，增强学好数学的信心。当n为奇数时，设n,2k，1 ，则6分 原式,sin?8k，38k，5,?，cos?,? ?4?4?3?，cos?2k，?5? ,sin?2k，?4?4? 3?5，cos? ,sin?4?4? ?，?，cos?，?,? ,sin?,?4?4? ?,cos?,? ,sin?4?4?