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1、数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合 (一)集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性 3.集合的表示:(1)常用数集及其记法(2)列举法(3)描述法 4、集合的分类:有限集、无限集、空集 5. 1.子集、真子集、空集; 2.有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集; 3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. (一)函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.
2、记作: y=f(x),xA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域. 定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域. 2.常用的函数表示法及各自的优点: 1解析法:必须注明函数的定义域; 2图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征; 3列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 优点:解析法:便于算出函数值.列表法:便于查出函数值.图象法:便于量出函数值. 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方
3、数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1; (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是使各部分都有意义 的x的值组成的集合; (6)指数为零底不可以等于零; (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:(以下两点必须同时具备) (1)表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);(2)定义域一致. 求函数值域方法 :(先考虑其定义域) (1)函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域,它
4、是求解复杂函数值域的基础. (3)求函数值域的常用方法有:直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等. 2. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (xA)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x, y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据. (2) 画法:描点法;图象变换法 常用变换方法有三种
5、:平移变换;对称变换;*伸缩变换. 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示. 4.映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射.记作“f(对应关系):A(原象集)B(象集)” 对于映射f:AB来说,则应满足: (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象. 5.
6、分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数; (2)各部分的自变量的取值情况; (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. (二)函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)定义 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 定义的变形应用:如果对任意的
7、12,x x D ,且21x x 有0)()(1 212-x x x f x f 或者2121()()()0fx fxxx -,则函数)(x f 在区间D 上是增函数;如果对任意的12,x x D ,且21x x 有2121 ()()0f x f x x x -或者2121 ()()()0f x f xxx -,则函数)(x f 在区间D 上是减函数. 注意:函数的单调性是函数的局部性质. (2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3)函数
8、单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取x 1,x 2D ,且x 11,且n N * . 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n . 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,? ? =n N n m a a a n m n m ,)1,0(11* =-n N n m a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r s r s a a a +?=(0,)a r s R ;(2)()r s r s a a =),0(R s r a ;(3)()r r r a b ab =(0,)a r
9、 R . (二)指数函数及其性质 1.指数函数的概念: 一般地,函数) 1,0(=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2.指数函数的图象和性质 (1)在a ,b上,)1a 0a (a )x (f x =且值域是)b (f ),a (f (a1)或 ) a (f ), b (f (0a=且,总有a )1(f =. 二、对数函数 (一)对数的概念: 一般地,如果N a x =)1,0(a a ,那么数x 叫做以.a 为底.N 的对数, 记作:N x a log =(a 底数,N 真数,N a log
10、对数式) 说明:1 注意底数的限制0a ,且1a ;2 x N N a a x =?=log . 两个重要对数: 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 N ?log N (二)对数的运算性质 如果0a ,且1a ,0M ,0N ,那么: 1 M a (log 2=)N M a log +N a log ; 2 =N M a log M a log -N a log ; 3 n a M log n =M a log )(R n . 注意:换底公式 a b b c c a log lo
11、g log = (0a ,且1a ;0c ,且1c ;0b ). 利用换底公式可得下面的结论: (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1 log =. (三)对数函数 1、对数函数的概念:函数0(log =a x y a ,且)1a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+). 注意:1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别. 如:x y 2log 2=,5 log 5x y = 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 2 对数函数对底数的限制:0a ,且1a . 21.幂函数定义:一般地,形如 x y =)(
12、R a 的函数称为幂函数,其中为常数. 2.幂函数性质归纳: (1)所有的幂函数在(0,+)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)当0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0+上是增函数.特别地,当1时,幂函数的图象下凸;当1 0时,幂函数的图象上凸; (3)当00,方程02 =+c bx ax 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有 两个零点. (2)=0,方程02 =+c bx ax 有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有 一个二重零点或二阶零点. (3)0,方程02=+c bx ax 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点. 二
13、、函数的应用 解答数学应用题的关键有两点: 一是认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学的抽象、概括,将实际问题归纳为相应的数学问题; 二是要合理选取参变数,设定变元后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数、方程、不等式等数学模型;最终求解数学模型使实际问题获解. 数学必修2各章知识点总结 第一章 空间几何体 1 2三视图定义:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度. 3、空间几何体的直观图斜二
14、测画法 斜二测画法特点:原来与x 轴平行的线段仍然与x 轴平行且长度不变; 原来与y 轴平行的线段仍然与y 轴平行,长度为原来的一半. 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 ( (3)球体的表面积和体积公式:V 球=33 R ; S 球面=4R 第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系 1、空间点、直线、平面之间的位置关系 (1)平面 平面的概念: 平面是无限伸展的. 平面的表示:通常用希腊字母、表示,如平面(通常写在一个锐角内); 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC. 点与平面的关系:点A 在平面内,记作A ;点A 不在平面内,记作A ?. 点与直线的关系:点A 在直线l 上,记作:
15、A l ; 点A 在直线l 外,记作A ?l. 直线与平面的关系:直线l 在平面内,记作l ?;直线l 不在平面内,记作l ?. (2)平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下: 推论1: 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2: 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3: 经过两条平行直线,有且只有一个平面. (3)空间直线与直线之间的位置关系 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间两条直线的位置关系:? ? ? 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内
16、,没有公共点. 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 异面直线所成角:已知两条异面直线,a b ,经过空间任一点O 作直线/,/a a b b ,把,a b 所成的锐角(或直角)叫异面直线,a b 所成的角(或夹角). ,a b 所成的角的大小与点O 的选择无关,为了简便,点O 通常取在异面直线的一条上;异面直线所成的角的范围为(0,90?,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作a b . 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点平移定角计算. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补. (4)空
17、间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内有无数个公共点. 三种位置关系的符号表示:a ? ; a =A ;a . (5)平面与平面之间的位置关系:平行没有公共点,记作. 相交有一条公共直线,记作=b. 2、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 则该直线与此平面平行.(线线平行?线面平行) 符号表示为:,/a b a b a ?. 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行.线面平行?线线平行 符号表示为:/a a a b b ? ?=? (2)平面与平面平
18、行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行.(线面平行面面平行), 用符号表示为:,/,/a b a b P a b ?=? ? ? . *(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.(线线平行面面平行), *(3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行线面平行) 用符号表示为:,a ?/a ? (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行线线平行) 用符号表示为:,=a ,=
19、b /a b ? 3、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直. 线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直. 平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直. (2)垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直这个平面.(线线垂直线面垂直) 用符号表示为:l m ,l n ,m n =B ,m ?
20、,n ?l 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 用符号表示为:a ,b ? /a b 面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直.(线面垂直面面垂直) 用符号表示为:a ?,?. 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内 垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.(面面垂直线面垂直) 用符号表示为:,l = ,a ?,a l ?a . 4、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 两平行直线所成的角:规定为 0. 两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角. 两条异面直线所成
21、的角:过空间任意一点O ,分别作与两条异面直线a ,b 平行的直线b a ,形成 两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角. (2)直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角:规定为 0. 平面的垂线与平面所成的角:规定为 90. 平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”. (3)二面角和二面角的平面角 二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 二面角
22、的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内.分别作垂直于.棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角. 直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角. 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到二面角平面角. *垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 第三章 直线与方程 1、直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别
23、地,当直线与x 轴平行或重合时,我 们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0180 (2)直线的斜率 定义:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示. 即t a n k =.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当) 90,0时,0k ;当() 180 ,90时,0-+F E D 时,方程表示圆,此时圆心为? ? ? ? ?-2,2 E D ,半径为 F E D r 42 122-+= 当0422=-+F E D 时,表示一个点; 当042 20 (利用圆被截得弦的性质(垂径定理):弦长2 2 2|d r AB -= (2)过圆外一点的切线:k 不存在
24、,验证是否成立k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k ,得到方程【一定两解】; (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2 ,圆上一点为(x 0,y 0),则过此点的切线方程为 (x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d )之间的大小比较来确定. 设圆()()221 211:r b y a x C =-+-,()()2 （2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。22222:R b y a x C =-+- 当r R d
25、 + 时两圆外离,此时有公切线四条; 当r R d +=时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当r R d r R +-时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当r R d -=时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当r R d -时,两圆内含; 当0=d 时,为同心圆. 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。经过同一直线上的三点不能作圆.注意:已知两圆相切,两圆心与切点共线,圆的辅
26、助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点. 5.空间直角坐标系 (1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.(1)定义:从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ,这样的坐标系 函数的取值范围是全体实数；叫做空间直角坐标系O -xyz ,点O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. (2)任意点坐标表示:空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,)x y z 来表示,有序实数组(,)x y z 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作(,)Mxyz (x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点M 的竖坐标) 8、从作业上严格要求学生，不但书写工整，且准确率高。对每天的作业老师要及时批改，并让学生养成改错的好习惯。(3)空间两点距离坐标公式:2 二次函数配方成则抛物线的9切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.1 2、100以内的进位加法和退位减法。2212212)()()(z z y y x x d -+-+-= 1.圆的定义：