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1、高一数学必修一知识点总结10035717高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示: 如:我校的篮球队员太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 , 注意:常用数集及其记法: 非负整数集,即自然数集, 记作:N 正整数集 N*
2、或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1, 列举法:a,b,c 2, 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来写在大括号内表示集合的方法。x,R| x-32 ,x| x-32 3, 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4, Venn图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2(3) 空集 不含任何元素的集合 例:x|x=,5, 二、集合间的基本关系 1.包含?关系子集 A,B注意:有两种可能,1,A是B的一部分,2,A与B是同一集合。 ,反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB,或BA 2(相等?关系:A=B
3、 (5?5且5?5则5=5) 2实例:设 A=x|x-1=0 B=-1,1 元素相同则两集合相等? 即:? 任何一个集合是它本身的子集。A,A ?真子集:如果A,B,且A, B那就说集合A是集合B的真子集记作AB(或BA) ?如果 A,B, B,C ,那么 A,C ? 如果A,B 同时 B,A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集记为 规定: 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集。 nn-1, 有n个元素的集合含有2个子集2个真子集 三、集合的运算 第 1 页 共 11 页 运算交 集 并 集 补 集 类型 定 设S是一个集合A是由所有属于A且属由所有属于集合A或义 S的一
4、个子集由S中于B的元素所组成属于集合B的元素所所有不属于A的元素组的集合,叫做A,B的组成的集合叫做A,B成的集合叫做S中子:交集(记作A,读BB的并集(记作:A集A的补集,或余集, 作A交B,即,读作A并B,即即 记作CAS:AB=,x|xA且AB =x|xA或,S CA= x|x,S,且x,ASxB,( xB)( ,A 韦 S AAB恩 BA 图 图2图1示 :性 A A=A AA=A :(CA) (CB) uu: A= A=A := C (AB) u: AB=BA AB=BA :(CA) (CB) uu: ABA AB, ,:= C(AB) u:质 ABB ABB ,:A (CA)=U
5、u:A (CA)= ( u例题: 1.下列四组对象能构成集合的是 , , A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合abc 的真子集共有 个 23.若集合M=y|y=x-2x+1,xR,N=x|x?0则M与N的关系是 . ,4.设集合A=B=若AB则的取值范围是 axxa,xx12,5.50名学生做的物理、化学两种实验已知物理实验做得正确得有40人化学实验做得正确得有31人 两种实验都做错得有4人则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点,含边界上的点,组成的集合M= . 22227.已知集合A=x| x+2x-8=0, B
6、=x| x-5x+6=0, C=x| x-mx+m-19=0, 若B?C?A?C=求m的值 第 2 页 共 11 页 二、函数的有关概念 1(函数的概念:设A、B是非空的数集如果按照某个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)x?A(其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域( 注意: 1(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的
7、分母不等于零, (2)偶次方根的被开方数不小于零, (3)对数式的真数必须大于零, (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. , 相同函数的判断方法:?表达式相同,与表示自变量和函数值的字母无关,?定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2(值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中以函数 y=f(x
8、) , (x?A)中的x为横坐标函数值y为纵坐标的点P(xy)的集合C叫做函数 y=f(x),(x ?A)的图象(C上每一点的坐标(xy)均满足函数关系y=f(x)反过来以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(xy)均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4(区间的概念 ,1,区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 ,2,无穷区间 ,3,区间的数轴表示( 5(映射 一般地设A、B是两个非空的集合如果按某一个确定的对应法则f使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯第 3 页 共 11
9、页 一确定的元素y与之对应那么就称对应f:AB为从集合A到,集合B的一个映射。记作f,对应关系,:A,原象,B,象,? ,对于映射f:A?B来说则应满足: (1)集合A中的每一个元素在集合B中都有象并且象是唯一的, (2)集合A中不同的元素在集合B中对应的象可以是同一个, (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况( (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集值域是各段值域的并集( 补充:复合函数 如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=fg(x)=F(x)(x?A)
10、 称为f、g的复合函数。 二(函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) ,1,增函数 设函数y=f(x)的定义域为I如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xx当xx时都有f(x)f(x)那121212么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值xx当xx时1212 都有f(x),f(x)那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D12称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质, ,2, 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性
11、在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取xx?D且x1且?( nnn0,0, 负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0记作。 a(a,0),nnnna,|a|,a,a当是奇数时当是偶数时 nn,a(a,0),2(分数指数幂 正数的分数指数幂的意义规定: m*nmna,a(a,0,m,n,N,n,1)m,11*na,(a,0,m,n,N,n,1) mnmana, 0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义 3(实数指数幂的运算性质 第 6 页 共 11 页 rrr，sa,aa,1, , (a,0,
12、r,s,R)rsrs (a),a,2, ,(a,0,r,s,R)rrs(ab),aa,3, ( (a,0,r,s,R),二,指数函数及其性质 x1、指数函数的概念:一般地函数叫做指y,a(a,0,且a,1)数函数其中x是自变量函数的定义域为R( 注意:指数函数的底数的取值范围底数不能是负数、零和1( 2、指数函数的图象和性质 a1 0a1 0a0a0函数y=a与y=log(-x)的图象只能是 ( ) a1log27，2log24，log355log22332.计算: ? ;?= ,= ; 225,log64271417,03,0.75? = 3320.064,(,)，(,2)，16，0.018
13、23.函数y=log(2x-3x+1)的递减区间为 124.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍则a= a,2af(x),logx(0,a,1)a1，xx5.已知,1,求的定义域,2,求使的的取值范围 fx()fx()0,fxaa()log(01),且a1,x第 9 页 共 11 页 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数把使y,f(x)(x,D)f(x),0成立的实数叫做函数的零点。 xy,f(x)(x,D)2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实y,f(x)f(x),0数根亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 xy,f(x)即:方程有实数根函数的图象与轴有交
14、xf(x),0y,f(x),点函数有零点( y,f(x),3、函数零点的求法: 1 ,代数法,求方程的实数根, f(x),0?2 ,几何法,对于不能用求根公式的方程可以将它与函数?的图象联系起来并利用函数的性质找出零点( y,f(x)4、二次函数的零点: 94.234.29加与减（二）4 P49-562二次函数( y,ax，bx，c(a,0)2、在教师的组织和指导下，通过自己的主动探索获得数学知识，初步发展创新意识和实践能力。2,1,?,方程ax，bx，c,0有两不等实根二次函数的图象与轴有两个交点二次函数有两个零点( x（2）经过三点作圆要分两种情况:2,2,?,方程ax，bx，c,0有两相
15、等实根二次函数的图象与轴有一个交点二次函数有一个二重零点或二阶零点( x（2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。2,?,方程ax，bx，c,0无实根二次函数的图象与,3x轴无交点二次函数无零点( （2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。5.函数的模型 收集数据 (1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.画散点图 0 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；不 选择函数模型 符 合实 际 求函数模型 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即检验 符合实际 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。用函数模型解释实际问题 7.同角的三角函数间的关系：第 10 页 共 11 页 第 11 页 共 11 页