最新高一数学必修一知识点总结[1+2]优秀名师资料.doc

《最新高一数学必修一知识点总结[1+2]优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高一数学必修一知识点总结[1+2]优秀名师资料.doc（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、高一数学必修一知识点总结1 2一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示: 如:我校的篮球队员太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 , 注意:常用数集及其记法: 非负整数集,即自然数集, 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1, 列举法:a,b,

2、c 2, 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来写在大括号内表示集合的方法。x,R| x-32 ,x| x-32 3, 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4, Venn图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2=,5, (3) 空集 不含任何元素的集合 例:x|x二、集合间的基本关系 1.包含?关系子集 A,B注意:有两种可能,1,A是B的一部分,2,A与B是同一集合。 ,反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB,或BA 2(相等?关系:A=B (5?5且5?5则5=5) 2实例:设 A=x|x-1=0 B

3、=-1,1 元素相同则两集合相等? 即:? 任何一个集合是它本身的子集。A,A ?真子集:如果A,B,且A, B那就说集合A是集合B的真子集记作AB(或BA) ?如果 A,B, B,C ,那么 A,C ? 如果A,B 同时 B,A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集记为 规定: 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集。 nn-1, 有n个元素的集合含有2个子集2个真子集 三、集合的运算 运算交 集 并 集 补 集 第 1 页 共 16 页 类型 定 设S是一个集合A是由所有属于A且属由所有属于集合A或义 S的一个子集由S中于B的元素所组成属于集合B的元素所所有不属于A的元素

4、组的集合,叫做A,B的组成的集合叫做A,B成的集合叫做S中子:交集(记作A,读BB的并集(记作:A集A的补集,或余集, 作A交B,即,读作A并B,即即 记作CAS:AB=,x|xA且AB =x|xA或,S CA= x|x,S,且x,ASxB,( xB)( ,A 韦 S AAB恩 BA 图 图2图1示 :AA=A A=A A性 :A) (CB) (Cuu:A= A=A := C (AB) u:AB=BA AB=BA :(CA) (CB) uu:ABA AB, , := C(AB) u: ABB ABB ,质 :A (CA)=U u:A (CA)= ( u例题: 1.下列四组对象能构成集合的是 ,

5、 , A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合abc 的真子集共有 个 2若集合M=y|y=x3.-2x+1,xR,N=x|x?0则M与N的关系是 . ,4.设集合A=B=若AB则的取值范围是 ,axxa,xx12,5.50名学生做的物理、化学两种实验已知物理实验做得正确得有40人化学实验做得正确得有31人 两种实验都做错得有4人则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点,含边界上的点,组成的集合M= . 22227.已知集合A=x| x+2x-8=0, B=x| x-5x+6=0, C=x| x-mx+m-19=0, 若

6、B?C?A?C=求m的值 二、函数的有关概念 第 2 页 共 16 页 1(函数的概念:设A、B是非空的数集如果按照某个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)x?A(其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域( 注意: 1(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零, (2)偶次方根的被开方数不小于零, (3)对数式的

7、真数必须大于零, (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. , 相同函数的判断方法:?表达式相同,与表示自变量和函数值的字母无关,?定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2(值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中以函数 ?A)中的y=f(x) , (xx为横坐标函数值y为纵坐标的点P(xy)的集合C

8、叫做函数 y=f(x),(x ?A)的图象(C上每一点的坐标(xy)均满足函数关系y=f(x)反过来以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(xy)均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4(区间的概念 ,1,区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 ,2,无穷区间 ,3,区间的数轴表示( 5(映射 一般地设A、B是两个非空的集合如果按某一个确定的对应法则f使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应那么就称对应f:AB为从集合A到,集合B的一个映射。记作f,对应关系,

9、:A,原象,B,象,? ,对于映射f:A?B来说则应满足: (1)集合A中的每一个元素在集合B中都有象并且象是唯一的, 第 3 页 共 16 页 (2)集合A中不同的元素在集合B中对应的象可以是同一个, (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况( (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集值域是各段值域集( 补充:复合函数 如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=fg(x)=F(x)(x?A) 称为f、g的复合函数。 二(函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) ,

10、1,增函数 设函数y=f(x)的定义域为I如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xx当xx时都有f(x)f(x)那121212么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值xx当xx时1212 都有f(x),f(x)那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D12称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质, ,2, 图象的特点 如果函数在某个区间是增函数或减函数那么说函数y=f(x)y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的减函数的图象从左到右是下降的. (

11、3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: x?D且x1且?N( nnn, 负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0记作。 0,0a(a,0),nnnn当是奇数时a,a当是偶数时 a,|a|,nn,a(a,0),2(分数指数幂 正数的分数指数幂的意义规定: m*nmna,a(a,0,m,n,N,n,1)m,11*n a,(a,0,m,n,N,n,1)mnmana, 0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义 3(实数指数幂的运算性质 rrr，saa,a(a,0,r,s,R),1, , rsrs (a),a(a,0,r,s,R),2, ,rrs(ab),aa(a,0,r,s,R),

12、3, ( ,二,指数函数及其性质 第 6 页 共 16 页 x1、指数函数的概念:一般地函数叫做指y,a(a,0,且a,1)数函数其中x是自变量函数的定义域为R( 注意:指数函数的底数的取值范围底数不能是负数、零和1( 2、指数函数的图象和性质 a1 0a1 0a0a0函数y=a与y=log(-x)的图象只能是 ( ) a1log27，2log24，log355log2233 ;?= ,= ; 2.计算: ?225,log64271417,03,0.75? = 3320.064,(,)，(,2)，16，0.01823.函数y=log(2x-3x+1)的递减区间为 124.若函数在区间上的最大值

13、是最小值的3倍则a= a,2af(x),logx(0,a,1)a1，x5.已知,1,求的定义域,2,求使的的取值范围 xfx()fx()0,fxaa()log(01),且a1,x第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 y,f(x)(x,D)f(x),01、函数零点的概念:对于函数把使y,f(x)(x,D)成立的实数叫做函数的零点。 xy,f(x)f(x),02、函数零点的意义:函数的零点就是方程实y,f(x)数根亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 xf(x),0y,f(x)即:方程有实数根函数的图象与轴有交,x第 9 页 共 16 页 y,f(x)点函数有零点( ,3、函数零点的求法: f

14、(x),01 ,代数法,求方程的实数根, ?2 ,几何法,对于不能用求根公式的方程可以将它与函数?y,f(x)的图象联系起来并利用函数的性质找出零点( 4、二次函数的零点: 2二次函数( y,ax，bx，c(a,0)2ax，bx，c,0,1,?,方程有两不等实根二次函数的图象与轴有两个交点二次函数有两个零点( x2ax，bx，c,0,2,?,方程有两相等实根二次函数的图象与轴有一个交点二次函数有一个二重零点或二阶零点( x2ax，bx，c,0,3,?,方程无实根二次函数的图象与x轴无交点二次函数无零点( 5.函数的模型 收集数据 画散点图 不 选择函数模型 符 合实 际 求函数模型 检验 符合

15、实际 用函数模型解释实际问题 基本概念 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3: 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面。 第 10 页 共 16 页 公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系: 空间

16、两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类: (1)共面: 平行、 相交 (2)异面: 异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角:范围为 ( 0?，90? ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类: (1)有且仅有一个公共点相交直线;(2)没有公共点 平行或异面 直线和平面的位置关系: 直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行 ?直

17、线在平面内有无数个公共点 ?直线和平面相交有且只有一个公共点 直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定:a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0?角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 0?，90? 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和

18、平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a的垂面。 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ?直线和平面平行没有公共点 第 11 页 共 16 页 直线和平面平行的定义:如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和

19、交线平行。 两个平面的位置关系: (1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点 (2)两个平面的位置关系: 两个平面平行-没有公共点; 两个平面相交-有一条公共直线。 a、平行 两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。 b、相交 二面角 (1) 半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。 (2) 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 0?，180? (3) 二面角的棱:这一条直线叫做二面角

20、的棱。 (4) 二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面。 (5) 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 (6) 直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp. 两平面垂直 两平面垂直的定义:两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为 ? 两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 Attention: 二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理

21、及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系) 多面体 第 12 页 共 16 页 棱柱 棱柱的定义:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质 (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形 (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 (3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形 棱锥 棱锥的定义:有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥 棱锥的性质: (1) 侧棱交于一点。侧面都是三角形 (2) 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面

22、积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方 正棱锥 正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质: (1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。 (3) 多个特殊的直角三角形 esp: a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角

23、。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0?,180? (2)直线的斜率 ?定义:倾斜角不是90?的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常第 13 页 共 16 页 k,tan,用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 ,当时，; k,0,0,90，,当时，; k,0,，90,180,90当时，不存在。 ky,y21k,(x,x)?过两点的直线的斜率公式: 12x,x21注意下面四点: (1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90?; x,x12(2)k与P、P的顺序无关; 12(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线

24、上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ?点斜式:直线斜率k，且过点 y,y,k(x,x)，x,y1111注意:当直线的斜率为0?时，k=0，直线的方程是y=y。 1当直线的斜率为90?时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示(但因 l上每一点的横坐标都等于x，所以它的方程是x=x。 11y,kx，b?斜截式:，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b yyxx,11xxyy,()直线两点， ?两点式:,，x,y，x,y12121122yyxx,2121xy?截矩式: ，,1ab(,0)a(0,)bllab,其中直线与轴交于点,与轴交于

25、点,即与轴、轴的截距分别为。 yyxxAx，By，C,0(A，B不全为0) ?一般式:1注意:?各式的适用范围 2 ?特殊的方程如:平行于x轴的直线:(b为常数); y,b平行于y轴的直线:(a为常数); x,a(4)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:Ax，By，C,0A,B00000Ax，By，C,0(C为常数) 00(二)垂直直线系 垂直于已知直线Ax，By，C,0(是不全为0的常数)的直线系:A,B00000Bx,Ay，C,0(C为常数) 00(三)过定点的直线系 ，y,y,kx,x? 斜率为k的直线系:，直线过定点; ，

26、x,y0000l:Ax，By，C,0l:Ax，By，C,0? 过两条直线，的交点的直线系方程22221111为 第 14 页 共 16 页 l(为参数)，其中直线不在直线系中。 ,，Ax，By，C，,Ax，By，C,02111222(5)两直线平行与垂直 当，时， l:y,kx，bl:y,kx，b111222; l/l,k,k,b,bl,l,kk,11212121212注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 (6)两条直线的交点 相交 l:Ax，By，C,0l:Ax，By，C,011112222，,0AxByC,111交点坐标即方程组的一组解。 ,Ax，By，C,0222

27、,ll方程组无解 ; 方程组有无数解与重合 ,l/l,1212AxyBxy(,),，()(7)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点， 112222|()()ABxxyy,，,则 2121(8)点到直线距离公式:一点到直线的距离l:Ax，By，C,0，Px,y001Ax，By，C00 d,22A，B(9)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 圆的方程 222，a,b，(1)标准方程x,a，y,b,r，圆心，半径为r; 22(2)一般方程 x，y，Dx，Ey，F,0一年级下册数学教学工作计划22DE,D，E,4F,0当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为

28、,22,2、第三单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。122 r,D，E,4F22222D，E,4F,0D，E,4F,0当时，表示一个点; 当时，方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 9、向40分钟要质量，提高课堂效率。一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F; 另外要注意多

29、利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 周 次日 期教 学 内 容直线与圆的位置关系 第 15 页 共 16 页 (3)边与角之间的关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况: 222(1)设直线l:Ax，By，C,0，圆，圆心到l的距离，Ca,b，C:x,a，y,b,rAa，Bb，Cd,r,l与C相离为，则有;d,r,l与C相切;d,r,l与C相交 d,22A，B(2)过圆外一点的切线:?k不存在，验证是否成立?k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦

30、心距相等。222(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x，y)，则过此点的切线方002程为(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)= r 00圆与圆的位置关系 通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 222222设圆， ，C:x,a，y,b,R，C:x,a，y,b,r111222垂直于切线; 过切点; 过圆心.两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 d,R，r当时两圆外离，此时有公切线四条; d,R，r当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条; R,r,d,R，r当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; d,R,r当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线; d,0d,R,r当时，两圆内含; 当时，为同心圆。 经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.注意:已知圆上两点，圆心必在中垂线上;已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 4、在教师的具体指导和组织下，能够实事求事地批评自己、评价他人。第 16 页 共 16 页