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1、Slotine J. E.?应用非线性限制?学习笔记第7章滑模限制7.1 前言本章讨论模型不精确条件下非线性系统的限制问题.模型不精确主要来源于 实际被控对象的不确定性,如模型参数变化等,以及系统动态的简化模型表示, 如将摩擦力建模为线性模型、忽略机械结构中的高频柔性模态等.从限制角度出 发,模型不精确主要分为两类：结构或参数不确定性和未建模不确定未建 模动态.第一类为实际建模模型中参数的不精确, 第二类为系统动态阶数的不 精确.如前所述,模型不精确对非线性限制系统副作用很大, 因此实际限制器设计 必须予以考虑.两种主要的解决模型不确定性的方法为鲁棒限制和自适应限制, 两者性能互补.鲁棒限制器
2、的典型组成结构为类似于反应线性化和逆模型限制律 的额定局部和处理模型不确定性的额外局部.自适应限制器的结构与之类似,但是其基于模型的额定限制局部在工作过程中会基于测量性能不断更新.实现鲁棒限制的简单方法之一为滑模限制,具可很简单地实现对一阶系统可包括非线性和不确定性的鲁棒限制,并且可简单地拓展到n阶系统.相应 地,通过简化表示可有效地将n阶系统限制问题转化为一阶系统镇定问题, 并且 可在任意模型不精确条件下实现对转化后的问题高性能限制. 但是,高性能的实 现需要较高的限制作用,这将激发系统未建模动态.因此,需要调整限制律并权 衡跟踪性能和参数不确定性影响. 进一步,对于电机限制等特殊应用场合,
3、未调 整的限制律可直接使用.对于一大类系统限制问题,滑模限制器给出了系统化的设计方法, 以保证模 型不精确条件下系统稳定性和一致的性能.同时,通过权衡模型精度和跟踪性能可进一步说明滑模限制器的设计过程.以下章节先分析单输入系统,以建立非线性限制器设计的直观概念.7.2节将介绍滑模限制的根本概念和表示方法以及根本的限制器设计方法,7.3节将对以上限制律进行改良以消除过大的限制作用,7.4节将讨论限制器参数的设计, 7.5节将滑模限制问题推广到多输入系统.7.2 滑模面对于如下单输入动态系统其中标量工为输出,标量在为限制输入,二金Xiny 1为状态矢量.上述 动态方程中/工一般为非线性且未知,但是
4、其相对 工的不精确度存在上界, 上界为状态矢量盘的连续函数；类似地,限制增益力工也并非完全,但是其 符号且存在上界,上界为的状态矢量 H的连续函数.例如,电机限制系 统中机械系统的转动惯量精度有限,摩擦力模型一般也只能描述实际模型的局部 特征.上述系统的限制问题为在 /3,6土模型不精确条件下,实现状态矢量 x 能够跟踪特定的时变状态 %=工连债-叫.为保证在有限限制输入立下上述跟踪问题能够实现,初始期望状态 工人.必 须满足；=1.2对于二阶系统,如位置和速度不能突变的场合,任何可行的期望轨迹必须保证在 0时刻处于相同位置并具有相同速度.否那么,将只能在一段暂态时间后实现跟踪 限制.7.2.
5、1 表不简化令金=一工金为变量的跟踪误差,并令X = X Xfi =1金Xh,f T为跟 踪误差矢量.进一步,定义状态空间R附内的时变滑模面为,其标量方程为 SH；t =0 ,其中.： = I;1.3其中A为严格的正常数.例如,m=2时有$ =东+短,也即s为速度和位置误差 的简单加权,=3时有s =京+T无,其可视为加速度、速度和位置误差的加权.给定初始条件如式1.2,工三S的跟踪限制问题等效于保证系统状态在 力.时均位于滑模面St上.实际上,在式1.2所示的初始条件下,s三0代表 线性差分方程,其唯一解为 亦三0.因此,n维矢量的跟踪问题可转化为保证标 量s为0的问题.更准确地说,n维矢量
6、布的跟踪问题可替换为s的一阶镇定问 题.实际上,由式1.3可知3的表达式中包含.项,只需要对日进行一次差分 即可显式得到限制量标量s的边界可直接转换为跟踪误差矢量 三的边界,因此标量目可代表实际 的跟踪性能.特别地,假设初始状态满足 出0=.,那么可得到上1；中一 . _L . t =0.11.4其中=中/入7.实际上,由式1.3所示定义,跟踪误差 而可通过对S进行一系 列低通滤波得到,如下列图7-1.a所示.*1 bJocks图7-1.a由s界限计算跟踪误差 元的界限 令为为第一个低通滤波器输出,那么可得到-=8sm Ju由同中可知敢.三e-dT =中/入1小考 三/人同样可计算第二个滤波器
7、输出,直至 n-= 那么可得到同W,一=日类似地,浜,可视为由下列图7-1.b得到,由上述结果可得到 上|三/入-1其中 次为第R 1 一.个滤波器输出.i Mocks：r _ _ 、 ,ft - f i btod图7-1.b由方界限计算跟踪误差 定储的界限进一步,考虑到,_ p + 一一一 _.p + A p +入p + 入其中P =喘为Laplace算子,那么由可知尺|三中/土-1-1 + ： =2入工也即式1.4所示的误差界限.最终,当初始误差状态 出力.时,式1.4所示的界 限只能渐进实现,收敛时间为门一1/入.因此,n阶跟踪限制问题可有效地转化 为一阶镇定问题,且式1.4对跟踪性能进行了量化.简化的保证5为0的一阶问题可通过设计限制律u进行实现,以使得系统状 态位于滑模面S之外时,满足