最新高三数学复习圆锥曲线知识点与高考试题优秀名师资料.doc

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1、高三数学复习圆锥曲线知识点与高考试题付国教案 高三数学复习圆锥曲线知识点与高考试题 一、知识点: 新疆王新敞奎屯1(椭圆定义:在平面内，到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹 2222xyyx222abc,，2(椭圆的标准方程:， (，) a,b,0，,1，,12222abab3(椭圆的性质: (1)范围;(2)对称性:图象关于轴对称(图象关于轴对称(图象关于原点对称xy新疆新疆新疆王新敞王新敞王新敞奎屯奎屯奎屯原点叫椭圆的对称中心，简称中心 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 新疆王新敞奎屯椭圆共有四个顶点: ，加两焦点共有A(,a,0),A(a,0)B(0

2、,b),B(0,b)F(,c,0),F(c,0)2212新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯六个特殊点 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴(长分别为 分别为椭圆的长2a,2ba,bAABB1212新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 bc2新疆新疆新疆王新敞王新敞王新敞奎屯e,1,()奎屯奎屯0,e,1(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 e,aa新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯4椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这(0,1)e新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率 个点的轨迹叫做椭圆e22

3、22aaxy新疆王新敞奎屯lx:,，,1l:x,5(椭圆的准线方程:对于，左准线;右准线 1222ccab2222ayxa新疆王新敞奎屯ly:,，,1:,ly对于，下准线;上准线 1222ccab2222aacb,pc,焦点到准线的距离(焦参数) ccc新疆王新敞奎屯椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 新疆王新敞奎屯r,a,ex6(椭圆的焦半径公式:(左焦半径)r,a，ex,(右焦半径),其中e是离心率 1020MFaeyMFaey,，, 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式:分别是椭圆的( 其中F,F102012新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯下上焦点)焦半径公式的

4、两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为: 新疆王新敞奎屯左加右减，上减下加 x,a,cos,新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯(,为参数)7椭圆的参数方程 ,y,bsin,FF8(双曲线的定义:平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数(小于)的动点的轨迹F,F1212第 1 页 共 9 页 付国教案 新疆新疆新疆王新敞王新敞王新敞奎屯奎屯奎屯叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 MF,MF,2a129(双曲线的标准方程及特点: 22xy222c,a，b焦点在轴上时双曲线的标准方程为:(，,); a,0b,0,1x22ab22yx222新疆王新敞奎屯c

5、,a，b焦点在轴上时双曲线的标准方程为:(，,) a,0b,0,1y22ab22新疆王新敞奎屯x10焦点的位置:椭圆的标准方程看椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确y新疆王新敞奎屯定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的22新疆王新敞奎屯x位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上;项的系数是正的，那么焦点在轴上 xyy新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯11(双曲线的几何性质:(1)范围、对称性 (2)顶点 22xybxy新疆王新敞奎屯,1(3)渐近线:双曲线的渐近线() y,x,022ababab2cc2新疆王新敞,，1()奎屯e,1)离心率

6、:， (4e,a2aa新疆王新敞奎屯12(等轴双曲线:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴新疆王新敞奎屯双曲线的性质:(1)渐近线方程为:;(2)渐近线互相垂直;(3)离心率 y,xe,2b13(共渐近线的双曲线系:如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定y,xa22xy新疆王新敞奎屯,0,是 22ab14(共轭双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共新疆新疆新疆王新敞王新敞王新敞奎屯奎屯奎屯轭双曲线 区别:三量a,b,c中a,b不同(互换)c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲新疆新疆王新敞王新敞奎屯

7、奎屯线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为-1 lee(1),15( 双曲线的第二定义:到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率( 222axy,1l:x,16(双曲线的准线方程:对于来说，相对于左焦点对应着左准线，F(,c,0)1122cab22ab新疆王新敞奎屯lxp:,相对于右焦点对应着右准线;焦点到准线的距离(也叫焦参数) F(c,0)22cc第 2 页 共 9 页 付国教案 222yxa对于来说，相对于上焦点对应着上准线;相对于下焦点,1:,l

8、yF(0,c)F(0,c)11222cab2a对应着下准线 ly:,2c新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯17 双曲线的焦半径:双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径 F,F12MFaexMFaex,，,焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式: 1020MFaeyMFaey,，,焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式: 1020新疆王新敞奎屯18(双曲线的焦点弦:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 2b2新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯19(双曲线的通径:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 d ,a新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯l20 抛物线定义:平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物

9、线 定点F叫新疆王新敞奎屯l做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 l 焦半径公式 焦点弦公式 21(抛物线的方程 焦点 准线pppp2新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯AB,p，(x，x) (1), ， x, ， PF,x，,，x(,0)ypx,212002222pppp2新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯AB,p,(x，x)y,(2), ， ， PF,x,x(0,)xpy,212002222pppp2新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯AB,p，(y，y)(3), ，x, ， PF,y，,，y(,0)ypx,212002222pppp2新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯AB,p,(y，y)y,PF,y,y(4) ,

10、 ， ， (0,)xpy,212002222新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯d,2p通径:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径: 22(抛物线的几何性质:(1)范围;(2)对称性;(3)顶点;(4)离心率e=1( 2,x,2pt224(抛物线的参数方程:(t为参数) y,2px(p,0),ypt,2 ,二、巩固训练(高考试题) 2A(,2,0)B(3,0)P(x,y)满足PA,PB,x辽宁卷6(已知点、，动点，则点P的轨迹是(D) A(圆 B(椭圆 C(双曲线 D(抛物线 第 3 页 共 9 页 付国教案 2y2辽宁卷19( 设椭圆方程为，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原x，,1

11、4111点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求: OP,(OA，OB)(,)222(1)动点P的轨迹方程;(2)的最小值与最大值. |NP|辽宁卷19(1)解法一:直线l过点M(0，1)设其斜率为k，则l的方程为 y,kx，1.记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 A(x,y)B(x,y),(x,y)(x,y)11221122? ,，1ykx,2 的解.2分 ,y2? ，,1x,4,2k,x，x,122,4，k22将?代入?并化简得，所以 (4，k)x，2kx,3,0,8,y，y,.122,4，k,x，xy，y,k141212OP,OA，OB,()(,)(,).于是6分 22222

12、，k，k44,k,x,2,4，k22设点P的坐标为(x,y),则消去参数k得 ? 4x，y,y,0,4,y,.2,4，k,当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程?，所以点P的轨迹方程为228分 4x，y,y,0.(x,y)解法二:设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 A(x,y)B(x,y)112222yy2212x，,1,x，,1. ? ? 1244112222x,x，(y,y),0(x,x)(x，x)，(y,y)(y，y),0.?得，所以 12121212121244y,y112x，x，(y，y),0.当时，有 ? x,x1212124x,x12第 4 页 共 9 页 付国

13、教案 xxyyyy，,y,122121212并且 ? 将?代入?并整理得 ? 4x，y,y,0.xy,.22xxx,12当时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，,2)，这时点P的坐标为(0，0) x,x1212(y,)2x2，,1.也满足?，所以点P的轨迹方程为8分 111641112(2)解:由点P的轨迹方程知 x,即,x,.1644111117222222所以10分 |()()()43()NP,x,，y,x,，,x,x，222461211121故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为 .;当x,x,|NP|NP|644622xy22，,1广东卷22(设直线与椭圆相交于A、B两点，

14、又与双曲线xy=1相交于C、D两,2516的方程. 点， C、D三等分线段AB. 求直线,广东卷22(解:首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为: A(x,y),B(x,y),C(x,y),D(x,y)11223344ykxb,，,22222依题意有AC,DB,AB,3CD，由 得(1625)2(25400)0.(1)，,，,kxbkxb,xy，,1,2516,ykxb,，,50bk222由得(1)2(1)0.(2),，,kxbkxb， ？，,xx,12222xy,11625，k,2bk？x，x,k,1k,1若，则与双曲线最多只有一个交

15、点，不合题意，故 3421,kyAC,DB,x,x,x,x,x，x,x，x由 31241234lB502bkbkD ,bkkb000或22o16251，,kkxCA522()0,(1)16,(2)1ikxbxb当时由得由得,，1,23,44,16101622y,故l的方程为 由即ABCDxxxxbbb,，,33(),1661214313413第 5 页 共 9 页 付国教案 201(ii)当b=0时，由(1)得 x,由(2)得x,1,23,42216，25k1,k40616由 33()由AB,CD,x,x,x,x即,k,2143222516251，k,k16故l的方程为。再讨论l与x轴垂直的情

16、况. y,x25422设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， ycyc,25,11,23,45,82524122由|3|3|ABCDyyyy,， 即2561,ccc2143524125241162524116x,综上所述，故l的方程为、和 y,故的方程为lx,y,x24124113252x2全国卷3理 (21)文22:设椭圆，,y1的两个焦点是 F(-c,0), F(c,0)(c0)，且椭圆上存在点P，12m，1使得直线 PF与直线PF垂直( (I)求实数 m 的取值范围( (II)设l是相应于焦点 F的准线，直线122|QF2PF与l相交于点Q. 若,23，求直线PF的方程

17、( 22|PF2222全国卷3理 21文22.解:?直线PF?直线PF ，?以O为圆心以c为半径的圆:x+y=c与椭12222,xyc，,2x,22，,y1圆:有交点.即有解 ,x2m，1，,y1,m，1,2m,122222m,101,，xam又?c=a-b=m+1-1=m0 ? ? m?设P(x,y), 直线PF方程为:y=k(x-c)， 22am，1mk，1x,?直线l的方程为: ?点Q的坐标为() ,cmmm,|QF2QF33,23? ?点P分有向线段所成比为 2|PF2第 6 页 共 9 页 付国教案 mk，1(43)1,，mk?F(,0),Q () ?P() m,2mm(43)(43

18、),mm(43)1,，m2()k(1163)1,m(43),m2?点P在椭圆上 ?，? ，,()1k,m，1m，1(43),m(1163)1,m直线PF的方程为:y=(x-). m,2m，112全国卷4理8(已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点e,y,4x2重合，则此椭圆方程为 ( A ) 222222xxxyxy22 A(，,1 B(，,1 C(，y,1 D(，y,1 43862422xyl,1(a,1,b,0)全国卷4理21文22(双曲线的焦点距为2c，直线过点(a，0)和(0，22ab4llb)，且点(1，0)到直线的距离与点(,1，0)到直线的距离之和求双曲线的离

19、心率es,c.5的取值范围. xyl全国卷4理21文22解:直线的方程为，即 bx，ay,ab,0. ，,1abb(a,1)d,a,1l由点到直线的距离公式，且，得到点(1，0)到直线的距离， 122a，bb(a，1)2ab2abd,.s,d，d,l同理得到点(,1，0)到直线的距离， 1222222ca，ba，b42ab42225ac,a,2c.由s,c,得,c, 即 5c522425e,1,2e,即4e,25e，25,0.于是得 552,e,5.e,1,0,e,e,5.解不等式，得 由于所以的取值范围是 2422xy,1天津卷理4文5. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、3x,

20、2y,0,F129a第 7 页 共 9 页 付国教案 F分别是双曲线的左、右焦点，若，则(C) A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 |PF|,3|PF|,212天津卷文理22. 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F(c，0)()的准c,022线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(1)求椭圆的方程及l离心率;(2)若，求直线PQ的方程;(3)(理)设()，过点P且,1OP,OQ,0AP,AQ平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。 lFM,FQ22xy天津卷文理22(1)解:由题意，可设椭圆的方程为。 ，,1(a,2)22a2a22

21、 由已知得解得 accc,2,2().a,6,c,2c22xy6所以椭圆的方程为，,1，离心率。 e,36222,xy，,1,(2)解:由(1)可得A(3，0)。设直线PQ的方程为。由方程组 y,k(x,3)62,y,k(x,3),2222得 (3k，1)x,18kx，27k,6,0等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。662,k,依题意，得。 ,12(2,3k),0332.点与圆的位置关系及其数量特征：2227k,618kxx,x，x,设，则， ? 。 ? P(x,y),Q(x,y)12121122223k，13k，1由直线PQ的方程得。于是 y,k(x,3),y,k(

22、x,3)112212.与圆有关的辅助线22。 ? yy,k(x,3)(x,3),kxx,3(x，x)，912121212OP,OQ,0?，?。 ? xx，yy,0121256625k,1k,(,)由?得，从而。 533（2）顶点式：所以直线PQ的方程为或 x,5y,3,0x，5y,3,0第 8 页 共 9 页 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即付国教案 (2)证明:。 AP,(x,3,y),AQ,(x,3,y)1122,x,3,(x,3),12,y,y,12,22,xy11由已知得方程组 ,，,1,62,22,xy22,，,1.62,51,注意,1，解得 x,22,4、在教师的具体指导和组织下，能够实事求事地批评自己、评价他人。因，故 F(2,0),M(x,y)11定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。FM,(x,2,y),(,(x,3)，1,y)1121即;,11,。 (,y)(,y),12,223. 圆的对称性:,1,而，所以 FQ(x2,y)(,y),222,2点在圆内 dr;。 FM,FQ第 9 页 共 9 页