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1、参照系平动变换中的动能定理和机械能守恒定律江苏省盛泽中学(215228)王宗谟提要：为使动能定理和机械能守恒定律在参照系平动变换时保持协变，所取参照系必须 是严格意义上的惯性参照系。动能定理和机械能守恒定律都是力学中的重要规律。按照经典力学的相对性原理， 它们在不同的惯性参照系中，应有相同的形式。本文将先以地球及对地匀速运动的升降 机为参照系来作一些具体探讨。一、升降机参照系出现了麻烦设在地球参照系中，质量为 m的物体从高处自由落下，经过时间t，下落位移h，速度为v。则重力做功 W=mgh，动能增量 EK=mv2/2 0。对物体的动能定理是： W= Ek,或mgh=mv2/2。 (1)mgh也
2、可以理解为重力势能的减少(厶Ep= mgh)，故上式又可以看作是机械能守恒定律的表达式。现再取一个相对地面以 u匀速上升的升降机为参照系。在时间t内，物体初速度为u,末速度为u+v，位移为h+ut, 重力做功 W/=mg (h+ut),/ 2 2 2物体动能增量 Ek =m (v+u ) /2 mu /2=mv /2+mvu，其中 v 是 对地速度，可用 mv2/2=mgh及v=gt代入，即得： Ek =mgh+mgut=mg (h+ut) W/= Ek/说明在升降机参照系中，物体的功和动能的数值虽 与地面上不同，但两者的关系仍满足动能定理。至此似乎一切还都顺理成章，然而当我们接着考虑机械能时
3、便出 现了麻烦。首先，重力势能是物体和地球所共有的，其大小决定于两者的相对距离。在伽利略 变换中，同一时刻物体与地面之间的距离(牛顿间隔)不随坐标系改变，因而重力势能 在不同的参照系中数值应相同。在时间t内势能的变化 Ep无论对地还是对升降机都一样是mgh。而物体动能的变化，前已指出，在不同的参照系中EkmA Ek/。这样就出现升降机参照系中机械能不守恒。问题还不仅如此。当我们把动能定理运用于地球时也会出现麻烦：地球受到物体的反作用力，大小也是 mg。把物体与地球看作不受外力的孤立系统，在时间 t内，地球相 对升降机匀速远离的位移是ut,反作用力对地球做功 W反=mgut，这不是可忽略的一项。
4、然而地球相对升降机是匀速的，动能毫无变化。说明在升降机参照系中对地球动能 定理也不适用了。二、佯谬根源何在？动能定理和机械能守恒定律作为动力学规律理应遵守相对性原理。现在让我们来寻 找出现以上佯谬的根源及解决问题的途径。注意到：1、地球动能的变化不是任何情况下都可以忽略。当我们考虑重力势能时知道它是物 体和地球所共有，那么考虑动能时置地球于不顾就不合理。地球速度变化虽小，但其质 量极大，动能变化不一定可以忽略。2、既然要考虑相互作用过程中地球动能的变化，那么地球及相对地球匀速运动的升 降机就不是严格意义上的惯性系，用它们作参照物进行伽利略变换，必然会出现偏差。 为此必须重新定义严格的惯性参照系
5、。根据上述思路，我们来推导两规律在坐标变换时的协变性。先把地球参照系改为仅在初始时刻与地球相对静止此后保持状态不变的一个惯性系 K (严格静止的参照系)。在K系中初态时物体与地球速度均为0，经时间t内相互作用，物体速度为 v,地球质量为 M,速度为V，相对距离减少h,机械能守恒定律表达 为：2 2 mgh=mv /2+MV /2 ( 2)因认为物体与地球系统不受外界作用，总动量守恒：0=mv MV ,又事实上M 2 .m , V沁0,从而地球动能 MV /2=mvV/2沁0,可忽略。由此可见，把 K系始终固定在 地球上也不会引起较大的误差，(2)式完全可以简化为(1)式。在运用动能定理时也不必
6、考虑物体对地球反作用力的功。再把升降机参照系改为仅在初始时刻与地球相对速度为u,此后严格保持匀速运动不变的惯性系K/。在K，系中，物体与地球初速度都为u,经过时间t,物体速度为v+u，地球速度为u- V，物体与地球相对距离减少h,系统势能变化 Ep/=mgh,系统动能变化 Ek =m (v+u) /2 mu /2+M ( u V) /2 Mu /2=mv /2+MV /2+ (mv MV ) u,v、V都是对K系的速度，有 mv MV=0，再利用(2)式，显然有厶Ep= Ek，即 在K，系中机械能仍守恒。对照起来，在升降机参照系中比K，系中少了 M ( u V) 2/2 Mu2/2两项，这两项
7、正是地球动能的变化 E地，少了这两项，机械能就不守恒。E地=M ( u V) 2/2 2 2Mu /2=MV /2 MVu。用mv MV=0代入便得厶E地=mv ( u+V/2 )。而引力对地球做 功W地=mgtu+ ( u V) /2=mv ( u+V/2 )。这说明在 K，系中对地球的动能定理也是 成立的。三、小结动能定理和机械能守恒定律在不同的惯性参照系中形式是不变的。若使用的参照系 不是严格的惯性系，则在坐标变换时会出现不协变现象。机械能守恒是指一个系统的动能和势能的守恒。在K系(静坐标系)中可以不考虑地球动能变化，在 系(动坐标系)中，地球的动能变化却不可忽略。四、思考上述观点也可适用于弹性势能与动能在不同惯性系中的守恒。作为 本文的结束，请思考如下问题：在水平光滑导轨上，有一静止的质量为M的车厢。车厢的水平光滑底板上有一质量为 m的水平弹簧振子，弹簧一端固定在车厢壁上， M m。初始时弹簧已压缩，小球从静止释放。在运用机械能守恒定 律时，能否以地面为参照物？能否以车厢为参照物？若释放小球前，车厢已具有初速度u,则在运用机械能守恒定律时,能否以地面为参照物？能否以车厢为参照物？