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1、第七章线性变换3 .在 Px中，Af(x) = f(x), B f(x) = xf (x),证明：AB -BAnE .解题提示直接根据变换的定义验证即可.证明任取f (x) W Px,则有(AB -BA )f (x) =AB f (x) - BA f (x) = A (xf (x) -B (f (x)= (xf (x)xf(x) = f(x) = E f(x), 于是 AB -BA E .4 .设A , B是线性变换，如果AB -BA -E ,证明：kkk .1A B -BA = kA , k 1 .解题提示利用数学归纳法进行证明.证明当k =2时，由于AB BA-E ,可得A 2B -BA
2、2 =A (AB -BA ) +(A B -BA )A = 2A , 因此结论成立.假设当k = s时结论成立，即 A sB BA s = sA s.那么，当k=s + 1时，有A s*B -BA s考=A (A sB -BA s) +(AB -BA )A s = sA s +A s = (s + 1)A s , 即对k = s +1结论也成立.从而，根据数学归纳法原理，对一切 k 1结论都成立.特别提醒由A 0 = E可知，结论对k =1也成立.5 .证明：可逆映射是双射.解题提示只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可.证明 设A是线性空间V上的一个可逆变换.对于任意的u,PwV,如果Au=
3、AP,那么，用A - 作用左右两边，得到 a =a (A ) =A，(A P) = P ,因此A是单射；另外，对于任意的 P亡V ,存在 口 =A P WV ,使得A a = A (A P) = P ,即A是满射.于是 A是双射.特别提醒由此结论可知线性空间V上的可逆映射 A是V到自身的同构.6 .设5,3，III，新是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当 A %, A 2,|H，A 8n线性无关.证法1若A是可逆的线性变换，设 k1A当+k2A玩+IH +knA 8n = 0,即A （k声 1 +k2s2 + 川 +n） =0 .而根据上一题结论可知 A是单射，故必有k
4、1鸟+k2E2 +| +knsn =0 ,又由于1,玩II,、是线性无关的， 因此ki =k2 =| =kn =0 .从而AaA也III, A即线性无关.反之，若A kA jJILA 4是线性无关的，那么 A mA %, HI, A 也是V的一组基.于是，根据 教材中的定理1,存在唯一的线性变换 B ,使得B （A曾）=鸟，i =1,2,|, n .显然BA （q） = q , AB（A 与）=A 鸟，i =1,2,|,n .再根据教材中的定理 1知，AB =BA =E .所以A是可逆的.证法2设A在基内，4，1儿下的矩阵为A,即A （鸟,，川，4） =（A &A S2,H|,A %）=（用,
5、%,HI, %）A 由教材中的定理 2可知，A可逆的充要条件是矩阵 A可逆.因此，如果A是可逆的，那么矩阵 A可逆，从而A a, A s2,|, A /也是V的一组基，即是线性无 关的.反之，如果 A &1,A S2,IH,A 8n是线性无关，从而是 V的一组基，且 A是从基 的，82,川，8n到 A JA &2,IH,A斗的过渡矩阵，因此 A是可逆的.所以 A是可逆的线性变换.方法技巧方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2,将线性变换 A可逆转化成了矩阵 A可逆.9 .设三维线性空间 V上的线性变换 A在基?，%, %下的矩阵为（ a11 a12 a
6、13 A = a21 a22 a23a31 a32 a33 ）1）求A在基, %,鸟下的矩阵；2）求A在基备，k82,号3下的矩阵，其中kw P且k r0；3）求A在基%+他注2, &3下的矩阵.解题提示可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的 矩阵是相似的进行求解.解1）由于*3 =a31 + a232 + a3383 = a33工3 +a23%+a13a ,-a12；1 a22；2 a32；3=a32；3- a22；2a12；1A ；1=a11 ；1 a21 ；2 a31 ；3=a31% + a2遇2 * a1遇 1 .-9 -1.+ a21k 82 +
7、 a3遇3 , kA k ；2二ka12 ；1ka22 ；2ka32 ；3二ka12 ；1 a22k ；2ka32 ；故A在基鼻，s2,勒下的矩阵为a33a32a31B1 =a23a22a21a13a12a11 J2）由于A 1 = a11 ；1 a21 ；2 a31 ；3 = a11 ；11,+ _a23kj +a333.kA -3 = a13 1a23 -2 a33 -3 = a13 -1故A在基鸟，ks2,吃下的矩阵为a11ka12a1311a21a22一电kka31ka32a33B 23）由于从鸟，62,到鸟+，%, %的过渡矩阵为1 0 0）X = 1 1 00)线性无关.证明 由于
8、A组=0,故对于任意的非负整数i ,都有A k士 = A i(A k4 = 0.当k0时，设X1 0 +x2A : +111 +XnA k飞=0,用A k，作用于上式，得X1A T =0,k 1 但A u 0 ,因此X1 = 0 .于X2A t +|+XnA Y =0 ,再用A k，作用上式，同样得到 X2=0.依此下去，可得X1=X2=|l|=xk=0.从而AUlLAk-1之线性无关.16.证明:i2in相似，其中八上,，in是1,2,川，n的一个排列.解题提示利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义.证法1设V是一个n维线性空间，且 曾，,111,是丫的一组基.另外，记i
9、1i2于是，在基 电，82,|,即下，矩阵A对应V的一个线性变换 A ,即门、一， L ,、儿2.A (% 82, 11隆)=(532,山,跖),=(a,%,lll &) AiI3=（5，曷2,HI，?n） B .从而A a =九羯，i =1,2,川，n .又因为据，讥，HI，&n也是V的一组基，且A （11，；i2,111 ；in） =（；ii,；i2,W，；in）in故A与B相似.证法2 设对A交换i,j两行，再交换i,j两列，相当于对 A左乘和右乘初等矩阵 P(i,j)=P (i,j)和p (i,j),而P（i,j）AP（i, j）即为将A中的、和与交换位置得到的对角矩阵.于是，总可以通
10、过这样的一系列的对调变换，将A的主对角线上白元素, %, III,九n变成,儿，川，儿，这也相当于存在一系列初等矩阵Qi, Q 2,IH , Qs,使得QJlIlQ工AQiQ21IIQs = B ,令Q=QiQ2lllQs,则有Q,AQ = B,即A与B相似.方法技巧证法1利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法2利用了矩阵的 相似变换，直接进行了证明.17.如果A可逆，证明 AB与BA相似.证明由于A可逆，故A 存在.于是AI AB) A = ( A A)BA = BA,因此，根据相似的定义可知 AB与BA相似.19.求复数域上线性变换空间 V的线性变换A的特征值与特征向量.
11、已知 A在一组基下的矩阵为:31) A =54)2/564) A= -1 0J 2-3101; 5) A= 0-1;U解1）设A在给定基的,与下的矩阵为A .由于A的特征多项式为-3-4-5九2九2 _5九14 = (X 7)(九+2),故A的特征值为%=7 , % = 2 .当儿=7时，方程组（E -A）X =0 ,即为口X 4x2 =0,-5x1 5x2 = 0.“口 Mee 乃、，HImb/，一+解得它的基础解系为 .从而A的属于特征值 %=7的全部特征向量为- 1 =k3 +k7,其中k为任意非零常数.当心 = 2时，方程组（E - A）X =0 ,即为- 5x1 - 4x2 = 0,
12、- 5x1 -4x2 = 0.（ 4解得匕的基础解系为 ，从而A的属于特征值 % =-2的全部特征响向量为 e巴2 = 41 乐-51 % ,其中1为任意非零常数.4）设A在给定基 马，,马下的矩阵为 A,由于A的特征多项式为5 _563九E A 1九一1=（九一2）（九一1 J3）（九一1 + J3）,12 九 +1故A的特征值为1=2, % =1 +m，% =1 - J3 .当% =2时，方程组（入E -A）X = 0 ,即为1-3x1 -6x2 3x3 =0, x1 + 2x2 -x3 =0,-x1 -2x2 +3x3 = 0.5求得其基础解系为1 ，故A的属于特征值2的全部特征向量为4
13、i = -2ki ；i ki ；2其中ki为任意非零常数.当% =i +J3时，方程组（%E -A）X = 0,即为（-4 、3）xi -6x2 3x3 =0,xi （i 、. 3）x2 -x3 =0,-为-2x2 （2.3）x3 =0.-3求得其基础解系为-I，故A的属于特征值I+J3的全部特征向量为2 =3k2； -k2；2 （2-、3）k2；3其中k2为任意非零常数.当 二iJ3时，方程组（九3E -A）X = 0 ,即为1（ -4- v 3）xi -6x2 3x3 -0,xi （i-V3）x2 -x3 =0,-xi -2x2 （2 - 3）x3 =0.3求得其基础解系为-1 ，故A的属
14、于特征值i-石的全部特征向量为2+瓦3 =3k3；i -卜3；2 （2 、3）k3；3其中k3为任意非零常数.5）设A在给定基 a，物，&下的矩阵为 A,由于A的特征多项式为0-1EE -A = -10=（九1）2（九+1），-1故A的特征值为（二重），7-2 = -1 .当i =1时,方程组（AE -A）X =0 ,即为Lx1 一 x3 = 0,-X1 X3 = 0.求得其基础解系为,故A的属于特征值1的全部特征向量为1 二 k1 ；1 k2 ；2 . X ；3其中k1, k2为任意不全为零的常数.当= 1时，方程组（E A）X = 0 ,即为-X1 - x3 = 0,-=0,-x1 - X
15、3 - 0.求得其基础解系为,故A的属于特征值-1的全部特征向量为2 = T 鸟+1%,其中l为任意非零常数.方法技巧求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特 征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式.24. 1）设% ,%是线性变换A的两个不同特征值，鸟，名2是分别属于 九1,九2的特征向量，证明：岛+82不是A的特征向量;2）证明：如果线性空间 V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么 A是数乘变换.证明1）反证法.假设 5+影是A属于特征值 九的特征向量，即A （坳+电）=儿3+32）=九%+迨.而由题设可知A钏=儿的，A82 =，
16、（2 s2,且及# % ,故A （3 +%） =A a +A %=儿& +入2&2 . 比较两个等式，得到（兀一九）的十（% 九）力=0 .再根据a, 0是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此九1 一九=九2 九=0 ,即九=九2 .这与矛盾.所以5+S2不是A的特征向量.2）设鸟，82,111,与是V的一组基，则它们也是A的n个线性无关的特征向量， 不妨设它们分别属于 特征值di,鲸,即A 曾=% % , i = 1,2,川 , n .根据1）即知儿=% =川=% =九.否则，若储丰工2,那么片+玩# 0 ,且不是A的特征向量，这与V 中每个非零向量都是它的特征向量矛盾.所以，对
17、于任意的a w V ,都有A a =九口，即A是数乘变换.25.设V是复数域上的n维线性空间，A , B是V上的线性变换，且 AB =BA .证明：1）如果%是人的一个特征值，那么 V五是B的不变子空间；2） A , B至少有一个公共的特征向量.证明1）设a 3京,则A a =九0ct ,于是，由题设知A （B 叼=（AB 户=（BA 产=B （A 叼=B （九产）= %Ba ,因此B a VM1 .根据不变子空间的定义即知，V%是B的不变子空间.002）由1）可知V.是B的不变子空间，若记 B |V- =B0,则B0是复数域上线性空间 V）的一个线性变 0 0换，它必有特征值 也及非零向量P WV;0,使得B B = B0 B = N0B ,即P是B的特征向量，从而 P是A和B的公共特征向量.因此， A , B存在公共的特征向量.