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1、学案：微专题球的考法与学法（一） 学习目的：研究球的半径和确定球心的位置问题，分析球与多面体的接、切、截中的长度、角度.解决与球相关的问题，培养良好的空间想象能力，往往用选择题或填空题的方式培养落实直观想象，逻辑推理和数学运算等核心素养学习重点：模式识别，快速求解学习难点：球心位置的确定.学习方法：汇报式，讨论式.学习场景:背景：宜宾市第XX中学校第26届教科汇展节公开课；时间：2021年10月27日下午2：30-3：10；地点：学校多媒体教室510. 一、课前复习1.圆锥的定义；2.球的定义.二、新课引入引例：直角三角形的两直角边的长分别，现以长为的边所在为轴旋转所得圆锥的体积为 ，该圆锥外
2、接球的体积比上内切球的体积的比为 .三、新学内容1.1球与长方体如正方体、长方体等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.正方体,设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心.常见组合方式有三类：球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则； 与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系
3、，进而将空间问题转化为平面问题.例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A B C D解：1.2球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法。设正三棱柱的高为，底面边长为，和分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高的中点，借助直角三角形的勾股定理，可求.例2 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值为 .解：2.球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的
4、棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系. 设正四面体的棱长为，内切球半径为，外接球的半径为，取的中点为，为在底面的射影，连接为正四面体的高。在截面三角形,作一个与边和相切，圆心在高上的圆，即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为.此时， 则有解得：这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极
5、大的方便.例3 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 .解: 2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.三棱锥的外接球的球心和正方体的外接球的球心重合，设，则.如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，（为长方体的体对角线长）.例4在正三棱锥中，分别是棱的中点，且
6、,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 .解：2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类：球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例5在三棱锥PABC中，PAPB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A B. C. 4 D.解：2.4 球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几
7、何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行求解. 四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.三棱锥,满足面，取的中点为，由直角三角形的性质可得：,所以点为三棱锥的外接球的球心,则. 例6矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是( )A. B. C. D.解：2.5两个共底等腰三角形折叠与球例7三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .解：四、课堂小结1.“切”的解法：2.“接”的解法：3 定义定球心：4补形定球心：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；同一
8、个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体；若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体5.两个全等三角形或等腰三角形拼接第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：6.球内切于棱锥问题，等体积转换；球内切于圆锥问题，用对称性找圆心.五、巩固训练1.三棱锥中，侧棱平面，底面是边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球体积等于 . 2.正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长
9、为，则该三棱锥的外接球体积等于 .3.三棱锥中，平面平面，边长为的正三角形，则该外接球的半径为 .4.三棱锥的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为_.5.三棱柱侧棱垂直底面，且三棱柱 的体积为3，则三棱柱的外接球表面积为_.（16）6.在四面体ABCD中，则四面体ABCD的外接球表面积为_.7.四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长都等于，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_.8.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时四面体外接球表面积为_.9.在平行四边形中，若将沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为_. 六、练后反思1.例题未解之处：2. 训练落实情况：3. 专题心得体会：4. 举一反三素材：5.后续考试遗憾：学案：微专题球的考法与学法（一）9