直线与圆知识点总结及例题.docx

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1、直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直线1, 如果把x轴绕着交点按 逆时针方向转 到和直线1重合时所转的最小正角 记为，那么 就 叫做直线的倾斜角。当直线1与X轴重合或平行时，规定倾斜角为0; （2）倾斜角的范围0,。如（1）直线xcosM3y 2 0的倾斜角的范围是（答：0,U5,）；66倾斜角的取值范围是 0 & P2（x2,y2）两点，则直线方程为y y1X X1 ,它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角为00或900的y2 y1X2 X1直线，两点式应变为（y y1 ）（x2 X1） （x X1）（ y2 y1）的形式.（4）截

2、距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为- 21 ,它不包括垂直于坐标轴的直线 a b和过原点的直线。（5） 一般式：任何直线均可写成 Ax By C 0（A,B不同日寸为0）的形式。如（1）经过点（2, 1）且方向向量为V =（ 1,於）的直线的点斜式方程是 （答：y 1向x 2) )； (2)直线(m 2)x(2m 1)y (3m 4) 0,不管 m怎样变化恒过点 （答：（1, 2）; （3）若曲线y a|x|与y x a（a 0）有两个公共点，则a的取值范围是 （答：a 1）提醒：（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢）；（2

3、）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点A（1,4）,且纵横截距的绝对值相等的直线共有 一条（答：3）4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b,常设其方程为y kx b； （2）知直线横截距x0,常设其方程为x my x0（它不适用于斜率为 0的直线）；（3）知直线 过点（x0,y0）,当斜率k存在时，常设其方程为 y k（x x） y,当斜率k不存在时， 则其方程为x x0；（4）与直线l:Ax By C 0平行的直线可表示为 Ax

4、By C1 0； （5）与直线l : Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bx Ay C1 0.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：1|AXo By。C（1）点 P（x0,y0）到直线 Ax By C 0 的距离 d 0：;,A2 B2一一八C1 C2（2）两平行线 |1： Ax By C1 0,l2 : Ax By C2 0 间的距离为 d L .A2 B26、直线|1：AxB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的位置关系：（1）平行AB2 A2B1 0 （斜率）且B1C2 B2cl 0 （在y轴上截距）；（

5、2）相交A1B2 A2B10;（3）重合A1B2 A2B10且 B1c2B2cl0。A B1 C1A1B1A1B1C1提醒：（1） 、,仅是两直线平行、相交、重 A2 B2 C2A2B2A2B2C2合的充分不必要条件！为什么（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线11 : A1x By C10 与直线 l2：A2XB2yC20 垂直 NABB20。如（1）设直线 l1:x my 60 和 l2：（m 2）x3y2m0,当m=时 l1/l2；当m =时1112；当m 时I1与12相交；当 m =时I1与I2

6、重合（答：11; ; m 3且m1; 3）； （2）已知直线l的万程为3x 4y 12 0,则与l平行，2且过点（一1,3）的直线方程是 （答：3x 4y 9 0）; （3）两条直线ax y 4 0 与x y 2 0相交于第一象限，则实数 a的取值范围是 （答：1 a 2）； （4）设 a,b,c分别是 ABC中/ A、/ B、/ C所对边的边长，则直线 sin Agx ay c 0与 bx sin Bgy sinC 0的位置关系是 (答：垂直)；(5)已知点P(xi,y1)是直线 l:f(x,y) 0 上一点，P2(x2,y2)是直线 l 外一点，则方程 f (x, y) f(x1，yi)

7、f(X2,y2) =0所表示的直线与l的关系是 (答：平行)；(6)直线l过点(1, 0),且被两平行 直线3x y 6 0和3x y 3 0所截得的线段长为9,则直线l的方程是(答： 4x 3y 4 0和 x 1)7、特殊情况下的两直线平行与垂直：当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90 ,互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90 ,另一条直线的倾斜角为0 ,两直线互相垂直.8、对称(中心对称和轴对称) 问题一一代入法：如(1)已知点M(a,b)与点N关于x轴 对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x y

8、0对称，则点Q的坐标为 (答：(b, a)； (3)点A (4, 5)关于直线 l的对称点为B ( 2,7),则l的方 程是 (答：y=3x + 3)； (4)已知一束光线通过点A (3,5),经直线l :3x4y+4=0反射。如果反射光线通过点B (2,15),则反射光线所在直线的方程是 (答：18x + y 51 0); (5)已知A ABC顶点A(3, - 1 ), AB边上的中线所在直线的 方程为6x+10y-59=0, /B的平分线所在的方程为 x-4y+10=0,求B C边所在的直线方程(答：2x 9y 65 0); (6)直线2xy4=0上有一点P ,它与两定点A (4, 1)、

9、B (3,4)的距离之差最大，则P的坐标是 (答：(5,6); (7)已知A x轴， B l : y x, C (2, 1), VABC周长的最小值为 (答： 而)。提醒：在解几中 遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9. (1)直线过定点。如直线(3m+4 x+(5-2m)y+7m-6=0,不论mB 何值恒过定点(-1,2)(2)直线系方程(1)与已知直线 Ax+By+C=0平行的直线的设法：Ax+By+m=0 (m w C)(2 ) 与已知直线 Ax+By+C=0垂直的直线的设法：Bx-Ay+m=0(3)经过直线 :：Ax+B1y+G=0, l2 : Ax+B2y+C2=0交点的直

10、线设法：A1x+ B1y+ C1 + 入(A2 x+ B2 y+ C2) =0 (入为参数，不包括 12)(3)关于对称(1)点关于点对称(中点坐标公式)(2)线关于点对称(转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行)(3)点关于线对称(点和对称点的连线被线垂直平分，中点在对称轴上、kk =-1二个方程)(4)线关于线对称(求交点，转化为点关于线对称)10、圆的方程：圆的标准方程：xa 2 yb 2r2。圆的一般方程：x2y2 DxEyF0(D2+ E2-4F0),特别提醒：只有当2222DED + E 4F 0时，万程x y Dx Ey F 0才表不圆心为（一，一），半径为22；%D2 E2

11、 4F 的圆（二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么 （A C 0,且B 0且D2 E2 4AF 0）;圆的参数方程：x a rcos （为参数），其中圆心为（a,b）,半径为r o圆的y b rsin参数方程的主要应用是三角换元：x2 y2 r2 x r cos , y r sin ; x2 y2 tx r cos , y rsin （0 r 拈。Ax1,y1, Bx2,y2为直径端点的圆方程xx1xx2yy1yy20如（1）圆C与圆（x 1）2 y2 1关于直线y x对称，则圆 C的方程为（答：x2 （y 1）2 1）； （2）圆心在直线2x y 3

12、上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 （答：（x 3）2 （y 3）2 9或（x 1）2 （y 1）2 1）; （3）已知P（ 1,J3）是圆y rsos （为参数，02 ）上的点，则圆的普通方程为 ,2P点对应的 值为，过P点的圆的切线方程是 （答：x2 y2=4;；3x J3y 4 0）; （4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么 l的斜率的取值范围是 （答：0, 2）; （5）方程x2+y2-x+y+k=0表示一个圆，则实数 k的取值范围为 （2）；（6）M （x,y）| y 3sos （为参数，0），N （x,y）|y x b ,若M N ，则b的取

13、值范围是 （答：一3,3匹）一一,、一 .一22211、点与圆的位置关系：已知点 M x0,y0及圆C： x-a y br2 r 0 ,(1)点 M在圆 C外CM| rx0 a 2y0 b 2 r2； (2)点 M在圆 C内CM rx0a 2y0b 2r2；(3)点 M在圆C上CM rx0a 2y0 b 2 r2。如点P(5a+1,12a)在圆(x - 1 ) 2 + y2=1的内部，则a的取值范围是 |a|12、直线与圆的位置关系：直线l : AxBy C 0和圆C：x a 2 y b 2 r2r 0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方

14、程组的解的情况）：0 相交； 0 相离； 0 相切;（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为 d ,则d r 相交；d r 相离；d r 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（1）圆2x2 2y21与直线xsin y 1 0（ R, k ,222.k z）的位置关系为（答：相离）；（2）若直线ax by 3 0与圆x y 4x 1 0切于点P( 1,2),则ab的值 (答：2)； (3)直线x 2y 0被曲线 x2 y2 6x 2y 15 0所截得的弦长等于 (答：4斯)；(4) 一束光线从点A( 1,1)出发经x轴反射到圆 C:(x-2)

15、 2+(y-3) 2=1上的最短路程是 (答：4); (5)已知 M (a, b)(ab 0)是圆O : x2 y2 r2内一点，现有以 M为中点的弦所在直线 m和直线 21: ax by r ,则A. m/l ,且l与圆相交B . l m,且l与圆相交C. m/l ,且l与圆相离 D . l m,且l与圆相离(答：C)； (6)已知圆C： x2 (y 1)2 5, 直线L： mx y 1 m 0。求证：对 m R ,直线L与圆C总有两个不同的交点； 设L与圆C交于A、B两点，若AB J17,求L的倾斜角；求直线 L中，截圆所得的 弦最长及最短时的直线方程 .(答：60或120最长：y 1,最

16、短：x 1)13、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断)：已知两圆的圆心分别为。1,。2,半径分别为1/2,则(1)当IO1O212时，两圆外离；(2)当|。1。212时，两圆外切；(3)当12|。1。212时，两圆相交； (4)当|。1。212 |时，两圆内切；(5)当0|。1。212 |时，两圆内含。如双曲线b2A A2为直径的两圆位置关系为(答：内切)1的左焦点为F1,顶点为A、隧,P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PR、14、圆的切线与弦长： 切线：过圆x2 y2 R2上一点P(x0,y。)圆的切线方程 是：x/ yy。 R2 ,过圆222.(x a)2 (y b)

17、2R2上一点P(x0,y) 圆的切线方程是2(x a)(x0 a) (y a)(y0 a) R , 一般地，如何求圆的切线万程(抓住圆心到直线的距离等于半径)；从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求；过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；切线长：过圆x2 y2 Dx Ey F 0 (x a)2 (y b)2 R2 ) 外一点P(x0,y0)所引圆的切线的长为 标y2Dx0Ey0F( J(x0a)2(yb)2R2 )；如设 A 为圆

18、(x1)2y21 上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为 (答：(x 1)2 y2 2);1(2)弦长问题：圆的弦长的计算：(垂径定理)常用弦心距 d ,半弦长a及圆的21 O半径所构成的直角二角形来解： d (-a)；过两圆C1 : f(x, y) 0、2C2：g(x,y) 0交点的圆(公共弦)系为f(x,y) g(x,y) 0,当 1时，方程 f (x, y) g(x, y) 0为两圆公共弦所在直线方程.。15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!16.圆的切线和圆系方

19、程1 .过圆上一点的切线方程：圆 x2 y2 2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程 为Xox+ yoy= r 2 (课本命题).圆x2 y2 r2,圆外一点为(Xo,y0),则过此点的两条切线与圆相切，切点弦方程为 xx yy r2。2 .圆系方程：设圆 C1 ： x2 y2 D1x E1y F1 0和圆C2 ： x2 y2 D2x E2y F2 0.若两圆相交，则过交点的圆系方程为 2222x y Dix Ei y F1+入(x y D?x E2y F2) =0(入为参数，圆系中不包括圆C2,入=-1为两圆的公共弦所在直线方程 ).设圆C： x2 y2 Dx Ey F 0与直线l

20、 ： Ax+By+C=Q若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2 y2 Dx Ey F +入(Ax+By+C)=0(入为参数).， ，一一 1 ，一例题 1经过点R2 , n)和Q235)的直线的斜率等于2,则m的值是(B )A. 4B. 3 C .1 或 3D . 1 或 4变：求经过点A( 2,sin ), B( cos ,1)的直线l的斜率k的取值范围2 .已知直线l过P(1, 2),且与以A(-2, 3)、B(3, 0)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围.1点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案：一8, - 2 U5, +00)3 .已知坐标平面内三点A(-

21、1, 1), B(1 , 1), C(2, g + 1),若D为 ABC的边AB上一CD斜率k的变化范围.1答案：一00, - 2 U 5 , +OO )1 .求 a 为何值时，直线 l1： (a + 2)x+(1 a)y1 = 0 与直线 l2： (a1)x + (2 a+3)y+ 2=0互相垂直答案：a=-12 .求过点P(1 , 1),且与直线l2： 2x+3y+1 = 0垂直的直线方程.答案：3x-2y-5=0.例2.求过定点P(2, 3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例3.已知 ABC勺顶点A(1 , 1),线段BC的中点为口3 , 3).2(1)求BC边上的中线所在直线的方程

22、；(2)若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9,求BC所在直线的方程.例4.方程(m2 2m-3)x+ (2 m2 + m- 1)y= 2m-6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m的值.(1)方程能够表示一条直线；(答案：m 1)(2)方程表示一条斜率为1的直线.(答案：m 2)例 5.直线 l 的方程为(a2)y=(3a1)x1(aCR).(1)求证：直线l必过定点；(答案：(1, 3)5 5(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求 l的方程；(答案：5x + 5y 4=0)(3)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围.(答案：分斜率存在与不存在)例1:求点 A(-2,3)到直线 l

23、:3x+4y+3=0的距离d= 例2：已知点(a,2)到直线l: x-y+1=0的距离为2,则a= 。 (a 0)例3:求直线y=2x+3关于直线l : y=x+1对称的直线方程。类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.变式1：求过两点 A(1,4)、B(3,2)且被直线y 0平分的圆的标准方程.变式2：求过两点 A(1,4)、B(3,2)且圆上所有的点均关于直线y 0对称的圆的标准方程.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 22例4已知圆O： x y 4 ,求过点P 2,4与圆O相切的切线.解：点P2,4不在

24、圆O上，切线PT的直线方程可设为 y k x 24根据 d r I 2k 41 2.解得 k 3 所以y 3x 2 4 即 3x 4y 10 0 4， 4 ，因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为x 2 .类型三：弦长、弧问题例7、求直线l:3x y 6 0被圆C:x2 y2 2x 4y 0截得的弦AB的长.例8、直线城3x y 2M3 0截圆x2 y2 4得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距 d 3 ,故弦长AB 2Jr2 d2 2,从而 OA觉等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为AOB例9、求两圆x2 y2 x y 2 0和x2 y2 5

25、的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例10、已知直线V3x y 2V3 0和圆x2 y2 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系.类型五：圆与圆的位置关系 例13、判断圆C1：x2 y2 2x 6y 26 0与圆_22C2 :x y4x2y4 0的位置关系，2222例14：圆xy2x0和圆x y 4y0的公切线共有 条。类型六：圆中的最值问题 22例15：圆x y 4x 4y 10 0上的点到直线x y 14 0的最大距离与最小距离的差是例16 (1)已知圆O1 ：(x 3)2 (y 4)2 1, P(x, y)为圆。上的动点，求d x2 y2的 最大、最小值.(2)已知圆O2：(x 2)2 y2 1 , P(x, y)为圆上任一点.求 L2的最大、最小值，求x 12,- 2.x 2y的最大、最小值.例17：已知A( 2,0) , B(2,0)，点P在圆(x 3) (y 4)4，、一 一 一,22上运动，则PA PB的最小值是.解：设 P(x, y),则 PA2 PB2 (x 2)2 y2 (x 2)2 y2 2(x2 y2) 8 2OP2 8.、一一 、一 一一.、一，22o设圆心为 C(3,4),则 OPmin oc r 5 2 3, PA PB 的最小值为 2 32 8 26.