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1、等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX学院XX学院 山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误关键词：等价无穷小；替换；极限1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极
2、限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解2 等价无穷小的定义及性质定义1如果函数当(或)时的极限为零，那么称函数为当(或)时的无穷小定义2设与都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且，如果，就说与是等价无穷小，记作常用的等价无穷小：当时，关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1与是等价无穷小的充分必要条件为性质2设，且存在，则性质3 ，3 等价无穷小在求函数极限中的应用3.1 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化例1求极限解当时，因此例2 求极限解 注意时，用到
3、了性质3利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充性质4设，且，若，则；若，则证明若，因为，所以，又由定理2，所以，即同理，若，即定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换推论设，且，为常数，则当存在时，有例3求极限解当时
4、，所以例4求极限解当时，所以例5求极限解因为当时，且，所以注当与等价，则未必有以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可3.2 含变上限积分函数的等价无穷小替换性质5 设，为时的无穷小量，且与在上连续，则有证明因为，所以利用定理4，在求解有关积分上限函数的极限时可简化很多步骤注当时，常用的变上限积分的等价无穷小有，例6求极限解由于当时，性质6若，与在上连续，则证明例7 求极限解因为，所以当时，所以3.3幂指函数的等价无穷小替换对于型函数求极限，当满足一定条件时，可以根据以下定理求解性质7在自变量同一变化过程中，均为无穷小量，若，且，则证明例8 求极限解当时，所以
5、例9 求极限解，当时，所以在求解型的幂指函数的极限时，运用这个定理可减少计算量，起到简化的作用但并不是所有的型极限都要化为的形式来求极限3.4 利用泰勒公式构造等价无穷小来求极限在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的，这里补充一些新的等价无穷小，同时开辟一条新途径把不能用等价无穷小替换的加减运算问题，通过恒等变形的方法直接转化为能用等价无穷小替换，把利用等价无穷小求极限的方法大大推进一步事实上利用泰勒公式就可以构造出一系列新的等价无穷小例如求的等价无穷小，由于，从而有，于是得到同理，当时，用泰勒公式可得：，有了上述的等价无穷小，我们就可以通过恒等变形的方法，把不能用等价无穷小替换的加减运算问
6、题转化为能用等价无穷小替换，这种技巧的理论依据如下： 若，都存在且有限，则也存在且有限 若存在，但不存在，则也不存在例10 求极限 解 当时，所以例11求极限解当时，所以4 用等价无穷小求极限时应注意的问题4.1和其他方法结合运用在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的例12求极限解例13求极限解例14求极限解由于函数的分母中，因此只需将函数分子中的与分母中的和分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示，即：，所以4.2 等价无穷小求极限的误区在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的在利用等
7、价无穷小求极限时往往容易出错，究其原因，是弄不清楚替换的原理及对象，另外就是对等价无穷小的概念不清楚如例3，利用洛必达法则或性质4中求加减运算的方法求解：但若直接用等价无穷小替换来解：当时，故得到的结果是相同的，于是得出错误的结论：极限式中的加减项也可以无条件的用等价无穷小替换求解对于加减运算，每一项用等价无穷小替换后，一般来说，其分子（分母）已不再与原分子（分母）为等价无穷小量，因此这样得到的结果一般是不正确的对于求极限，由于，所以这也是错误的，因为等价无穷小替换，本身是针对无穷小而言的，而时，及根本不是无穷小，也就不能用该法则5小结极限计算是微积分理论中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是
8、极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的参考文献1同济大学数学系高等数学第六版M北京：高等教育出版社2007 2 刘玉莲，傅沛仁，林玎等数学分析讲义第四版M北京：高等教育出版社20033屈红萍，赵文燕等价无穷小代换求极限的方法推广J保山学院学报2011(2):54574雷开洪利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质J宜宾学院学报2011.11(6):112114 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）