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1、同步讲台(16)第十六讲圆的方程 知点考点答点(1)标准方程请看圆心和半径所谓标准方程，就是能显示图形特征的方程.从圆的标准方程(x-a) 2+ (y-b) 2= r2 (r0)中，我们能看见它的图形特征：圆心即定 点(a, b),半径即定长r. a, b确定了圆的位置，r确定了圆的大小.确定一个圆需要三个条件，1个圆心相当2个条件，而半径只相当1个条件.【例1】求过点A (5, 2)和点B (3, -2),圆心在直线 2x-y=3上的圆的方程【分析】点A和点B已知相当2个条件，圆心在已知直线上只相当1个条件.三个条件已知，圆的方程可定.【解析】 设圆心为(a, b),则有2ab 32222(
2、a 5) (b 2) (a 3) (b 2)a解得b即圆心为(2, 1)由距离公式得半径22r 2=(2 5)2 (1 2)210因此所求圆的方程为(x 2)2 (y 1)2 10.【点评】 具备三个独立条件方能确定圆的三个参数值，即确定圆的方程 .如果还有某 个条件未能确定，则得到的是“圆系”(圆的集合)方程.当题设中有条件很隐晦时，可先按“显形条件”求出圆系方程，再让圆系方程满足隐晦条件而把圆方程最后确定(2) 一般方程一一看圆的代数式特征如果把圆的标准方程称作圆方程的“几何式”，而圆的一般方程则可称作圆方程的“代数式”.圆的一般方程为x2 y2 Dx Ey F 0这是一个缺“混合二次项
3、图形是否为圆，还有限制条件xy 、且x2和y2两项系数相等且不为零的二元二次方程.它的将配方得整理得x2E 1 D2 E2 4F24(1 )当 D2 E2 4F0时，依知表示以1 ：2 一 2 一-0,即:4(m+3)2+4(1-4 m2)2-4(16 m4+9)0 解之得-m1.7(2)r= . 71674.774.77(3)设圆心为(xy),则消去 m 得：y=4(x-3)2-i1 - m1720, x4,7即轨迹为抛物线的一段:【点评】二元二次方程y=4(x-3)2-l( 20 x0.(3)直线与圆的位置关系一一由心线距确定判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法：利用圆心到直线的距离d
4、与半径r的大小判断d r相交，d r相切，d r相离 代数法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，利用判别式“A”进行判断:0相交， 0相切，0相离【例3】若圆x2 y2 4x 4y 100上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2 J2,求直线l的倾斜角的取值范围【解析1】 圆(x-2) 2+ (y-2) 2=18的圆心为A (2, 2),半径为r=3v；2当A到l的距离d= J2时，圆上恰有三个点到l的距离为2 J2 ；当d J2时，圆上有两点到l的距离为2 J2 .如右图，当 d=AC=j2 时，OA=2 22 , AOC=30COx=15 .在另一极端位置l时，其倾斜角
5、为 75。.22【解析2】圆x y4x 4y 10 0的圆心为2, 2),半径为3 J2 .圆上至少有三个不同的点到直线l: ax+by =0 的距离为 2 V2 ,，所求角的范围为15 , 75 圆心到直线的距离小于或等于. 2 .即 12a 2b | 亦即 a2 4ab b2 0, ,a2 b22亦即a4?a 1 0.故b b23a 23b23 a 23b23 tan23.1575故所求角的范围为15 , 75 .【点评】解析1采用几何法来处理直线与圆的位置关系问题，而解析2是通过代数的方法来处理.(4)圆与圆的位置关系 一一由心心距和半径长确定22 ,判断圆 C1：(x-a1)2+(y-
6、b1)2=。与圆 C2：(x-a2)2+ (y-b2)2=上的位置关系，王要是考查两圆的圆心距|C1C2|与两圆的半径和门+r2的关系：两圆 Ci、C2外离| CiC2| r + r2；两圆Ci、C2外切 两圆Ci、C2相交两圆Ci、C2内切 圆Ci内含于圆C2| CiC2|= ri + r2；|ri-r2| CiC2| ri + r2|;| CiC2|=| ri-r2|；0 | CiC2|0), Q(x, y).OQ为/AOP的平分线，PQ |OP|QA |OQ|.Q分PA的比为x03V。 313131)x0又因2x034yV。4x343y16y00, 16 28 y一. Q的轨迹方程为(x
7、 3)2 y2 (y 0). 416sin”)，/AOQ = ,则 OQ 直线方【法二】设/AOP=a, a C (0,兀)，则 P(COS”，程为 y=x - tan =kx 2y=coh(x-3)kPA= -sin一，直线pa方程为cos 32k由Q满足且k=tan .由得y= 11 k1 k-?(x3Gk(x 3)3)22k2 1y上(x 3)消去 k 0.3故所求Q点轨迹万程为x2+ y2- - x=0(y0).2【点评】上述两种方程为求轨迹的基本方法：相关点及参数法(2)待定系数法一一把方程(组)带进几何当已知动点的轨迹是所学过的曲线方程时，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足
8、的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程 .其基本思路是：先定性，再定型，最后定量.【例6】求经过两圆x2 + y2+6x 4=0和x2 + y2 + 6y28=0的交点，并且圆心在直线xy4=0上的圆的方程2 x 解方程组2x2y2y6x 4 0x1 x得 或6y 28 0y 3 y，两圆交点为(一1, 3), (6, - 2).设所求圆方程为：x2+ y2+ dx+ ey+ f =0(1)22(6)2一 2一一一32 d3ef0一 2一一-(2)26d2efd 1e 7f 32.所求圆方程为：x2+y2-x+7y- 32=0 .22-/xy6x40 x 1 x【法二】解万程组得或xy6
9、y28 0 y3 y，两圆交点为(一1, 3), (6, - 2).设所求圆方程为：(x- a)2+ (y-b)2=r2222(1 a)2(3 b)2r2222(6 a) ( 2 b) rab2 r1272178彳所求圆方程为:x2 + y2 x+ 7y 32=0.a b 4 0设所求圆方程为：x2 + y2+6x4+ 入(x2+y2+6y28)=0即：x2，圆心为又圆心在直线 x y4=0上，所求圆方程为： x2 + y2-x+ 7y32=0【点评】用待定系数法求圆方程的步骤是：（1）设置“待定系数” ；（2）用待定系数的代数式表示圆的各个参数；（3）根据已知条件列出含有待定系数的方程（组）
10、；（4）求出待定系数，进而写出圆的各个参数，最后得圆的方程.本例题采用三种解法，都用待定系数法，但最优的是解法三，最差的是解法二.因此,用待定系数法求曲线方程的关键是：设出恰当的曲线方程，计算出正确结果（3）几何法一一与向量或三角沟通直线被圆截得的弦长计算，运用弦心距（即圆心到直线的距离 卜弦半径及半径构成直角三角形计算，此公式是半彳至2=弦心距2+半弦长2.【例7】 在以。为原点的直角坐标系中，点A （4,3）为4OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|, 且点B的纵坐标大于零.（1）求向量AB的坐标；（2）求圆x2 6x y2 2y 0关于直线OB对称的圆的方程;设Ab（u,v）,则由、
11、吧个A1,即u24u|AB| |OA| 0V2 100C 八得3v 0,u 6 e u 6e、/ ，或 .因为 OB OA AB u 4,v 3, v 8 v 8所以 v 30,得 v=8,故 AB =6 , 8.(2)由 OB =10 , 5,得 B ( 10, 5),于是直线 OB 方程：y lx. 2由条件可知圆的标准方程为：(X 3)2+y(y+1)2=10,得圆心(3, 1),半径为J10 .设圆心(3, 1)关于直线 OB的对称点为(x,y)则x 3八y 1八2 -0122，得x )故所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.y 12y 3x 3(4)参数法与函数或不等式接轨
12、t的方当动点P (x,y)直接找不出坐标 x,y之间的关系时，可设动点P (x, y)满足关于参数x x(t)程(t是参数)y y(t)则由方程组消去参数 t,即求得动点P(x,y)的普通方程：f(x,y)=0.【例8】点P (x, v)在圆C： x2+y2-2x-2y+1=0上运动，点A (2, 2), B (2,-2)是平面上两点，求AP?BP的最值.【解析】.AP (x 2, y 2), BP x 2, y 2 ,222. . AP ? BP = x 2, y 2 ? x 2, y 2 x 2 y 2 y 2 x y 4x设 x2+y2+4x=k,即(x+2) 2+y2=4+k,视为以 K (-2, 0)为圆心， J4 k 为半径.(问题转化为求半径的取值范围)2. 2 x、y在圆x 1 y 11上运动，而点 K (-2, 0)在圆C外，又两圆心距为、(1 2)2 ( 1)2. 10当圆K与圆C内切时J4 k取最大值，最大值为 沃 +1，此时k=( 而 +1)2-4=7+2 VTc当圆K与圆C外切时J4 k取最小值,此时有 V4 k+1=j10 , k 7 2痂.即x2+y2+4x的最大值为7+260,最小值为7 210.