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1、湖南省郴州市九年级数学上学期期末试卷一、选择题（共 8小题，每小题3分,满分24分）k1 .已知反比例函数 y=- （kw0）的图象经过点 M（- 2, 2）,则k的值是（）A. - 4 B1 C 1D 42 .下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. x2- 2x- 1=0 B. x2-2x+1=0C. x2- 1=0 D, x2+2x+3=03 .在 RtABC中，/ C=90 , BC=3, AB=5,则 sinA 的值为（）3 434A.工B.C.jD.三JJ4 .某班为调查每个学生用于课外作业的平均时间，从该班学生中随机抽取了 10名学生进行调查，得到他们用于课外作业的时间（单位：
2、 min ）如下：75, 80, 85, 65, 95, 80, 85, 85, 80, 90.由此估计该班的学生用于课外作业的平均时间是（）A. 80B. 81C. 82D. 835 . ABCAA，BC是位似图形，且 ABC与MBC的位似比是1 : 2,已知 ABC的面积是2,则AA B C的面积是（）A. 4B. 6C. 8D. 126 .已知点 A （ 1, y。，B （1, y2）, C （2, y。是函数 y二一：图象上的三点，则 yb y2, y3的大小关系是（）A. y1 y20,，有不相等的实数根；B、. =b2- 4ac= (2) 2 4X1 x 1=0,，有相等的实数根；
3、C、 =b 4ac=0 _ 4 x 1 X ( 1) =4 0,，有不相等的实数根；Dk . =b2-4ac=22-4X1X3=- 80?方程有两个不相等的实数根； =0 ?方程有两个相等的实数根；0?方程没有实数根.3 .在 RtABC中，/ C=90 , BC=3, AB=5,则 sinA 的值为()3434A.二B.5C. nD.【考点】锐角三角函数的定义.【分析】直接根据三角函数的定义求解即可.【解答】 解：. RtABC 中，/ C=90 , BC=3, AB=5,DC 3sinA=怔=r故选A.【点评】 此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把
4、锐角A的对边a与斜边c的比叫做/A的正弦，记作sinA .即sinA=/A的对边：斜边 =a： c.4.某班为调查每个学生用于课外作业的平均时间，从该班学生中随机抽取了 10名学生进行调查，得到他们用于课外作业的时间（单位：min ）如下：75, 80, 85, 65, 95, 80, 85,85, 80, 90.由此估计该班的学生用于课外作业的平均时间是（）A. 80B. 81C. 82D. 83【考点】用样本估计总体；加权平均数.【分析】根据平均数的定义解答即可.【解答】 解：（75+80+85+65+95+80+85+85+80+90） + 10=82, 故选C【点评】 本题考查数据的分
5、析.解题的关键是理解平均数的意义.5. ABCAA，BC是位似图形，且 ABC 与MBC的位似比是1:2,已知 ABC的面积是2,则AA B C的面积是（）A. 4B. 6C. 8D. 12【考点】位似变换.【分析】 利用位似比得出三角形面积比，进而得出答案.【解答】 解：:ABC与2A B C是位似图形， 且4ABC与AA B C的位似比是 1: 2, Sa as金，c，二口,.ABC的面积是2,B C的面积是： 8.故选：C.【点评】 此题主要考查了位似变换，利用位似比得出面积比是解题关键.6.已知点 A ( 1, y。，B (1, y2), C (2, y 是函数ry=-：图象上的三点，
6、则yn y2, y3的大小关系是（）A. y1 y2 y3 B. y2V y3y1C. y3y2y1D.无法确定【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，求得y1、V2、y3的值，然后比较它们的大小.r【解答】解：二点A（ - 1,y。，B（1,y2）,C（2,y3）是函数y=-：图象上的三点，r 1ccd7w5y 产 _ =5, y2= =- 5, y3= - 2= 2.5 .1 5 - 2.5 0,符合上述条件的k的一个值可以是1.（正数即可，答案不唯一）【解答】 解：.反比例函数的图象在一、三象限，,.k 0,只要是大于0的所有实数都可以.例
7、如：1.故答案为：1 .【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1） k0时，图象是位于一、三象限；（2）k2或-4VXV0时，一次函数的值大于反比例函数的值.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的关键.20 .某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动.“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别(图书分为文学类、艺体类、 科普类、其他等四类)，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信 息解答下列问题：(1)求被调查的学生人数；(2)补全条形统计图；(3)已知该校有1200名
8、学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？合喜爱的客类图书的人数【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图.【专题】图表型.【分析】（1）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；（2）利用（1）中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；（3）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生 数.【解答】 解：（1）被调查的学生人数为：12+20%=60（人）；（2）喜欢艺体类的学生数为：60- 24- 12 - 16=8 （人），如图所示：0文学艺体 科普 其他 类瓢24（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200X -=480 （人
9、）.【点评】此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识,利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键.21 .用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米.（1）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？（2）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能， 请求出其边长；如果不能，请说明理由.【考点】一元二次方程的应用.【专题】几何图形问题.【分析】（1）设围成的矩形一边长为 x米，则矩形的邻边长为：32+2- x,根据矩形的面积的计算方法列出方程求解;（2）同（1）列出方程，利用根的判别式进行判断方程的根的情况即可.【解答】 解：（1）设围成的矩形一
10、边长为 x米，则矩形的邻边长为：32+2- x.依题意得 x2+16x=60,即（x 6） （x10） =0.解得 x 1=6, x2=10,即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；（2）不能围成面积为 70平方米的养鸡场.理由如下：由（1）知，x2+16x=70,即 x2- 16x+70=02因为= （ 16） -4X1X70=- 24V0,所以该方程无解.即：不能围成面积为 70平方米的养鸡场.【点评】本题考查了一元二次方程的应用.解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式.22 .如图，郴州北湖公园的小岛上有为了纪念唐代著名诗人韩愈而建的韩愈铜像，其底
11、部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东60。的方向上，然后沿岸边直行200米到达C处， 再次测得A在C的北偏东30的方向上（其中 A, B, f在同一平面上）.求这个铜像底部 A 到岸边BC的距离（结果精确到 0.1米，参考数据： 灰= 1.732）北3C岸【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【分析】过A作ADLBC于D,根据已知条件和方向角得出/ ABCW BAC 从而得出AC=BC=200AL在RtACD中，根据sin /ACD声，求出 AD即可.【解答】 解：过A作ADL BC于D,则AD的长度就是A到岸边BC的距离, 在岸边的B处测得A在B的北偏东60的方向上，/ABC=30
12、,.A在C的北偏东30的方向上，/ACD=60 ,/ BAC=30 , / ABCW BAC .AC=BC=2Q0AL .在 RtACD中，sin ZACD=, .sin60。=函,.AD=200sin60 =100 /=173.2 （米）； 答：这个铜像底部 A到岸边BC的距离是173.2米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.23.已知关于x的一元二次方程(a+c) x2-2bx+ (a-c) =0,其中a, b, c分别为 ABC 三边长.(1)若方程有两个相等的实数根.试判断 ABC的形状，并说明理由；(2)若4ABC是等边
13、三角形，试求这个一元二次方程的根.【考点】 根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理.【分析】(1)根据方程有两个相等的实数根得出 =0,即可彳#出a2=b2+c：根据勾股定理的逆定理判断即可；(2)根据等边进行得出 a=b=c,代入方程化简，即可求出方程的解.【解答】 解：(1) ABC是直角三角形，理由是：:关于 x的一元二次方程(a+c) x2- 2bx+ (a-c) =0有两个相等的实数根，. .=0,即(-2b) 2-4 (a+c) (a-c) =0,.a2=b2+c2,.ABC是直角三角形；(2) .ABC是等边三角形， a=b=c,，方程(a+c) x2 - 2bx+ (a
14、-c) =0 可整理为 2ax2-2ax=0,. x x=0,解得：xi=0, x2=1.【点评】此题考查了根的判别式，等边三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) 0?方程有两个不相等的实数根；(2) A=0?方程有两个相等的实数根；(3) 0?方程没有实数根； 等边三角形的三边相等等.24.如图，反比例函数 y=与一次函数y=k2x+b图象的交点为 A ( n 1), B(- 2, n), OA x1与x轴正方向的夹角为 a ,且tana = q.(1)求反比例函数及一次函数的表达式；(2)设直线AB与x轴交于点C,且A
15、C与x轴正方向的夹角为 3 ,求tan 3的值.【分析】(1)过点A作AEx轴于点E,根据tan ”=七可得出m的值，进而得出反比例函数g的解析式，根据 B(-2, n)在反比例函数yL的图象上得出B点坐标，再把 A、B两点的 坐标代入直线y=k2x+b即可得出其解析式；(2)先求出C点坐标，再由A点坐标可得出 AE的长，根据锐角三角函数的定义即可得出结 论.【解答】 解：(1)过点A作AElx轴于点E,111 . tan ZAOE=tana= %,，OE=4AE. A (成 1),.AE=1, .OE=4 A (4, 1).% 点A在反比仞函数y=的图象上，Kk 1=4,4 反比例函数的解析
16、式为y3.N B (- 2, n)在反比例函数y=%的图象上，1. n=2,B (- 2, - 2).将A、B两点的坐标代入直线 y=k双+b得，好 M-Sk2+b=- 2 ,解得;_ ；,1，直线AB的解析式为y=p-1.(2) :直线AB的解析式为y=x- 1,令y=0,贝U x=2,.C (2, 0). A (4, 1),，CE=2 AE=1,根据题意作出辅助线， 构造出直【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题， 角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键.25.如图，矩形 ABCD, AB=1Q BC=5,点P为AB边上一动点(不与点 A, B重合)，DP交 AC
17、于点Q.(1)求证： AP6 ACDQ(2)当PDLAC时，求线段PA的长度；(3)当点P在线段AC的垂直平分线上时，求 sin /CPB的值.JC【考点】 相似形综合题.【分析】(1)根据矩形的性质和相似三角形的判定定理证明即可；(2)根据垂直的定义、相似三角形的性质列出比例式，计算即可；(3)连接PC,根据线段垂直平分线的性质得到PC=PA设PA=x,根据勾股定理列出关于 x的方程，解方程即可.【解答】(1)证明：二四边形 ABCD矩形， .DC/ AR / QAPW QCD / QPAW QDC. .AP6 ACDQ(2)解：PDLAG / QDC + QCD=90 ,又/ QDC +
18、QDA=90 ,/ QCD = QDA 又/ DAPW CDA=90 , .DAP ACDAAF AE AF_5,AL板，即 5=10解得，ap=3 ；(3)解：连接PC,点P在线段AC的垂直平分线上，pc=pa设 PA=x,贝U PC=x, PB=10 x,由勾股定理得，PC2=PB+BC2,即 x2= (10-x) 2+25,2月解得，x=：-,2EPC=PA=.：,. .sin /CPB贡=三.【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及锐角三角函数的定义，掌握相关的定理、性质、定义是解题的关键.(3)当t为何值时，4APQ与4ABC相似.26.如图，
19、在 RHABC中，AB=10cmg sinA=喉.如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动.已知点P的速度为2cm/s,点Q的速度为1cm/s.连 接PQ设运动的时间为t (单位：s) (0WtW5)(1)求AG BC的长;(2)当t为何值时， APQ的面积为 ABC面积的V QC【考点】i目似形综合题.【分析】(1)根据正弦的定义和勾股定理求出AG BC的长；(2)作PH AC于E,根据相似三角形的性质用 t表示出PE,根据三角形的面积公式和题意 列出方程，解方程即可；(3)分AP4ABC和APa AACB两种情况，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可.
20、【解答】 解：(1) . RgABC 中，AB=10cm sinA=W,BC=6cm则 AC=! =8cm, . AC=8cnri BC=6cm(2)作 PH AC 于 E,由题意得，BP=2tcm, AQ=tcm, 贝U AP= (10- 2t) cm, PE/ BC.幽忸 HA0 - 2t| PEAf=Bq，即 一 io 飞, d解得，PE=6- t , .APQ 的面积=Xt X (6-t), ABC 面积而 X 6X8=24,61由题意得，弓XtX (6-亨)京X24,解得，tl=1, t2=4,1则当t为1s或4s时，4APQ的面积为 ABC面积的1T;AF AG 10-2t t当小吟MBC时，而舒即4C解得，t= ,|AF AC 10-2-t tl当.APa4ACB时，最=蔗，即一=一十，2E解得，t= .v,【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、法，灵活运用相关的定理、定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用.锐角三角函数的定义、元二次方程的解