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1、实用标准文档空间几何体的表面积与体积公式大全全（表）面积（含侧面积）文案大全1、 柱体棱柱，圆柱JS全=2 s底.S侧2、锥体棱锥:圆锥:1S棱锥侧=万c底h_1S圆锥侧=万0底13、台体$ = $底 S棱台:圆台:S棱台侧=2 （c上底+ c下底）h_ iS棱台侧=3（c上底+0下底）14、 球体球：S球=4旺2球冠：略球缺：略二、体积1、 柱体棱柱圆柱2、锥体棱锥圆锥V 柱二Sh1V 柱=3Sh球：V球=球冠：略3、 台体-11楼台I v台=h（s上+ ds上s下十s6 苫3圆台V V圆台=鼻冗八（r上+/r上r下+下） 34、 球体球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h计算
2、；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l计算 三、拓展提高1、 祖HI原理：（祖旭祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。2、 阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2r的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的-o3分析：圆柱体积： V圆柱=Sh =（二r2） 2r =2二r3圆柱侧面积：S圆柱侧=ch =（2二r） 2r =4二r2因此：球体体积：v球=| 2二3 二 4二J球体表面积：s球二4二J
3、即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、 台体体积公式公式：V台=1h（S上SS下S下） 3证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD延长两侧棱相交于一点p。设台体上底面积为S ,下底面积为S下 身为h 。易知：APDC s APAB ,设 PE = % ,则 PF 二 hi h由相似三角形的性质得：CD =匹AB PF即： 也二（相似比等于面积比的算术平方根）S下 hi h整理得：h1 S hS下S上又因为台体的体积=大锥体体积一小锥体体积.1 -(V 台=3S 下(h1 h、11.、 1）3S上h1 =3h1（S下 S上）3S下h代入：h
4、二 $上？ 了得：v台S 一 S上3 s下- S一 11(S -S)3S下h3即：V台=3；S1h（S下S上）3S下h=3h（S上S上S下S下）333.1V台=3h （S上S上S下S下）34、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（n层），n越大，每一层越近似于则:n圆柱，nTy时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为 每个圆柱的体积vi = s h =二，工半球的体积等于这些圆柱的体积之和2222020门二r 一（r） =r 1一（一）nn2222121二-（一r） =r 1-（_）nn2222222c =r -（一r） =（一） nn2 _ 2 n_ 1 rn =r -
5、(一2(吟半球体积为：V半球、r 7222= Vn = ; - (r1 r2 .)22201n-1r n 1-(0)(-)()二 3rnr n -n2220 1 2 .2n一二 3 r=nr n_1(n -1)n(2n -1)63 (1 - -=二 r 1 n当nT 十妙时,2n)(2-)- 0 n3,V半球=r 12(n-1)3=二 r 1 -11(1)(2)球体积为：丫球=n n643一 r3 r(n -1)(2n -1)26n5、球体表面积公式推导3 =二 r (1 -、23）二3 二 r3分析：球体可以切割成若干（n个）近似棱锥，当nT +,时，这些棱锥的高为球体半径，底面积为球面面积
6、的工，则每一个棱锥的体积 n则所有的小棱锥体积之和为球体体积。即有:6、 正六面体（正方体）与正四面体1 1V1 二 ns球r（1）体积关系如图：正方体切下四个三棱锥后,剩下的部分为正四面体 设正方体棱长为a , 则其体积为：V正方体=a3 四个角上切下的每一个三棱锥体积为:11/12、13V三棱锥=S h =3 (2a ) a =6a中间剩下的正四面体的体积为：V正三棱锥=3Sh =2；也2)晨加6阴2、2a 1 1 3_ 3) _ 3a这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体1313346a3aa(2)外接球正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。(理由：过不共面的四点确定一
7、个球。)正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所以它们共球。回顾： 两点定线 三点定面 三点定圆 四点定球如图：(a)正方体的体对角线=球直径(b)正四面体的外接球半径=3高4正四面体的棱长=正方体卞长父2(d)正方体体积：正四面体体积=3: 1(e)正方体外接球半径与正四面体外接球半径相等(3)正方体的内切球与正四面体的关系正方体内切球直径=正方体棱长(b)正方体内切球与正四面体的四条棱相切。(d)与正四面体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半设正四面体棱长为a ,则与其棱都相切的球半径为r11 a 2有. r1=22=7a7、利用祖H恒原理推导球体体积。文案大全构造一个几何体，使其截面
8、与半球截面处处相等，根据祖咂原理可得两物 体体积相等。证明：作如下构造：在底面半径和高都是r的圆柱内挖去一个与圆柱等底等高的圆锥。如图:在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究，设圆柱和半球底面半 径均为R ,截面高度均为h ,倒圆锥的截面半径为r锥1,半球截面半径为则：挖去圆锥后的组合体的截面为：& =二R2 -二1半球截面面积为：S2 =二r2求1倒圆锥的底面半径与高相等,由相似三角形易得：锥八在半球内，由勾股定理易得:22SLR hS2二二 R 一二=r2 - h2h即：S1=S2,也就是说：半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度上有相 同的截面。由祖咂原理可得：Vi=V2所以半球体积
9、：V半球122二 Sh - - Sh = Sh = .即，球体体积：丫球=32 2 R334= ji3223R R =3二 R正方体的棱长A a3V正方体=a8、正方体与球=球体的直径d3434V球=3 r =3二(33正方体的体对角线3a =球体的直径dV球：V正方体=3 : 2(2)正方体的外接球V球343 4 d 、333r =?(2) =Ta实用标准文档(3)规律：正方体的内切球与外接球的球心为同一点；正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上；正四面体的内切球与外接球的的半径之比为：1 ： 73正四面体内切球与外接球体积之比为：1: 3察正四面体内切球与外接球表面积之比为：1: 3正方
10、体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为：6:2: 1正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：3扃：6 :n正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为：3兀：6:冗9、 正四面体与球(1)正四面体的内切球A 解题关键：利用体积关系思考内切球的球心到各个面的距离相等，球心与各顶点的连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥， 每个三棱锥的底面为原正四面体的底面，高为内 切球的半径r。利用体积关系得：4MHa2sin60*Mr ) =1X(1a2sin60r3) h所以：r =1h ,其中h为正四面体的高。2由相关计算得：h -a?一：(；a、3) =(6a_16J小Fa43 4 6 、V球二3二3(
11、五 a),6216V正四面体1126. 23sin 60 个a 二a3 2a3 a 12 a, V正四机体：V球=18 : * 3(2)正四面体的外接球外接球的半径号高T2* 3，色。a 一（ a） 4 a3 2.683二 a_ 4V球=V 正四面体二1 1 a2sin 60 -7a 3 2312._6 二 3 V球:V正四面体=工-a8=3-, 3 二:2(3)规律:正四面体的内切球与外接球的球心为同一点;正四面体的内切球与外接球的球心在高线上;正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高；正四面体的内切球与外接球的半径之比等于 1: 3正四面体内切球与外接球体积之比为：1: 27正四面体内切
12、球与外接球表面积之比为：1: 9正四面体外接球半径、正四面体棱长、内切球半径比为：36：12 ： 66正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：2773n :18: V3n正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为：9兀：672:立10、 圆柱与球(1)圆柱容球(阿基米德圆柱容球模型)圆柱高=底面直径=球的直径(2)球容圆柱球体体积=2圆柱体积3球面面积=圆柱侧面积球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直角三角形。设球体半径为R ,圆柱高为h ,则有：(2R)2 = h2 (2r)222 即：R=m”底面半径为文案大全四、方法总结F面举例说明立体几何的学习方法例：已知正四面体的棱长为力，求它的内
13、切球和外接球的半径a思路：先分析球心的位置。因为正四面体是特殊的四面体，显然内切球与外接球的球心是重合的。且是正四面体的高线交点。再分析球心与一些特球心垂直于每球心到每个顶殊的点、线、面的位置、数量关系。在内切球这种情况下, 一个面，且到每一个面的距离相等；在外接球这种情况下, 点的距离相等。方法1:展平分析：（最重要的方法） 如图：取立体图形中的关键平面图形进行分析!连接D/延长交平面ABC于点G,连接连接DO1并延长交BC于点E，则A G在平面AED中，由相似知识可得:EOi _ EG JO1D - GA 一 2.GO1/AD 且GO1.1AD 3.GQOszDOAg =1AO 33 八-
14、3 ,36、,6AO = Aa = a41 44 34c1A11,66O1O=_AO1=_ h =_ a=-a O14 O14h 431243. 63V外接球二孩DO 丁 a3843.63V内切球=3 OOi = 216 a32 16方法2:体积分析：（最灵活的方法） 如图：设正四面体 ABCD勺内切球球心为AO BO CO DO则正四面体被分成四个完全一样的三棱锥。设内切球半径为r,正四面体的棱长为a则正面四体的高为:. V内切球3=一 ji r3 I冗G216 aV外接球_ 43 _ 4 6 x 6=3 (h-r) =-( a a)33312方法3:方程分析：（最常见的做法）如图：显然AO
15、 DO是外接球半径，0。1是内切球半径。在RtzDCO1中，由勾股写得可得以下方程:DO =OOJ DO2其中：DOi =23ABCDDO DOi =AOi代入方程解得:DO6OO1 = - aO1123. 63DO 丁 a4_ _ 3. 6 _3V内切球=3。指a32 16方法4:补形分析（最巧妙的思考）把正四面体补成正方体进行分析。如图:此时，正四面体与正方体有共同的外接球。正四面体的棱长为a,则正方体棱长为a、2正方体的外接球直径为具体对角线.正四面体的外接球半径为:内切球半径为：DL9击43V外接球=R =3_ 4 _V内切球=3r Fa方法5:坐标分析（最意外的解法）建立如图所示的空
16、间直角坐标系:则 A (0, 0,),B (0,4az ,)3ax, y ,C（2a，n ），d（一2a，2,。），设球心位置为。（由 |OA HOB |=| OC |=| OD |= R得:OA =OB =OC =OD62a)二 x (y212、6a) z =(x-a) (yya) z=(x 1a) (y-236a)z2解得：x = y=0,12. 6. 6. 6a a =a3124.43. 63V外接球=- R = v a 38436 _3V内切球y r =而a 32 16主要方法：一、 统一思想1、 公式的统一对于每个几何形体的面积与体积公式，我们很想找出一个万能 公式全部适用于所有形体
17、，但是这只是一个理想状况，实际上不可 能，最多只可能适用于一部分而已。即使是这样，也只减小我们对 公式的记忆难度，增强学习的灵活性。(1)梯形的面积公式：S=1(a+b)h,同样适用于三角形、平行四2 2边形、长方形、正方形、扇形的面积计算。只是在使用时作微调而已。在分析三角形时，上底变为0；分析长方形、正方形、平行四边形时，上下底变成一样；在分析扇形时，上底变为0, 下底变成弧长，高为半径。(2)台体的侧面积公式：S侧=1(c +c)h ,同样适用于圆柱、棱柱、 圆锥、棱锥、球的侧面积计算。只是在使用时作微调而已。在分析圆柱、棱柱时，上下底周长变成一样；在分析棱锥时，上 底周长变为0；在分析
18、圆锥时，上底周长变为 0,斜高变成母实用标准文档线；在分析球体的面积时，上下底都取最大圆的周长，高取直径，即：S球=g（2二r , 2二r）2r =4二2 台体的体积公式：v =3（s上+、S上S下+S下）h，同样适用于圆 柱、棱柱、圆锥、棱锥、球的体积计算。只是在使用时作微调 而已。在分析圆柱、棱柱时，上下底面积变成一样；在分析棱 锥时，上底面积变为0;在分析圆锥时，上底面积变为 0;在 分析球体的体积时，上底面积取0,下底取最大圆面积的2倍, 身取直径，即：s球=：（2二）2r =二3 32、 字母的统一在进行分析时，一般要把字母统一，这样便于进行比较！3、 关系的统一i注意相似的关系：面
19、积比等于相似比的平方，体积比等于相似 比的立方。球体、正方体、正多面体相似！二、转换思想1、平面与立体的转换这是立体几何的一种重要思想，即把立体的问题交给平面来解 决。但是要在特殊的面中进行，有时还要把面与面的关系交给 线与线来分析。如二面角的大小研究，通常会作垂直于两面的 交线的直线来分析。异面直线的有关系也要平移到同一面中研 究。在立体与平面的转换中平移是一种很实用的手段。通过平 移不在同一平面内的可转换为同一平面内， 不垂直的可转换为 垂直来分析！2、位置的转换文案大全实用标准文档3、 形体的转换三、特殊思想1、 特殊点(1)中点：特殊的线的中点是解题的钥匙！特别要关注！(2)顶点：几何体的顶点也是重要的点，其连线在分析时很有 作用。(3)垂足：高与面交点是比较特殊的点，解题时也要注意！2、 特殊线(1)高线(2)中线(3)角平分线3、 特殊面(1)平行的面(2)垂直的面(3)二面角特殊的面4、 特殊关系(1)相似关系(2)比值关系四、标准化思想1、 三视图的规则2、 斜二测画法的规则3、 空间直角坐标规则文案大全