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1、普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。辐射热平衡状态：处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。实脸发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对 温度T有关而与黑体的形状和材料无关。实验得到:能量密度能量密度0510.九(104 cm)1. Wien公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：pydv = exp(-Cv/T)Jv八Wien公式在短波部分与实脸还相 符合，
2、长波部分则明显不一致。X (104 cm)2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式 pydv = TkTv2dvRayleigh-Jeans公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且XE =既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是0E = oT,该式叫做 Stefan-Bolzmann 公式，o 叫做 Stelan-Bolzmann 常数。3. Planck黑体辐射定律1900年1 2月1 4日Planck提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射 的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Plan
3、ck假定：(1)原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v振荡；(2)黑体只能以E = hv为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所 要求的那样可以连续的发射和吸收辐”1VC exp(hv/kT)-能量密度(104 cm)射能量。该式称为Planck辐射定律h为普朗克常数/i=6.626 x IO-34/ s 4,普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为=a = 1,2表示两个互相垂直的偏振方向，C：为常系数每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在(匕y+)内的自由度数为式吸”, 则(0, V)X围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为
4、GR) =gR/i，。借助几何方法求出GR)= 受/，取微分得gG”如=V2dv 3cc令豆代表体积为v的空窖内热平衡辐射的总内能，M匕丁卜代表单位体积，频率间隔在(v,v + 6/v) 内的能量于 是= j u(T)clv =j g(vlv“001QM弋表频率为曲振子的平均能量，gQ”三77g()=/代表单位体积内频率 V c间隔在R w +小，)内的振动自由度数。应用经典统计的能量均分定理得到平均能量为工=AT与振子的频率无关，代入 Q(匕71八，=工8廿)小/可以得到“匕7M1/ = 一女丁/”!/,这就是瑞利-金斯公式，在低 c频区和实验符合，高频区严重偏离。普朗克热辐射理论采用的也是
5、波的观点，g(y)dv = -g(y) = v2dv依旧认为他正确， V c但是能量均分定理不适用，原因在于麦克斯韦波尔滋藁分布不对，问题出在振子能量取 连续值上。Planck假定：黑体只能以E = hv为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量， 而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量，对于频率为v的振子，其 能量只能取一个曷小能量单元的整数倍即 - sn(y)=nhv ,他认为振子的平均分布仍遵 从麦克斯韦坡尔兹曼分布，即%-网的代表频率为v对的振子处于能级% 的平均数，于是振子的平均能量为 =即 s(y) =其中ZR)=阳M代表频率为v的振子的配分函数，可以得到H-0如1Z5
6、=z*-=r4。 -1 - e次“)=一 3mZ(v) = -= 小一由此可以知道振子的平均能量与其频率有关，能P e T 77 1ek/ -1量均分定理不成立。把上式代入u(Tylv = sg(y)dv得到：liTylv =二 卜、”，这就是普朗克辐射公式。 c e 1此 时 辐 射 场 的 内 能 为L?/ 2 航7 hvydv . J 一eL航/打7 /8乃、4E= /(vT/v = I 71rz.令x = 6/27WE =下皆7 = 6/7，其中L。*L .一、1 J” L5,对Planck辐射定律的讨论:.8/7 v3P、dv = -r-V./、exp(/zr)1 / v(1)当 V 很大(短波)时，因为 exp(hv /kT)-l exp(hv /kT), 于是 Planck 定律化为Wien公式。F 变为 4 = b-vPdv =IWe公式 pvdv = CjV3 exp(-C2v/r)6/v 2)当 v 很小(长波)时,因为 exp(hv/kT)-l x l+(hv/kT)-l=(hv/kT),则 Planck 定律变为Rayleigli-Jeans公式。既1Vv _0一8 必二Rayleigh Jeans 公式d v(exp(为 “/打vL图7.5.1热辐射谱密度的三种理论