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1、1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）1 .（本题满分8分）填表：函数使函数有意义的x的实数范围1y x x202yJ( x)2R3y 101gx(0,+ )4y 1g10xR解：见上表.2 .（本题满分7分）求（-1+i） 20展开式中第15项的数值；解：第 15 项 Ti5=c20（ 1）6（i）14C2038760.3 .（本题满分7分）方程曲线名称图形1.4x2+y2=4椭圆oax2.x-3=0直线/o-x-解：见上图.4 .（本题满分10分）已知x y 1,x2 y2 1,求x2 y2的值.解：（x y）21,即 x2 2xy y21,44小 ,13,.2.37信 2xy
2、 1 , （xy） 1 ,44447227x y -, x y （x y）（x y） -. 24（注：三角换元法解亦可.）5 .（本题满分10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）.已知篱笆的总长为定值L,这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少?解：设长方形场地的宽为 x,则长为L-3x ,它的面积y x(L 3x)3(x S23x2 LxL2.12这块长方形场地的面积最大，这时的长为L 3x LL 一 , 一一 ， L22,最大面积为12答：略.6 .（本题满分12分） 已知正方体 ABCD-A1C1D的棱长为a ,1 .用平面ABG截去一
3、角后，求剩余部分的体积2 .求AB和BC所成的角.Ci解:1. /BBCiDiDiAi，平面AiBiCD,.C ABC是棱锥BB-AiBiC 的底,i cBB是棱铤的图， AiBiCi的面积=1a2,2截下部分体积=iBBi AB1cl的面积3a a2,正方体体积326剩余部分体积=a3 L3 5a3. 663 .连结DC和DB, AiDi/BC.四边形AiBCD是平行四边形，.AiB /DC,BCD即AB与BC所成的角,;正方体各面上对角线的长度相等，即 D B=BC=DC,.DCB是等边三角形./ DCB=600,AB与BiC成600的角.七.（本题满分i2分）已知定点A, B且AB=2a
4、,如果动点P到点A的距离和到点B的距离 之比为2 ： i,求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解：选取AB所在直线为横轴，从A到B为正方向，以AB中点O为原点，过O作AB的垂线为纵轴，则A为（-a, 0）,B为（a, 0）,设 P为（x,y） ,22PA2 (xa)y , 2.PB1 (xa)2y22222(xa)2y2 q(xa)2y2,3x2 10ax 3y2 3a2 0.因为x2,y2两项的系数相等，且缺xy项，所以轨迹的图形是圆.8 .(本题满分16分)原式 tg9 tg27 ctg27 ctg9 (tg9 ctg9) (tg27 ctg27)22 c sin54 sin182 -
5、sin18 sin 54 sin18 sin54sin544 4sin54c 2 cos36 sin182 sin18 sin54求 tg9 ctg117 tg243 ctg351 的值.解:9 .（本题满分18分）如图，已知AO8 , OA=b OB=a, / AOB与(a Ab, 0 是锐角).作 ABOEBBA/ BA;再作 A1BXOBB2A2/BA;如此无限连续作下去,设ABB, ABB,的面积为穷数列S, G,的和.C 1S1 AB12BB1OAB 0Al B1 OA2 B2 1bsin (a bsin2BAnBnAn 1Bn 1OBnOBn 1OAn 1 COSOBn 1OAbcos一 cosOBaSi , S2,求无解：AB= bsin , BB=a bcos（对一切 n1 成立，此时视AR 为 AB .ABB ABBs/XARB3sSn 1( An BnSnAn iBn 1即公比Q (bcosa数歹 1 S1,S2,S3,2 b 2)(-cos ),a)2.是锐角，a b, 0是无穷递缩等比数列，lim (S1 S2 S3 nSn)Si! q-bsin (a 2(bcos )2abcos )b 、21 (cos )a1,a2bsin2(a bcos )