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1、高中数学圆锥曲线知识点总结高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线: 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系:若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y )=0;点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)?0。 两条曲线的交点:若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点
2、P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f1(x0,y0)?0f2(x0,y0)?0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的 交点;方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆: 1、定义:点集,M,OM,=r,，其中定点O为圆心，定长r为半径. 2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2 (2)一般方程:?当D2+E2-4F,0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(?(x+ DE ,?)半径是22 D2?E2?4F 2 。配方，将方程x2+y2+
3、Dx+Ey+F=0化为 22D2E )+(y+)2=D?E-4F 224 ?当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(- DE ,-); 22 ?当D2+E2-4F,0时，方程不表示任何图形. (3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则,MC,r?点M在圆C内，,MC,=r?点M在圆C上，,MC,r?点M在圆C内，其中,MC,=(x0-a)2?(y0-b)2。 (4)直线和圆的位置关系:?直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与 - 1 - 圆相交?有两个公共点;直线与圆相切?有一个公共点;直线与圆相离?没有公共点。 ?直线和圆的位置关系的判定
4、:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d? Aa?Bb?CA?B 2 2 与半径r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义: 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e,0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0,e,1时，轨迹为椭圆;当e=1时，轨迹为抛物线;当e,1时，轨迹为双曲线。 - 2 - 【备注1】双曲线: - 3 - ?等轴双曲线:双曲线x2?y2?a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y?x，离心率e?2. ?共
5、轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲 x2y2x2y2 线的共轭双曲线.2?2?与2?2?互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: abab x2a 2 ? y2b 2 ?0. ?共渐近线的双曲线系方程: x2a 2 ? y2b 2 ?(?0)的渐近线方程为 x2a 2 ? y2b 2 ?0如果双曲线的 x2y2xy 渐近线为?0时，它的双曲线方程可设为2?2?(?0). abab 【备注2】抛物线: (1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右;抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，
6、开口向左;抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- ，开口向上; 抛物线x2=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-)，准线方程y=，开口向下. (2)抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?x0?;抛物线 y2=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF? p ?x0 2 p2 p2 p2 p2 p2p2 p2 p2p2 p2 (3)设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p. (4)已知过抛物线y2=2px(p>0
7、)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=x1?x2+p或AB? p2p 倾斜角)，y1y2?p，x1x2?,AF?x1?(AF叫做焦半径). 42 2 p 2 2p (为直线AB的sin2? 五、坐标的变换: - 4 - (1)坐标变换:在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. (2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。 (3)坐
8、标轴的平移公式: M，xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x Oy中的坐标是(x',y'.O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 x?x'?hy?y'?k 或 x'?x?hy'?y?k 叫做平移(或移轴)公式. (4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表: - 5 - 六、椭圆的常用结论: 1. 点P处的切线PT平分?PF1F2在点P处的外角. 2. PT平分?PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1为直
9、径的圆必与以长轴为直径的圆内切. xxyyx2y2 5. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1. abab x2y2 6. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦 ab P1P2的直线方程是 x0xy0y ?2?1. a2b x2y2 7. 椭圆2?2?1 (a,b,0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点 ab ?F1PF2?，则椭圆的焦点角形的面积为S?F1PF2?b2tan x2y2 8. 椭圆2?2?1(a,b,0)的焦半径公式 ab ? 2 . |MF1|?a?ex0,|MF
10、2|?a?ex0(F1(?c,0) ,F2(c,0)M(x0,y0). 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF?NF. 10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF?NF. x2y2b2 11.AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB?2， aba 即KAB b2x0 ?2。 ay0 x2y2 12.若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中
11、点弦的方程是 abx0xy0yx02y02 ?2?2?2; 2abab - 6 - 【推论】: x2y2x2y2x0xy0y1、若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2。 abababx2y2 椭圆2?2?1(a,b,o)的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆 abx2y2 于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1. ab x2y2 2、过椭圆2?2?1 (a,0, b,0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交 ab 椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC b2x0 ?2(常数). a
12、y0 x2y2 3、若P为椭圆2?2?1(a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ab ?PF1F2?, ?PF2F1?，则 a?c? ?tancot. a?c22 x2y2 4、设椭圆2?2?1(a,b,0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任 ab 意一点，在?PF1F2中，记?F1PF2?, ?PF1F2?,?F1F2P?，则有 sin?c ?e. sin?sin?a x2y2 5、若椭圆2?2?1(a,b,0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0,e ab ?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. x
13、2y2 6、P为椭圆2?2?1(a,b,0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则 ab 2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立. (x?x0)2(y?y0)2 ?1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是7、椭圆a2b2 A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2. x2y2 8、已知椭圆2?2?1(a,b,0)，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ. ab4a2b2111122?;(2)|OP|+|OQ|的最大值为22;(3)S?OPQ的最小值(1) a?b|OP|2|OQ|2a2b2a2b2 是22
14、. a?b - 7 - x2y29、过椭圆2?2?1(a,b,0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MNab 的垂直平分线交x轴于P，则|PF|e?. |MN|2 x2y210、已知椭圆2?2?1( a,b,0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分ab a2?b2a2?b2 ?x0?线与x轴相交于点P(x0,0), 则?. aa x2y211、设P点是椭圆2?2?1( a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点ab ?2b2记?F1PF2?，则(1)|PF1|PF2|?.(2) S?PF1F2?b2tan. 21?cos? x2y2 ?PAB?, 12、设A、B
15、是椭圆2?2?1( a,b,0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，ab 2ab2|cos?|?PBA?,?BPA?，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|?222.(2) a?ccos? tan?tan?1?e.(3) S?PAB22a2b2?2cot?. 2b?a x2y213、已知椭圆2?2?1( a,b,0)的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的ab 直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作
16、椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. - 8 - 七、双曲线的常用结论: 1、点P处的切线PT平分?PF1F2在点P处的内角. 2、PT平分?PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3、以焦点弦PQ为直径的圆必
17、与对应准线相交. 4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切: P在左支) x2y25、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a,0,b,0)上，则过P0的双曲线的切线方程是ab x0xy0y?2?1. a2b x2y26、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a,0,b,0)外 ，则过Po作双曲线的两条切线切ab 点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xy0y?2?1. a2b x2y27、双曲线2?2?1(a,0,b,o)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意ab 一点?F1PF2?，则双曲线的焦点角形的面积为S?FPF?b2co
18、t. 12?2 x2y28、双曲线2?2?1(a,0,b,o)的焦半径公式:(F1(?c,0) , F2(c,0)当M(x0,y0)在ab 右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a;当M(x0,y0)在左支上时， |MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a。 9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF?NF. 10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶 点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF?NF. x2y211
19、、AB是双曲线2?2?1(a,0,b,0)的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中ab 点，则KOM?KAB b2x0b2x0?2，即KAB?2。 ay0ay0- 9 - x2y212、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a,0,b,0)内，则被Po所平分的中点弦的方程ab x0xy0yx02y02是2?2?2?2. abab x2y213、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a,0,b,0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是ab x2y2x0xy0y?2?2?2. 2abab 【推论】: x2y21、双曲线2?2?1(a,0,b,0)的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)
20、，与y轴平行的直线ab x2y2交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1. ab x2y22、过双曲线2?2?1(a,0,b,o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线ab 交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0?2(常数). ay0 x2y23、若P为双曲线2?2?1(a,0,b,0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2ab 是焦点, ?PF1F2?, ?PF2F1?，则c?a?c?a?tancot(或?tancot). c?a22c?a22 x2y24、设双曲线2?2?1(a,0,b,0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端
21、点)为双曲ab 线上任意一点，在?PF1F2中，记?F1PF2?, ?PF1F2?,?F1F2P?，则有 sin?c?e. ?(sin?sin?)a x2y25、若双曲线2?2?1(a,0,b,0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当ab 1,e 1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. x2y26、P为双曲线2?2?1(a,0,b,0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定ab 点，则|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号 - 10 - 成立. x2y27、双曲线2?2?1(
22、a,0,b,0)与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是ab A2a2?B2b2?C2. x2y28、已知双曲线2?2?1(b,a ,0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且ab OP?OQ. 4a2b2111122(1);(3)S?OPQ的最小值?;(2)|OP|+|OQ|的最小值为2b?a2|OP|2|OQ|2a2b2 a2b2是22. b?a x2y29、过双曲线2?2?1(a,0,b,0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两ab 点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF|e?. |MN|2 x2y210、已知双曲线2?2?1(a,0,b,0),A、B是双曲线上的两点，
23、线段AB的垂直平ab a2?b2a2?b2分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0?或x0?. aa a,0,b,0)上异于实轴端点的任一 x2y211、设P点是双曲线2?2?1(点,F1、F2为其焦ab ?2b2点记?F1PF2?，则(1)|PF1|PF2|?.(2) S?PF1F2?b2cot. 21?cos? x2y212、设A、B是双曲线2?2?1(a,0,b,0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，ab ?PAB?, ?PBA?,?BPA?，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有2ab2|cos?|(1)|PA|?222. |a?ccos?| (2) tan?tan?1?e.(3)
24、S?PAB22a2b2?2cot?. 2b?a x2y213、已知双曲线2?2?1(a,0,b,0)的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦ab 点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经 - 11 - 过线段EF 的中点. 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内
25、、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论: 4ac?b2b ?). ?ay?by?c?x顶点( 4a2a 2 ?y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF? 2 y? P 2 . ?通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. 2、探索并掌握20以内退位减法、100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简
26、单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。?x?2pt2 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。?y?2px(或x?2py)的参数方程为? 3.确定二次函数的表达式：（待定系数法）?y?2pt （1）一般式：2 1、熟练计算20以内的退位减法。2 (或? 抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。?x?2pt 2 4、根据学生的知识缺漏，有目的、有计划地进行补缺补漏。?y?2pt 互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)(t为参数). - 12 - - 13 - - 14 - 圆锥曲线的性质对比 1、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一
27、年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。- 15 - 一年级有学生 人，通过师生一学期的共同努力，绝大部分部分上课能够专心听讲，积极思考并回答老师提出的问题，下课能够按要求完成作业，具有一定基础的学习习惯，但是也有一部分学生的学习习惯较差，学生上课纪律松懈，精力不集中，思想经常开小差，喜欢随意讲话，作业不能及时完成，经常拖拉作业，以致学习成绩较差，还需要在新学期里多和家长取得联系，共同做好这部分学生行为习惯的培养工作。- 16 -