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1、高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结12圆锥曲线 形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_(答:b。 如 (1)短轴长为， 于双曲线S,51.圆锥曲线的两定义: 22) ,tan第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，22xy2ab,0,0(2)双曲线(以()为,12a与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常12222aby2F,F练习:点P是双曲线上上一点，为x,12a数一定要大于，当常数等于时，轨迹FFFF12xayR,xa,例):?范围:或;?焦点:两个121212(,0),cxy,0,0焦点;?对称性:两条对称轴，一是线段FF，当常数小于时，无轨迹;双曲线FF1PFPF,PFF
2、双曲线的两个焦点，且=24，求的周1221212(,0),a个对称中心(0,0)，两个顶点，其中实轴长为中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数长。 12ba，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等28、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)2a2a，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝12时，称为等轴双曲线，其方程可设为以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦2a2a,|FF|不可忽视。若,|FF|，则对值”与21122a点弦， M为准线与x轴的交点，则?AMF,?BMF;(3)22xykk,0;?准线:两条准线; ?x,2a轨迹是以F，F为端点的两条射线，若，
3、|FF|，1122设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，c11则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双c若P为AB的中点，则PA?PB;(4)若AO的延长线11e,1,离心率:，双曲线，等轴双曲线e,曲线的一支。 a交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行2222如方程表示的(6)(6)8xyxy,，,，,于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。 e,2,ee，越小，开口越小，越大，开口越大;曲线是_(答:双曲线的左支) b ?两条渐近线:。 yx,ykxb,，9、弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两a2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在2xx,
4、点A、B，且分别为A、B的横坐标，则,ABypxp,2(0)12(3)抛物线(以为例):?范围:原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): 222pxyyy,，若分别为A、B的纵坐标，则1，,kxx12xyR,0,p;?焦点:一个焦点，其中的几12(,0)x(1)椭圆:焦点在轴上时，,1222ab122何意义是:焦点到准线的距离;?对称性:一条对称轴,，若弦AB所在直线方程设为1，y,yAByx122yab,0k()，焦点在轴上时,1，y,0，没有对称中心，只有一个顶点(0,0);?准线:22ab2pcxkyb,，则,。特别地，焦1，,kyyAB2212AxByC，,ab,0()。方程表示椭圆
5、的充要条一条准线x,; ?离心率:，抛物线e,2a点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算，一般不用件是什么,(ABC?0，且A，B，C同号，A?B)。 e,1,。 弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和22x,y,Rx，y 若，且3x，2y,6，则的最大2后，利用第二定义求解。 y,4axa,0,a,R如设，则抛物线的焦点坐标为22x，y值是_，的最小值是_(答:) 5,2 1_(答:); (0,)2210、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦xy16ax(2)双曲线:焦点在轴上: =1，焦,达定理”或“点差法”求解。 2222abxy22Pxy(,)ab,05、点和椭圆()的
6、，,12200xy22yxabPxy(,)在椭圆中，以为中点的弦所在，,100ab,0,0y点在轴上:,1()。方程,222222ababxy002Pxy(,),关系:(1)点在椭圆外;(2)，,12200bx220AxByC，,表示双曲线的充要条件是什么,(ABCab直线的斜率k=,; 222ay?0，且A，B异号)。 0xy00Pxy(,),，点在椭圆上,1;(3)点00弦所在直线的方程: 垂直平分线的22O如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴FF12ab方程: 22P(4,10)e,2上，离心率的双曲线C过点，则Cxy0022Pxy(,),在椭圆内 ，,1xy002222Pxy(,)在双曲
7、线中，以为中点的弦所在xy,6,1的方程为_(答:) ab0022ab2 ypxp,2(0)(3)抛物线:开口向右时，开2bx6(直线与圆锥曲线的位置关系: 202ypxp,2(0)直线的斜率k=;在抛物线中，ypxp,2(0)口向左时，开口向上时2,0,0(1)相交:直线与椭圆相交; ay022xpyp,2(0)xpyp,2(0)，开口向下时。 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有pPxy(,)以为中点的弦所在直线的斜率k=。 ,0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲 00y0,0线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后,0提
8、醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要,0再判断): 的充分条件，但不是必要条件;直线与抛物条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检22,0线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线yx(1)椭圆:由,分母的大小决定，焦点在,0验 与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一分母大的坐标轴上。 ,0个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条22xy11(了解下列结论 件，但不是必要条件。 表示焦点在y轴如已知方程，,122yym,12,mxx,0,0,(2)相切:直线与椭圆相切;直(1)双曲线的渐近线方程为; ,1,022abab,03,线与双曲线相切;直线与抛物线相切; 上的椭圆
9、，则m的取值范围是_(答:) (,1):(1,)b,0,0,(3)相离:直线与椭圆相离;直(2)以为渐近线(即与双曲线2y,xa22,0,线与双曲线相离;直线与抛物线相离。 yx(2)双曲线:由,项系数的正负决定，焦2222yyxx 共渐近线)的双曲线方程为,1,(,点在系数为正的坐标轴上; 2222提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点abab(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上，一次项,为参数，?0)。 时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双的符号决定开口方向。 (3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交222abc,，
10、a提醒:在椭圆中，最大，在双曲22点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,mxny，,1线方程可设为; 222cab,，22c线中，最大，。 xy(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称,也只有一个交点;(2)过双曲线,1外一点 222ab2b4.圆锥曲线的几何性质: 轴的弦)为，焦准距(焦点到相应准线的距离)Pxy(,)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如2200axy2ab,0(1)椭圆(以()为例):，,1下:?P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内22bab2pp为，抛物线的通径为，焦准距为; 时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相c,axabyb,?范围:;
11、?焦点:两个焦点切的两条切线，共四条;?P点在两条渐近线之间且包(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的(,0),cxy,0,0;?对称性:两条对称轴，一个对含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只弦; (,0),(0,),ab称中心(0,0)，四个顶点，其中长轴长与双曲线一支相切的两条切线，共四条;?P在两条渐2ypxp,2(0)(6)若抛物线的焦点弦为AB，2近线上但非原点，只有两条:一条是与另一渐近线平行aba为2，短轴长为2;?准线:两条准线; AxyBxy(,),(,)|ABxxp,，x,，则?;的直线，一条是切线;?P为原点时不存在这样的直线;112212c2(3)过抛
12、物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有p2c? xxyyp,一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 1212,01,ee?离心率:，椭圆，越小，椭圆e,4a7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点2ypxp,2(0)(7)若OA、OB是过抛物线顶点e越圆;越大，椭圆越扁。 ,222所构成的三角形)问题: ，当Sbcy,tan|(2,0)pO的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点 0xy102m如(1)若椭圆的离心率，则，,1e, 55mP|yb,S即为短轴端点时，的最大值为bc;对max012.圆锥曲线中线段的最值问题: 25的值是_(答:3或); 232例1、(1)抛物线C:y
13、=4x上一点P到点A(3,4)(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角故k的取值范围为点为(2，2)，则直线l的方程为_. 与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为22xy13311313_ FF,的焦点为，点P在椭圆上，9、椭圆 ，,1(1,)(,)(,)(,1),1292153223152 (2)抛物线C: y=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等. (三角形的内切圆作法尺规作图)2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在|PF,
14、|4PF,，FPF，则 ;的大小若1212F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 直线y = -3上，M点满足A为 . 分析:(1)A在抛物线外，如图，连PF，则Q HMB/OA， MAAB = MBBA，MBP，因而易发现，当A、P、F三点共线时，PH,PF2Fypxp,2(0)10、过抛物线的焦点F作倾斜角为点的轨迹为曲线C。 3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。距离和最小。 (?)求C的方程;(?)P45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，(2)B在抛物线内，如图，作
15、QR?l交于R，则为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距p,则_d=r 直线L和O相切.当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解:(1)(2，离的最小值。 Pxy(,)【解析】设切点，则切线的斜率为.yx|2,00xx,0012)(2)() ,14MA(?)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=y20yx,，1由题意有又解得: ,2x0002xx021、已知椭圆C的方程为，双曲线C的左、，y,112MBAB(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意43、认真做好培优补差工作。 开展一帮一活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习
16、情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心。bb22右焦点分别为C的左、右顶点，而C的左、右顶点分12xe,？,，,1,2,1()5MBABMA得知(+) =0,即(-x,-4-2y) (x,-2)=0. 0aa 别是C的左、右焦点。 112所以曲线C的方程式为y=x-2. (?)设P(x,y) (1) 求双曲线C的方程; 20022xyb4双曲线的一条渐近线为,由方程组,1y,x2211y,kx，2 (2) 若直线l:与椭圆C及双曲线C122aabl为曲线C:y=x-2上一点，因为y=x,所以的42恒有两个不同的交点，且l与C的两个交点A和B满2b,1yx,bl斜率为x因此直线的方程
17、为,20,消去y,得有唯一解,所以?xx,，,10a,2OA,OB,6足(其中O为原点)，求k的取值范围。 a2,yx,，112,22xxyyx,，,220，即。 yyxxx,()xy00000解:(?)设双曲线C的方程为，则2,1222bab2=,所以()40,2|2|yx,1200a22222l则O点到的距离d,.又，yx,2 a,4,1,3,再由a，b,c得b,1.0024x，4220cabb，b2,e,，,1()5,22xaaaa21 2故C的方程为(II)将,y1.2x，40314y,x2由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，?双曲线方程2dx,，,(4)2,所以 0222xx，442
18、2002x,y,2是，于是两焦点坐标分别是(,2，0)和(2，0)，x222y,kx，2代入，y,1得(1，4k)x，82kx，4,0.24xl当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2. 0P(3,1)且或 22由直线l与椭圆C恒有两个不同的交点得 1xyP(3,1).不妨去3设双曲线(a,0,b,0)的渐近线与抛物,122ab2222,(82)k,16(1，4k),16(4k,1),0,18、从作业上严格要求学生，不但书写工整，且准确率高。对每天的作业老师要及时批改，并让学生养成改错的好习惯。2 P(3,1)，则线y=x+1相切，则该双曲线的离心率等于( ) 12即 ? k,.422xy，
19、PF,(,2,3,1)1Fab,0x4、过椭圆()的左焦点作轴，,12122xab222将y,kx，2代入,y,1得(1,3k)x,62kx,9,0. PF,(2,3,1)32上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。PF，,FPF60的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，212.由直线l与双曲线C恒有两个不同的交点A，B得2?,PFPF122则椭圆的离心率为 ,130,k1,22即且kk,1.,222(,2,3,1)(2,3,1),(2，3)(2,3)，1,03,，,(62)36(13)36(1)0.kkk22, ,2xy5、已知双曲线的左、右焦点分别,1(b,0)2 22bCyx:8,l
20、x:2,【解析】设抛物线的准线为直线 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则629k,设则AxyBxyxxxx(,),(,),，,AABBABABFFy,x22是、，其一条渐近线方程为，点P(3,y)1201313,kkAB、恒过定点P .如图过,2,0ykxk,，,20，由得而OAOBxxyy,，,66,ABABMNAMl,BNl,分 别作于,于, 由在双曲线上.则?,( )0 PFPF12xxyyxxkxkx，,，(2)(2)ABABABAB|2|FAFB,|2|AMBN,则,点B为AP的中点. 2Cyx:8,6、已知直线与抛物线ykxk,，,201 ，OB连结,则, |OBAF,22,
21、，(1)2()2kxxkxxFCAB、相交于两点，为的焦点，若ABAB当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。B1B？,|OBBF 点的横坐标为, 故点的坐标为 ,962k2|2|FAFB,k,，则( ) ,，,，,，(1)22kk221313,kk9、向40分钟要质量，提高课堂效率。2 22022,37k，, 故选D (1,22)？,k,.21(2)3,lxy:4360,，,lx:1,31k,7、已知直线和直线，抛12222371513kk，,2yx,4,11Pllyx,4物线上一动点到直线和直线的距离之解此不等式得于是即,6,0.12AxyBxyxx,则有，,，22,11221223131kk,yx,4,22和的最小值是( ) 13122yy,42212 ? kk,或.两式相减得，yyxx,？,41 ，1212 153xxyy,，121211138、设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，22由?、?、?得 ,k,或,k,1.？直线l的方程为y-2=x-2,即y=x0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中4315