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1、高中数学学习必备的初中知识技能(第5讲 二次函数的最值问题).doc第五讲 二次函数的最值问题 2yaxbxca,，, (0)二次函数是初中函数的主要内容也是高中学习的重要基础(在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时xa,02bb4acb,函数在处取得最小值无最大值,当时函数在处取得x,x,a,04a2a2a24acb,最大值无最小值( 4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时函数的最值问x题(同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用( 2yxx,23【例1】当时，求函数的最大值和最小值( ,22x分析:作出函数在所给范围的及其对称
2、轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值( xy,4y,5解:作出函数的图象(当时，当时，( x,1x,2minmax2yxx,，1【例2】当时，求函数的最大值和最小值( 12,xy,1y,5解:作出函数的图象(当时，当时，( x,1x,2minmax由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一x段(那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值( 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异(下面给出一x些常见情况: yxx,(2) 【例3】当时，求函数的取值范围( x,
3、02yxxxx,(2)2解:作出函数在内的图象( x,0y,1可以看出:当时，无最大值( x,1min第 1 页 共 4 页 所以，当时，函数的取值范围是( y,1x,0152【例4】当时，求函数的最小值(其中为常数)( tyxx,txt,，122分析:由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位tx置( 152解:函数的对称轴为(画出其草图( yxx,x,122152(1) 当对称轴在所给范围左侧(即时: 当时，; xt,ytt,t,1min22(2) 当对称轴在所给范围之间(即时: ttt,，,1101152 当时，; y,，,113x,1min22(3) 当对称轴在
4、所给范围右侧(即时: tt，,11015122 当时，( yttt,，,，,(1)(1)3xt,，1min2221,2tt,3,0,2,综上所述: yt,3,01,152,ttt,122,在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题: 【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数mxx,1623,3054( mxy(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式; x(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适,最大销售利润为多少, (30)x,解:(1) 由已知得每件商品的
5、销售利润为元， ymx,(30) 那么m件的销售利润为，又( mx,16232？,，, (30)(1623)32524860,3054yxxxxx (2) 由(1)知对称轴为，位于x的范围内，另抛物线开口向下 x,422 ？当时， y,，,x,42max？当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元( 第 2 页 共 4 页 A 组 2yxmxm,，,(4)23y1(抛物线，当= _ 时，图象的顶点在轴上;当= _ mm时，图象的顶点在轴上;当= _ 时，图象过原点( xm2(用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ ( l3(求下列二次函
6、数的最值: 2yxx,，245 (1) ; (2) ( yxx,，(1)(2)2yxx,，2354(求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值( x,22x2yxx,，,243y5(对于函数，当时，求的取值范围( x,026(求函数的最大值和最小值( yxx,353222yxtxt,，,(21)1y7(已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0, txB 组 6、因材施教，重视基础知识的掌握。2yxax,，221(已知关于的函数在上( x,55x(1) 当时，求函数的最大值和最小值; a,1(2) 当为实数时，求函数的最大值( a2yxx,，232(函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值
7、范围( mmx,00 抛物线与x轴有2个交点；2,4yxaxb,，13(设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求ab,a,0,11x的值( 一锐角三角函数2yxax,，214(已知函数在上的最大值为4，求的值( a,12x8、从作业上严格要求学生，不但书写工整，且准确率高。对每天的作业老师要及时批改，并让学生养成改错的好习惯。2yxtx,，21t5(求关于x的二次函数在上的最大值(为常数)( ,11x(三)实践活动第 3 页 共 4 页 第五讲 二次函数的最值问题答案 A 组 31(4 14或2， 2二、学生基本情况分析：2l22( m16186.257.1期末总复习及考试93(1) 有最小值3，无最大值;(2) 有最大值，无最小值( 4331y,194(当时，;当时，( x,y,x,2maxmin485(y,50 抛物线与x轴有2个交点；352y,3y,36(当时，;当或1时，( x,x,maxmin636（2）顶点式：5y,07(当时，( t,min4B 组 y,1y,371(1) 当时，;当时，( x,1x,5minmaxya,，2710ya,2710 (2) 当时，;当时，( a,0a,0maxmax2( ,21m3(ab,2,2( 14(或( a,a,14yt,22yt,，225(当时，此时;当时，此时( t,0x,1t,0x,1maxmax第 4 页 共 4 页