最新高中数学导数知识点归纳优秀名师资料.doc

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1、高中数学导数知识点归纳导数及其应用 一,导数概念的引入 1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数在处的瞬时变化率是yfx,()xx,0fxxfx()()，,00, lim,x0,x,y|我们称它为函数在处的导数,记作戒, yfx,()xx,fx()xx,000fxxfx()()，,00,即= fx()lim0,x0,xPPT2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时,直线不曲线相切。容易Pnfxfx()(),n0k,P知道,割线的斜率是,当点趋近于时,函数在处的导yfx,()PPPxx,nnn0xx,n0fxfx()(),n0,kfx,lim()数就是切线PT的斜

2、率k,即 0,x0xx,n0,3. 导函数:当x变化时,便是x的一个函数,我们称它为的导函数. 的导函数有fx()fx()yfx,()fxxfx()()，,时也记作,即 yfx()lim,x0,x例一: f，,x,ff，,x,f(1)(1)(1)(1)/若,则= ,= ,f(1),2012limlim,x,0,x,0,x,xf(1),f(1，,x)f，,x,f(12)(1)lim= , = 。 lim,x,0,x,04,x,x二.导数的计算 1，基本初等函数的导数公式: ,1,2 若,则; fxx(),fxx(),3 若,则 fxx()sin,fxx()cos,4 若,则; fxx()cos,

3、fxx()sin,xx,5 若,则 fxa(),fxaa()ln,xx,6 若,则 fxe(),fxe(),1xfx()log,7 若,则 fx(),axaln1,8 若,则 fxx()ln,fx(),x2，导数的运算法则 1,f(x)?g(x),f(x)?g(x); ,2. ()()()()()()fxgxfxgxfxgx,，,fxfxgxfxgx()()()()(),3. ,2gxgx()()3，复合函数求导 xy和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数 yfu,()ugx,()yfgx,(), yfgxgx,()()一、知识自测: 1、几个常用函数的导数: 2，1，f(x)=C,则f

4、(x)=_ ，2，f(x)=x,则f(x)=_ ，3，f(x)=,则f(x)=_ x1，4，f(x)=,则f(x)=_ ，5，f(x)=,则f(x)=_ xx2、基本初等函数的导数公式: a，1，f(x)=C，C为常数，,则f(x)=_ ，2，f(x)=,则f(x)=_ x(a,Q)，3，f(x)=sinx,则f(x)=_ ，4，f(x)=cosx,则f(x)=_ xx，5，f(x)=,则f(x)=_ ，6，f(x)=,则f(x)=_ ealnx，7，f(x)=,则f(x)=_ ，8，f(x)=,则f(x)=_ logxa3、导数的运算法则: ,f(x),g(x)已知的导数存在,则:，1， f

5、(x),g(x),_f(x),，2， ，3，_ ,f(x),g(x),_,g(x)二、典型例题 例1、求下列函数的导数15(1)y,x(2)y,5(3)y, x(4)y,lnx(5)y,logx(6)y,cosx21、求下列函数的导数:5(1)y,x1 (2)y,5xx(3)y,55(4)y,e例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数, 3，1， yxx,，2311，2，; y,11，,xx，3，; yxxx,sinlnx，4，; y,x41ln,x，5，, y,1ln，x2x，6，; yxxe,，,(251)sincosxxx,，7， y,cossinxxx，332解

6、:(1)， yxxxxx,，,，,(23)()(2)(3)322。 yx,32(1)(1)，,xx11(2) ,y,()()22(1)(1)，,xx11，,xx11,22xx, 22(1)(1)，,xx111,， 222(1)(1)xxx，,221(1)(1)，,xx ,2(1),x2x(1)，xx ,2xx(1),(1)，xx y,2xx(1),(3) yxxxxxx,(sinln)(ln)sin ,，,(ln)sin(ln)(sin)xxxxxx1 ,，,，,(1ln)sin(ln)cosxxxxxxx,，,，,sinlnsinlncosxxxxxx yxxxxxx,，,，,sinlnsi

7、nlncosxxxxxxxxx,4(4)144ln41ln4(4)y,()， xxxx224(4)(4)41ln4,x。 y,x411ln212,xx(5) y,，,()(1)2()2221ln1ln1ln(1ln)(1ln)，xxxxxx2 y,2xx(1ln)，22xx(6) yxxexxe,，,，,，,(251)(251)()xxx22， ,，,，,(45)(251)(24)xexxexxe2x。 yxxe,(24)sincosxxx,(7) y,()cossinxxx，(sincos)(cossin)(sincos)(cossin)xxxxxxxxxxxx,，,，, 2(cossin)

8、xxx，(coscossin)(cossin)(sincos)(sinsins)xxxxxxxxxxxxxcox,，,，,， ,2(cossin)xxx，xxxxxxxxxcoxsin(cossin)(sincos)s,，, ,2(cossin)xxx，2x, 2(cossin)xxx，lnxxx21、 2、 3、 y,elnxy,2y,3x,xsinxx，12x，2x，3,sin2x2(1) ，2， ，3， y,3y,sin(2x，)y,lnx3122，4， ，5， ，6， y,x1，xy,log(2x，3x，1)y,24(1,3x)四,课堂练习 31、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法

9、则,求函数()=-2+3的导数。 fxxx2、求下列函数的导数: 3 (1)y,x，sinx42 (2)y,x,x,x，332 (3)y,2x,3x，5x,42 (4)y,(2x，3)(3x,2)2x(),5ysinx sinx(),6ycosx三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性不导数: 一般的,函数的单调性不其导数的正负有如下,关系: ,在某个区间内,如果,那么函数在这个区间单调递增; (,)abfx()0,yfx,(),如果,那么函数在这个区间单调递减. fx()0,yfx,()Ps:二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f，x，的导数y,=f,，x

10、，仍然是x的函数,则y,=f,，x，的导数叫做函数y=f，x，的二阶导数。 几何意义 ，1，切线斜率变化的速度 ，2，函数的凹凸性，例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧， 2.函数的极值，局部概念，不导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数的极值的方法是: yfx,(),(1) 如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值; fx()0,fx()0,xfx()00,(2) 如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值; fx()0,fx()0,xfx()00(3) 若f,，x，=0,则在该点函数不增不减,可能为极值,也可能就为一过渡点。 4.函数的最大(小)值不导数 函数极大值不最大值之间的

11、关系. 求函数在上的最大值不最小值的步骤 yfx,(),ab，1， 求函数在内的极值; yfx,()(,)ab，2， 将函数的各极值不端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最yfx,()fa()fb()小的是最小值. 可导奇函数的导函数的是偶函数 可导偶函数的导函数的是奇函数 III. 求导的常见方法: 1(ln|x|),? 常用结论:. x(x,a)(x,a).(x,a)12ny,?形如戒两边同取自然对数,可转化求代数和y,(x,a)(x,a).(x,a)12n(x,b)(x,b).(x,b)12n形式. xx 无理函数戒形如这类函数,如取自然对数之后可变形为,对两边求导可?lny,

12、xlnxy,xy,xy1xx,lnx，x,y,ylnx，y,y,xlnx，x得. yx利用导数研究函数的图象 /f(x)1, f，x，的导函数 的图象如右图所示,则f，x，的图象只可能是， D ， ，A， ，B， ，C， ，D， 13y,x,4x，1的图像为32,函数( A ) y y y y 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2 2 2 -4 -2 o o 2 4 x o 2 4 x y 2 4 x o x -4 -2 -4 -2 2 4 -2 -2 -2 -2 -4 -4 -4 -4 322x,6x，7,0在(0,2)内根的个数为3,方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 专题

13、8:导数(文) 经典例题剖析 考点一:求导公式。 13,例1. 是的导函数，则的值是 。 fx()f(1),fxxx()21,，32 解析:，所以 ，f,1,1，2,3，fx,x，2答案:3 考点二:导数的几何意义。 1例2. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则yfx,()Mf(1(1)，yx,，22, 。 ff(1)(1)，,115 解析:因为，所以，由切线过点，可得点M的纵坐标为，所以k,f，1,Mf(1(1)，2225f1,，所以 ，f1，f1,32答案:3 32例3.曲线在点处的切线方程是 。 (13)，,yxxx,，2422k,3,4,4,5解析:，点处切线的斜率为，所以设切线方程

14、为(13)，,？y,3x,4x,4b,2，将点带入切线方程可得，所以，过曲线上点处的切线方程为:y,5x，b(13)，,(13)，,5x，y,2,0答案: 5x，y,2,0点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 32例4.已知曲线C:，直线，且直线l与曲线C相切于点，求l:y,kx，x,yx,0y,x,3x，2x000l直线的方程及切点坐标。 y320，y,x,3x，2xk,x,0解析:直线过原点，则。由点在曲线C上，则，x,y？0000000x0y202,x,3x，2 。又， 在处曲线C的切线斜率为，x,y？y,3x,6x，20000x0222，k,fx

15、,3x,6x，2x,3x，2,3x,6x，2， ，整理得:，解？2x,3x,00000000003131k,l得:或(舍)，此时，。所以，直线的方程为，切点x,y,y,xx,0000284433,坐标是。 ,28,331,l答案:直线的方程为，切点坐标是 y,x,284,点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。 考点四:函数的单调性。 32例5.已知在R上是减函数，求的取值范围。 ，fx,ax，3x,x，1a2x,R解析:函数的导数为。对于都有时，为减函数。，fxfx

16、,0fx，fx,3ax，6x,1a,0,2由可得，解得a,3。所以，当a,3时，函数，fx，3ax，6x,1,0x,R,36，12a,0,对x,R为减函数。 318,323313(1) 当a,3时，。 fx,x，x,x，,x,，,39,3由函数a,3x,R在R上的单调性，可知当是，函数对为减函数。 ，fxy,x(2) 当a,3时，函数在R上存在增区间。所以，当a,3时，函数在R上不是单，fxfx调递减函数。 a,3综合(1)(2)(3)可知。 a,3答案: 点评:本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。 考点五:函数的极值。 32x,1x,2例6. 设函数在及时

17、取得极值。 fxxaxbxc()2338,，(1)求a、b的值; 2(2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。 x,03，fxc(),2,x,1x,2解析:(1)，因为函数在及取得极值，则有，fx()f(1)0,fxxaxb()663,，6630，,ab，,b,4a,3(即，解得，。 f(2)0,(241230，,ab,322,(2)由(?)可知，。 fxxxxc()29128,，fxxxxx()618126(1)(2),，,x,1当时，;当时，;当时，。所以，当时，x,(01)，fx()0,x,(12)，fx()0,x,(23)，fx()0,x,03，取得极大值，又，。则当时，的最大值为

18、fx()fx()fc(1)58,，fc(0)8,fc(3)98,，,2x,03，。因为对于任意的，有恒成立， fc(3)98,，fxc(),2c,1c,9所以 ，解得 或，因此的取值范围为。 98，,cc(1)(9),，,，:cb,4a,3答案:(1)，;(2)。 (1)(9),，,，:点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤:?求导数; ，fxfx?求的根;?将的根在数轴上标出，得出单调区间，由在各区间上取值的，fx,0fx,0fx正负可确定并求出函数的极值。 ，fx考点六:函数的最值。 2例7. 已知为实数，。求导数;(2)若，求在区间，fxf,1,0fx,2,2，afx,

19、x,4x,a上的最大值和最小值。 322解析:(1)， 。 ，？fx,x,ax,4x，4afx,3x,2ax,412(2)，。 ？a,，f,1,3，2a,4,0，？fx,3x,x,4,3x,4x，124令，即，解得x,1或， 则和在区间上随的变x,，,fx,03x,4x，1,0fxfx,2,2x3化情况如下表: 44,4, ,1,2 x ,，,2,1,2,12 333,，fx ， 0 0 ， ，fx0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 0 9450450,f,1,f,f,，。所以，在区间上的最大值为，最小值为，,fx,2,2,3273272,9f,1,。 ，29450,2f,f,1,答案

20、:(1);(2)最大值为，最小值为。 ，fx,3x,2ax,4,3272,点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数在区间上的最值，要先求出函数，,，fxa,bfx在区间上的极值，然后与和进行比较，从而得出函数的最大最小值。 ，a,bfafb考点七:导数的综合性问题。 3例8. 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线(0)a,(1,(1)fxy,670fxaxbxc(),，,12b垂直，导函数的最小值为。(1)求，的值; fx()ca(2)求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。 fx()fx()1,3,33解析: (1)?为奇函数，?，即 fx(),，,axbxcaxbxcf

21、xfx()(),12,12c,0b,12?，?的最小值为，?，又直线的斜率为，xy,670fxaxb()3,，6a,2c,0b,12因此，?，( fab(1)36,，,23fxxxx()6126(2)(2),，,(2)。 ，列表如下: fxxx()212,x(,2),(2,2),(2,)，, ,22, fx() 00， ，fx()增函数 极大 减函数 极小 增函数 (,2),(2,)，,f(2)82, 所以函数的单调增区间是和，?，fx()f(1)10,f(2)82,，?在上的最大值是，最小值是。 fx()f(3)18,1,3,f(3)18,f(2)82,a,2b,12c,0答案:(1)，;(

22、2)最大值是，最小值是。 f(3)18,点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。 导数强化训练 (一) 选择题 2x11. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( A ) y,24A(1 B(2 C(3 D(4 322. 曲线在点(1，,1)处的切线方程为 ( B ) y,x,3x，1A( B( C( D( y,3x,4y,3x，2y,4x，3y,4x,52x,13. 函数在处的导数等于 ( D ) y,(x，1)(x,1)A(1 B(2 C(3 D(4 4. 已知函数的解析式可能为 ( A ) f(x)在x,1处的导数为3,则

23、f(x)2 A( B( f(x),2(x,1)f(x),(x,1)，3(x,1)2 C( D( f(x),x,1f(x),2(x,1)32x,35. 函数，已知在时取得极值，则=( D ) f(x)af(x),x，ax，3x,9(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 326. 函数是减函数的区间为( D ) fxxx()31,，(,)(,)(,)(,) (2,)，,(,2),(,0),(0,2)27. 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是( A ) ，fx，fx,x，bx，cy y y y o x o x o x o x B D C A 123在区间上的最大值是( A ) 8. 函数f

24、xxx()2,0,633216129A( B( C( D( 333m，n9. 函数的极大值为，极小值为，则为 ( A ) y,x,3xmnA(0 B(1 C(2 D(4 310. 三次函数在内是增函数，则 ( A ) ，x,，,，fx,ax，x1a,0a,0a,1A( B( C( D( a,3,311. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 y,x,8x4( D ) A(3 B(2 C(1 D(0 ,12. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区f(x)(a,b)f(x)(a,b)f(x)间内有极小值点( A ) (a,b)yyA(1个 B(2

25、个 ,yy,ff(xx)C(3个 D( 4个 bbOOaaxx (二) 填空题 3x,213. 曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为_。 ，1,1xy,x14314. 已知曲线，则过点“改为在点”的切线方程是_ P(2,4)P(2,4)yx,，33()n65()nxR,15. 已知是对函数连续进行n次求导，若，对于任意，都有=0，fx()fx()fxxx(),，fx()则n的最少值为 。 4x16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元,次，一年的总存储费用为万x元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨( x,(三) 解答题 32，当x,1时，取得极大

26、值7;当x,3时，取得极小值(求这17. 已知函数，fx,x，ax，bx，c个极小值及的值( a,b,c3218. 已知函数 f(x),x，3x，9x，a.(1)求的单调减区间; f(x)(2)若在区间,2，2.上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. f(x)32tt,019. 设，点P(，0)是函数的图象的一个公共点，两函数的图f(x),x，ax与g(x),bx，c象在点P处有相同的切线。 t(1)用表示; a,b,ct(2)若函数在(,1，3)上单调递减，求的取值范围。 y,f(x),g(x)32,fxxbxcxxR,，,()20. 设函数，已知是奇函数。 gxfxfx()()(),，

27、b(1)求、的值。 c(2)求的单调区间与极值。 gx()21. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大,最大体积是多少, 113222. 已知函数在区间，内各有一个极值点( (13，11),，fxxaxbx(),，322(1)求的最大值; ab,42A) 当时，设函数在点处的切线为l，若l在点处穿过函数(1ab,48yfx,()Af(1(1)，AA的图象(即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从l的一侧进入另一yfx,()yfx,()的表达式( 侧)，求函数fx()强化训练答案: 1.A 2.B 3.D 4.

28、A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A (四) 填空题 8 14. 15. 7 16. 20 13. y,4x，4,03(五) 解答题 217. 解:。 ，fx,3x，2ax，b2据题意，,1，3是方程的两个根，由韦达定理得 3x，2ax，b,02a,1，3,3 ,b,1，3,3,? a,3,b,932? ，fx,x,3x,9x，cc,2?，? ，f,1,732极小值 ，f3,3,3，3,9，3，2,25c,2?极小值为,25，。 a,3,b,92,18. 解:(1) 令，解得 f(x),0x,1或x,3,f(x),3x，6x，9.所以函数的单调递减区间为 f

29、(x)(,1),(3,，,).(2)因为 f(,2),8，12,18，a,2，a,f(2),8，12，18，a,22，a,所以因为在(,1，3)上，所以在,1，2上单调递增，又由于在,2，f(x)f(x)f(2),f(,2).f(x),0,1上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有22，a,20，解得f(2)f(x)f(,1),2,2a,2. 32故 因此 f(,1),1，3,9,2,7,f(x),x，3x，9x,2.即函数在区间上的最小值为,7. f(x),2,2t19. 解:(1)因为函数，的图象都过点(，0)，所以， f(x)g(x)f(t),0322 即.因为所以. t

30、，at,0t,0,a,tg(t),0,即bt，c,0,所以c,ab.,t 又因为，在点(，0)处有相同的切线，所以 f(x)g(x)f(t),g(t).22, 而 f(x),3x，a,g(x),2bx,所以3t，a,2bt.2323b,t.b,t 将代入上式得 因此故， a,tc,ab,t.a,tc,t.322322,(2). y,f(x),g(x),x,tx,tx，t,y,3x,2tx,t,(3x，t)(x,t),当时，函数单调递减. y,(3x，t)(x,t),0y,f(x),g(x)tt,由，若;若 t,0,则,x,tt,0,则t,x,.y,033由题意，函数在(,1，3)上单调递减，则

31、 y,f(x),g(x)ttt所以 (,1,3),(,t)或(,1,3),(t,).t,3或,3.即t,9或t,3.333,9,t,3又当时，函数在(,1，3)上单调递减. y,f(x),g(x)t所以的取值范围为 (,9,3,，,).322,fxxbxcx,，fxxbxc,，3220. 解:(1)?，?。从而，32232,是一个奇函数，所以gxfxfxxbxcxxbxc()()()(32),，,，xbxcbxc，,，,(3)(2)c,0b,3得，由奇函数定义得; g(0)0,32,(2)由(?)知，从而，由此可知， gxxx()6,gxx()36,(,2),(2,)，,和是函数是单调递增区间

32、; gx()(2,2),是函数是单调递减区间; gx()在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。 gx()gx()42x,2x,2,422x21. 解:设长方体的宽为(m)，则长为 (m)，高为 x18,12x3,. h,4.5,3x(m)0,x,42,故长方体的体积为 3,2233，Vx,2x4.5,3x,9x,6xm0,x, ,2,2从而 V,(x),18x,18x(4.5,3x),18x(1,x).x,0x,1x,1令，解得(舍去)或，因此. ，Vx,030,x,1时，;当时， 当1,x,，Vx,0Vx,02x,1故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值。 ，VxVx

33、233从而最大体积，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. ，V,Vx,9，1,6，1m3答:当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为。 3m94.234.29加与减（二）4 P49-56113222. 解:(1)因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以(13，11),，fxxaxbx(),，32垂直于切线; 过切点; 过圆心.2,0在，内分别有一个实根， (13，11),，fxxaxb(),，2xxab,4设两实根为()，则，且(于是 xx，xx,04,xx?21121221222044,ab?a,2b,3，且当，即，时等号成立(故的0416,ab?ab,

34、4x,1，x,312最大值是16( ,l(2)解法一:由知在点处的切线的方程是 fx()fab(1)1,，(1(1)，f21,，即， yffx,(1)(1)(1)yabxa,，,(1)32l因为切线在点处空过的图象， Afx(1()，yfx,()21x,1所以在两边附近的函数值异号，则 gxfxabxa()()(1),，,32x,1不是的极值点( gx()圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。112132而，且 gx(),，,，xaxbxabxa(1)323222,( gxxaxbabxaxaxxa()(1)1(1)(1),，,，,，,，x,1若11,a，则和xa,1都是

35、的极值点( gx()1232所以11,a，即a,2，又由，得b,1，故( ab,48fxxxx(),3面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合21解法二:同解法一得 gxfxabxa()()(1),，,32133a2( ,，,，(1)(1)(2)xxxa322tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；x,1因为切线l在点处穿过的图

36、象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在gx()Af(1(1)，yfx,()mm，12圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.()( mm,112当时，当时，; gx()0,gx()0,mx,11,xm12(一)数与代数或当时，当时，( gx()0,gx()0,mx,11,xm12扇形的面积S扇形=LR233aa,2hxxx()12,，,，则 设,22,(3) 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)当时，当时，; hx()0,hx()0,mx,11,xm12(1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.或当时，当时，( hx()0,hx()0,mx,11,xm123ax,1由知是的一个极值点，则， hx()h(1)0,h(1)2110,，,21232a,2b,1所以，又由，得，故( ab,48fxxxx(),3