最新高中数学必修1---必修5、选修1-1选修1-2知识点优秀名师资料.doc

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1、高中数学必修1-必修5、选修1-1选修1-2知识点高一数学必修1-必修5、选修1-1选修1-2知识点 必修1 集合 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)。 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作。 一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作，读作“A包含于B”，或“B包含于A”。 A,B或B,A如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作，读作“A真包含于B”，或“B真包A,B或B,A含A”

2、。 一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，记作A=B。 一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的A,B集合，叫做A，B的交集，记作，读作“A交B”。 一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫A,B做A与B的并集，记作，读作“A并B”。 如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的CuA集合，叫做A在U中补集，记作，读作“A在U中的补集”。 1()元素与集合的关系:属于()和不属于(),2()集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,集合

3、与元素,3()集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集,4()集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法,子集:若xAxBABAB, ，则，即是的子集。,nn12,、若集合中有个元素，则集合的子集有个，AnA(2-1)真子集有个。,2、任何一个集合是它本身的子集，即 AA, 注,关系3,.、对于集合如果，且那么ABCABBCAC,4、空集是任何集合的(真)子集。,真子集:若且(即至少存在但)，则是的真子集。ABABxBxAAB,00集合,集合相等:且ABABAB, ,/定义:且ABxxAxB,集合与集合,交集,性质:，AAAAABBAAB,

4、AABBABABA,，,定义:或ABxxAxB,/,并集,性质:，AAAAAABBAABAABBABABB,运算, CardABCardACardBCardAB()()()-(),，,定义:且CAxxUxAA,/,U,补集性质:，()()()()()()CAACAAUCCAACABCACB,UUUUUUU, ()()(), CABCACB,UUU,1(对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的确定性、互异性、无序性。 如:集合中元素各表示什么, AxyxByyxCxyyxABC,|lg|lg(,)|lg，、,2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和

5、文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 2BA,AxxxBxax,|230|1，如:集合，若，则实数的值构成的集合为 a,1,10，答: ,3,3(注意下列性质: n(1)集合的所有子集的个数是 2aaa，,12n(2)若 ABABAABB,，;4(你会用补集思想解决问题吗,(排除法、间接法) ax,5M,03,M5,M如:已知关于的不等式的解集为，若且，求实数的取值范围。 xa2xa,a?35,?，?30,M2,5,，,3,a ,a1925，,a?55,3，,?，?50,M2,5,a,函数 函数是一种关系，在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应

6、地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 定义 设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个(唯一确定)元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射。这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)。于是y=f(x)，x称作y的原象。映射f也可记为:f:A?B， x?f(x).其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常叫作f(A)。 注意: 1. “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”; 2. 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表

7、示x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。 3. 集合A和B是有先后顺序的，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表示。 4. “有且仅有一个(唯一确定)”意思是:一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 构成函数的三要素是:定义域、对应关系和值域。 , 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)。 , 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 区间的概念 , 区间的分类:开区间

8、、闭区间、半开半闭区间 , 无穷区间 , 区间的数轴表示 如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫作分段函数。 函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x,x 12,(1)若当xx时，都有f(x)f(x)，则说f(x)在这个区间上是增函数; 1212(2)若当xf(x)，则说f(x) 在这个区间上是减函数。 1212若函数y=f(

9、x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 判断函数单调性的方法步骤: 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: , 任取x，x,D，且x1，且?( xannnx,a当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数(此nnnna时，的次方根用符号表示( anna 式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radical exponent)，叫做被na开方数(radicand)( 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数(此时，正数

10、的nnannaa正的次方根用符号表示，负的次方根用符号,表示(正的次方根与负nnnna的次方根可以合并成?(0)( nan0,0由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作( 表xyxaa,log0,1yaaa,0,1， 对数数函数，指数函数 a1 定x,，,0,，xR,义 域 值 yR,y,，,0,，域 图象 过定点 过定点 (0,1) (1,0)减函数 增函数 减函数 增函数 xy,，,(,0)(1,)时，xy,，,(0,1)(0,)时，xy,(0,1)(,0)时，xy,(,0)(0,1)时，xy,，,，,(0,)(1,)时，xy,，,，,(1,)(0,)时，xy,，,(0,)(

11、0,1)时，xy,，,(1,)(,0)时，性 质 ab, ab,ab,ab, 底数越大越接近坐标底数越小越接近坐标轴 底数越小越接近坐标轴 底数越大越接近坐标轴 轴 ,yxR,(),幂函数 表2 p, ,001,1,1 qp为奇数 奇函数 q为奇数p为奇数 q为偶数p为偶数 偶函数 q为奇数第一象限(，)01减函数 增函数 过定点 性质 mn,根式:为根指数，为被开方数ana,nmnaa,分数指数幂,rsrs，指数的运算aaaarsQ,(0,),rsrs,指数函数性质()(0,)aaarsQ,rrs,()(0,0,)abababrQ,NaN为底数，为真数,a,x,，,定义:一般地把函数且叫做指

12、数函数。yaaa,(01),MNMN,aaa指数函数,性质:见表1,M,MN,aaa对数:x,log,Nlogb,c,且性质bacacb(,0,1,0),a,n,MnMaaMNlogalog()loglog;aac,基本初等函数,换底公式:,logloglog;,对数的运算.,定义:一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。,幂函数loglog;(0,1,0,0)对数函数定义:一般地把函数且叫做对数函数yxaa,a,性质:见表2对数函数,性质:见表,yxx,log,以10为底的对数叫做常用对数。 ,logNalog(01)换底公式:logN, ,b,logba,1,自然对数:以e为底的对数叫做

13、自然对数。 ,积、商、幂的对数运算法则: ,(1)log(MN)=logM+logN aaalog(N N NN)=logN+logN+logN+logNa123ka1a2a3ak 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和。 M(2)log()=logM-logN aaaN即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。 ,(3)log=logM M,aa即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数。 a幂函数定义:一般地，函数y=x叫做幂函数，x是自变量，a是常数。 幂函数的性质: x1、 所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1，1)(原因:1=1); ,

14、2、 在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1，+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴。 ,3、 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，值域是否出现在第二、第三象限内，要看函数的奇偶性，幂函数的图象最多只能同事出现在两个象限内，如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。 4、 幂函数的定义域的求法可分五种情况，即:(1)为0;(2)为正整数;,(3)为负整数;(4)为正分数;(5)为负分数。 ,5、 作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定

15、义域内完整的图象。 ,、 幂函数的图象主要分为以下几类: 6y,x(,R)(1) 当=0时，图象是过(1，1)点平行于x轴但抠去(0，1)点的一条“断”直线; ,(2) 当为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限及原点。 ,(3) 当为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第三象限及原点。 ,(4) 当为负偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。 ,为负奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。 (5) 当,7、 当0时，幂函数图象一些性质: y,x,(1) 图象都通过点(1，1)，(0，0); (2) 在第一象限内，函数值随x的增大而增大; (3)

16、在第一象限内，1时，图象是向下凸的;01时，图象是向上凸的。 ,8、 当0时，幂函数图象一些性质: y,x,(1) 图象都通过点(1，1); (2) 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的。 反函数:当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量。我们称这两个函数互反函数。 为高中数学必修2知识点 数轴上的基本公式 如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了零位移。位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称向量。 数轴上同向且等长的向量叫做相等的向

17、量。 平面直角坐标系中的基本公式 、两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点， 1AxyBxy(,),，()112222则。 |()()ABxxyy,，,2121x，xy，y1212x,y,2、中点公式:设，M(x,y)是线段AB的中点， AxyBxy(,),，()112222直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0?,180? (2)直线的斜率 ?定义:倾斜角不是90?的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线k,tan,的斜率常用k表示。即。斜率反

18、映直线与轴的倾斜程度。 ,k,0,0,90，当时，; ,k,0,，90,180当时，; ,k当时，不存在。 ,90y,y21k,(x,x)?过两点的直线的斜率公式: 12x,x21注意下面四点: x,x(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90?; 12(2)k与P、P的顺序无关; 12(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程的几种形式 y,y,k(x,x)，x,y1111?点斜式:直线斜率k，且过点 注意:当直线的斜率为0?时，k=0，直线的方程是y=y。 1当直线的斜率为90?时，直

19、线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示(但因l上每一点的横坐标都等于x，所以它的方程是x=x。 11y,kx，b?斜截式:，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b yyxx,11,，xxyy,x,y，x,yyyxx,121211212122?两点式:()直线两点， xy，,1ab?截矩式: yy(,0)a(0,)bllxx其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为ab,。 Ax，By，C,0?一般式:(A，B不全为0) 注意:?1各式的适用范围 ?2特殊的方程如: 平行于x轴的直线:(b为常数); y,bx,a平行于y轴的直线:(a为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的

20、直线 (一)平行直线系 Ax，By，C,0平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:A,B00000Ax，By，C,0(C为常数) 00(二)过定点的直线系 ，y,y,kx,x，x,y(?)斜率为k的直线系:，直线过定点; 0000l:Ax，By，C,0l:Ax，By，C,0(?)过两条直线，的交点的直线系方程为 22221111l(为参数)，其中直线不在直线系中。 ,，Ax，By，C，,Ax，By，C,02111222(6)两直线平行与垂直 当l:y,kx，b，l:y,kx，b时， 111222两直线平行的充要条件:; l/l,k,k,b,b121212两直线垂直的充要条件: l,l,kk

21、,11212注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 Ax，By，C00l:Ax，By，C,0到直线的距离 点到直线距离公式:一点，Px,y100d,22A，B两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 (7)两条直线的交点 相交 l:Ax，By，C,0l:Ax，By，C,022221111，,0AxByC,111交点坐标即方程组的一组解。 ,Ax，By，C,0222,l/l方程组无解 ; 12,ll方程组有无数解与重合 12圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 222

22、，a,b，x,a，y,b,r(1)标准方程，圆心，半径为r; 222x，y,r特别的，如果圆心在坐标原点，这时a=0，b=0，圆的标准方程就是。 22x，y，Dx，Ey，F,0(2)一般方程 221DE22,D，E,4F,0当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 r,D，E,4F,222,22当时，表示一个点; D，E,4F,022当时，方程不表示任何图形。 D，E,4F,0(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确

23、定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断: 222，(1)设直线，圆，圆心Ca,b到l的距离为l:Ax，By，C,0，C:x,a，y,b,rAa，Bb，C，则有 d,22A，B; d,r,l与C相离; d,r,l与C相切d,r,l与C相交222(2)设直线，圆，先将方程联立消元，得到一，C:x,a，y,b,rl:Ax，By，C,0,个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有 ; ,0,l与C相离,0,l与C相切; ,0,l与C相交2xx，yy,r注:如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，00，x,y其中表

24、示切点坐标，r表示半径。 00(3)过圆上一点的切线方程: 22xx，yy,r?圆x+y=r，圆上一点为(x，y)，则过此点的切线方程为 (课本命220000题)( 222?圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x，y)，则过此点的切线方程为002(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)= r (课本命题的推广)( 004、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 222222设圆， ，C:x,a，y,b,R，C:x,a，y,b,r111222两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 d,R，r当时两圆外离，此时有

25、公切线四条; d,R，r当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条; R,r,d,R，r当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; 当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线; d,R,r当时，两圆内含; d,R,rd,0当时，为同心圆。 空间直角坐标系 ,OBCDDABC,(1)定义:如图，是单位正方体.以A为原点， 分别以OD,OA,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴、y轴、z轴。 1这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 1)O叫做坐标原点 2)x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指

26、相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。 3)任意点坐标表示:空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序(x,y,z)实数组 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作(x叫做(x,y,z)M(x,y,z)点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标) 空间两点的距离公式: 空间两点的距离公式为 A(x,y,z),B(x,y,z)111222222d(A,B),AB,(x,x)，(y,y)，(z,z) 212121特别地，点到原点O的距离公式为 A(x,y,z)111222d(O,A),OA,x，y，z

27、 2立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱ABCDE,ABCDEAD柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四

28、棱锥、五棱锥等 P,ABCDE表示:用各顶点字母，如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台: 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母，如五棱台 P,ABCDE几何特征:?上下底面是相似的平行多边形 ?侧面是梯形 ?侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:?底面是全等的圆;?母线与轴平行;?轴与底面圆的半径垂直;?侧面展

29、开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:?底面是一个圆;?母线交于圆锥的顶点;?侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征:?上下底面是两个圆;?侧面母线交于原圆锥的顶点;?侧面展开图是一个弓形。 (7)球体: 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:?球的截面是圆;?球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下

30、) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图斜二测画法 斜二测画法特点:?原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变; ?原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 h(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线) 1S,rlS,chS,2,rhS,ch 圆锥侧面积直棱柱侧面积圆柱侧正棱锥侧面积21

31、S,(r，R),l S,(c，c)h圆台侧面积12正棱台侧面积222，S,2,rr，l，S,r，rl，Rl，R ， S,rr，l圆台表圆柱表圆锥表(3)柱体、锥体、台体的体积公式 2112VShrh,VSh, VSh,V,rh圆柱柱锥圆锥3311122,，,，,VSSSShrrRRh()() VSSSSh,，()圆台台333243(4)球体的表面积和体积公式:V= ; S=4,R,R球面球34、空间点、直线、平面的位置关系 (1)平面 ? 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; ? 平面的表示:通常用希腊字母、表示，如平面(通常写在一个锐角内); 也可以用两个相对顶点的字母来表

32、示，如平面BC。 A,A,A? 点与平面的关系:点A在平面内，记作;点不在平面内，记作 ,点与直线的关系:点A的直线l上，记作:A?l; 点A在直线l外，记作Al; ,直线与平面的关系:直线l在平面内，记作l;直线l不在平面内，记作,l。 (2)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内，或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 AlBlABl,用符号语言表示公理1: (3)公理2:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公理2

33、及其推论作用:?它是空间内确定平面的依据 ?它是证明平面重合的依据 (4)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面和相交，交线是a，记作?,a。 PABABlPl,符号语言: 公理3的作用: ?它是判定两个平面相交的方法。 ?它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ?它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 (5)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位置关系 ? 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ? 异面直线性质:既不平行，又不相交。 ? 异面直线判定:过平面外一点与平面内