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1、第三章数系的扩充与复数的引入章末检测一、填空题1. Z1 = (m2 + m+ 1) + (m2+ m 4)i, m R, z2= 3- 2i，则“ m= 1 ”是“ zi = z2” 的条件.2. i是虚数单位，复数 申的共轭复数为 .1 iai3. 已知a是实数，-一是纯虚数，则a =.1 + i4. 若(x i)i = y+ 2i, x, y R，则复数 x+ yi =.5在复平面内，O是原点，OA, OC , AB对应的复数分别为2+ i,3 + 2i,1 + 5i，那么BC对应的复数为.6. (1 + i)20_ (1 i)20 的值是.1 + 7i7. i是虚数单位，若=a + b
2、i(a, b R)，则ab的值是.2 i&若Z1 = x 2 + yi与Z2= 3x+ i(x, y R)互为共轭复数，则 Z1对应的点在第 象限.9. 已知f(n)= in i n(n N*),则集合f(n)的元素个数是 .10. 复平面内，若 z= m2(1 + i) m(4 + i) 6i所对应的点在第二象限，则实数 m的取值范围是.11. 已知0a1 + i; 虚轴上的点表示的数都是纯虚数； 若一个数是实数，则其虚部不存在； 若z=丄，则z3+ 1对应的点在复平面内的第一象限.i二、解答题13. 设复数 z= lg(m2 2m 2) + (m2 + 3m+ 2)i，当 m 为何值时，(
3、1)z是实数？ (2)z是纯虚数？14. 已知复数 zi = 1 i, zi 2 + zi = 2+ 2i，求复数 Z2.2+ 2i 415.计算:(1) 1 3i 5； (2)(2 i)( 1 + 5i)(3 4i) + 2i.16实数m为何值时，复数 z= (m求|Z1|的值以及Z1的实部的取值范围；1 一 Z1 若3=，求证：3为纯虚数.1 + Z1=16 2i2 2 ,3i 2 1 . 3i + 5m+ 6)+ (m2 2m 15)i对应的点在:(1)x轴上方；直线x+ y + 5= 0 上.17. 已知复数z满足|z|=. 2, z2的虚部是2.、(1)求复数z;设乙z2, z z2
4、在复平面上的对应点分别为A, B, 6求厶ABC的面积.118. 设Z1是虚数，z2= Z1+ z是实数，且一1 W z2013.解（1）要使复数z为实数，需满足m2+ 3m + 2 = 0解得m = 2或一1即当m= 2或一1时，z是实数.m2 2m 2 = 1(2)要使复数z为纯虚数，需满足，解得m= 3.m2 + 3m + 2 丰 0即当m = 3时，z是纯虚数.14. 解 因为 Z1 = 1 i,所以 z 1 = 1 + i,所以 Z1 z2= 2 + 2i z 1 = 2 + 2i (1 + i)=1 + i.设 z2 = a+ bi(a, b R),由 Z1 z2= 1 + i,得
5、(1 i)(a+ bi) = 1+ i,所以(a + b) + (b a)i = 1 + i,a + b = 1所以，b a = 1解得 a= 0, b = 1,所以z2 = i.16 1 + i 415. 解原式=13i13264164 1+ , 3i 2 1 3i 1 + . 3i x 41 + 飞.3i.1 + ,3i原式=(3 + 1 1i)( 3 4i) + 2i = 53 + 21i + 2i = 53 + 23i.16. 解(1)若z对应的点在x轴上方，则 m2 2m 150,解得m5.复数z对应的点为(m2+ 5m+ 6, m2 2m 15),/z对应的点在直线x+ y+ 5=
6、 0上， (m2+ 5m+ 6) + (m2 2m 15) + 5= 0,3 41整理得 2m2+ 3m 4= 0,解得 m=4.17. 解 (1)设 z= a+ bi(a, b R)，贝U z2= a2 b2+ 2abi，由题意得 a2+ b2= 2 且 2ab= 2,解 得 a= b = 1 或 a = b = 1,所以 z= 1 + i 或 z= 1 i.(2)当 z= 1+ i 时，z2= 2i, z z2= 1 i,所以 A(1,1), B(0,2), C(1, 1),所以 &abc= 1.当 z= 1 i 时，z2= 2i, zz2= 1 3i,所以 A( 1, 1), B(0,2
7、), C( 1 , 3)，所以 Sabc = 1.11a18. (1)解 设 Z1 = a+ bi(a , b R 且 b* 0),贝U z2= Z1+ 一 = a+ bi += (a + 2) + (bz1a + bia2+ b2因为z2是实数，b* 0,于是有a2 + b2= 1,即|Z1|= 1, 还可得z2= 2a.由一1 w Z2W 1,得一1 w 2aw 1,11解得2三aw ,一 1 1即乃的实部的取值范围是 a2 b2 2bib= i.1 + a 2+ b2a + 11 1因为a , 2】,b* 0,所以3为纯虚数. ,刁.1 Z11 a bi(2)证明 3 =1 + Z11 + a+ bi