最新高中数学必修三角函数知识点与题型总结优秀名师资料.doc

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1、高中数学必修三角函数知识点与题型总结高中数学必修三角函数知识点与题型总结 三角函数 1、善于用“1“巧解题 2、三角问题的非三角化解题策略 3、三角函数有界性求最值解题方法 4、三角函数向量综合题例析 5、三角函数中的数学思想方法 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 函 yx,cosyx,tan yx,sin数 性 质 图象 定, xxkk,，,义 ,RR2,域 值,1,1,1,1 , R域 ,xk,，2k,xkk,2,当当时 ,，2xk,，2,时,当,当 y,1y,1maxmax最既无最大值也无最小,值 值 xk,2k, 时y,1( ,，min2k,时y,1( ，min2,2,周 ,

2、 期性 奇奇函数 偶函数 奇函数 偶性 ,，2,2kkk,在 在2,2kk,，,，,22，, 在kk,，,单上是增函数,在,22,k,上是增函数,在 ，调2,2kk,， ,性 k,上是增函数( ，,3，k, 上是减函数( 2,2kk，,，,22，1 上是减函数( k,，对称中心对称中心对称中心kk,0,对，, kkk,0,，,，, ,0k,称，2,对称轴2,性 ,xkk 对称轴 ,，,xkk,无对称轴 ，2必修四 角的顶点与原点重合角的始边与轴的非负半轴重合终边落在第几象限则称为第几象限角( ,x,第一象限角的集合为 ,kkk,，,36036090,第二象限角的集合为 ,kkk,，,，,360

3、90360180,第三象限角的集合为,kkk,，,，,360180360270, ,第四象限角的集合为,kkk,，,，,360270360360, ,kk180,终边在轴上的角的集合为 x,，,kk18090,轴上的角的集合为 终边在y,kk90,终边在坐标轴上的角的集合为 ,，,kk360,3、与角终边相同的角的集合为 ,*n,4、已知是第几象限角确定所在象限的方法:先把各象限均分等份再从轴的正半,nx，n,轴的上方起依次将各区域标上一、二、三、四则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在,n的区域( 15、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度( 口诀:奇变偶不变符号看象限( 公式一: 设为

4、任意角终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin,2k，,sin cos,2k，,cos tan,2k，,tan cot,2k，,cot 公式二: 设为任意角 的三角函数值与的三角函数值之间的关系: sin,，,sin cos,，,cos 2 tan,，,tan cot,，,cot 公式三: 任意角与 -的三角函数值之间的关系: sin,sin cos,cos tan,tan cot,cot 公式四: 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系: sin,sin cos,cos tan,tan cot,cot 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系: si

5、n,2,sin cos,2,cos tan,2,tan cot,2,cot 公式六: /2?及3/2?与的三角函数值之间的关系: sin,/2，,cos cos,/2，,sin tan,/2，,cot cot,/2，,tan sin,/2,cos cos,/2,sin tan,/2,cot cot,/2,tan sin,3/2，,cos cos,3/2，,sin tan,3/2，,cot cot,3/2，,tan 3 sin,3/2,cos cos,3/2,sin tan,3/2,cot cot,3/2,tan (以上k?Z) 其他三角函数知识: 同角三角函数基本关系 ?同角三角函数的基本关系

6、式 倒数关系: tan cot,1 sin csc,1 cos sec,1 商的关系: sin/cos,tan,sec/csc cos/sin,cot,csc/sec 平方关系: sin2()，cos2(),1 1，tan2(),sec2() 1，cot2(),csc2() 两角和差公式 ?两角和与差的三角函数公式 sin,，,sincos，cossin sin,sincos,cossin cos,，,coscos,sinsin cos,coscos，sinsin tan，tan tan,，, 1,tan tan tan,tan tan, 1，tan tan 倍角公式 4 ?二倍角的正弦、余弦

7、和正切公式,升幂缩角公式, sin2,2sincos cos2,cos2(),sin2(),2cos2(),1,1,2sin2() 2tan tan2, 1,tan2() 半角公式 ?半角的正弦、余弦和正切公式,降幂扩角公式, 1,cos sin2(/2), 2 1，cos cos2(/2), 2 1,cos tan2(/2), 1，cos 万能公式 ?万能公式 2tan(/2) sin, 1，tan2(/2) 1,tan2(/2) cos, 1，tan2(/2) 2tan(/2) tan, 5 1,tan2(/2) ?三角函数的积化和差公式 sin cos,0.5sin,，,，sin, co

8、s sin,0.5sin,，,sin, cos cos,0.5cos,，,，cos, sin sin, 0.5cos,，,cos, 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB

9、+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=?(1-cosA)/2) sin(A/2)=-?(1-cosA)/2) cos(A/2)=?(1+cosA)/2) cos(A/2)=-?(1+cosA)/2) tan(A/2)=?(1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-?(1-cosA)/(1+cosA) ctg(A/2)=?(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=-?(1+cosA)

10、/(1-cosA) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sin

11、AsinB 1(根据解析式研究函数性质 例1(天津理)已知函数( fxxxxx()2cos(sincos)1,，,，R3，(?)求函数fx()的最小正周期;(?)求函数fx()在区间上的最小值和最大值( ，,84，,2【相关高考1】(湖南文)已知函数( fxxxx()12sin2sincos,，,888,fx()fx()求:(I)函数的最小正周期;(II)函数的单调增区间( 6 1,2【相关高考2】(湖南理)已知函数，( gxx()1sin2,，fxx()cos,，,212,(I)设是函数图象的一条对称轴，求的值(II)求函数的单调递增区间( xx,gx()yfx,()hxfxgx()()()

12、,，002(根据函数性质确定函数解析式 例2(江西)如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周,，,R，?yxx2cos()(00)(03)，y2期为( ,y,(1)求和的值; , P3 ,(2)已知点，点是该函数图象上一点，点是PA的中点，当Qxy()，A，0P00,2,AO x 3，时，求的值( xy,x,，000,22，,x,2,0【相关高考1】(辽宁)已知函数(其中)，(I)求函数fx(),，,，Rfxxxx()sinsin2cos,662,的值域; (II)(文)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间( yfx,()y,1yfx,()2a,R(理)若对任

13、意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值(不,y,1yfx,()xaa,，(，必证明)，并求函数的单调增区间( yfxx,()，R,?ABCBx,A,BC,23【相关高考2】(全国?)在中，已知内角，边(设内角，周长为( y,(1)求函数的解析式和定义域;(2)求函数的最大值( yfx,()yfx,()3(三角函数求值 113例3(四川)已知cos=,cos(-),，且0,(?)求tan2的值;(?)求. 7214,2cos2x,43,【相关高考1】(重庆文)已知函数f(x)=.(?)求f(x)的定义域;(?)若角a在第一象限，且 cosa,求f(a)。,5sin(x，)22

14、6cosx,3sin2x】(重庆理)设f (xx,【相关高考2) = (1)求f()的最大值及最小正周期;(2)若锐角满足，f(,),3,234,求tan的值. 54(三角形中的函数求值 abA,2sin例4(全国?)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，( c,5cossinAC，a,33(?)求B的大小;(文)(?)若，求b(理)(?)求的取值范围( 4?ABCAC,2BC,3cosA,【相关高考1】(天津文)在中，已知，( 57 ,sinB(?)求的值;(?)求的值( sin2B，,6,13?ABCCBC【相关高考2】(福建)在中，(?)求角的大小;文(?)若边的长为

15、，求AB17tanA,tanB,45?ABC边的长(理(?)若最大边的边长为，求最小边的边长( 175(三角与平面向量 ,?ABC36,例5(湖北理)已知的面积为，且满足0?，设和的夹角为(I)求的取值范围; ACAB,ACAB,2(II)求函数的最大值与最小值( f()2sin3cos2,，,4,【相关高考1】(陕西)设函数， ，fx,a,b,2其中向量，且函数y=f(x)的图象经过点， ,a,(m,cos2x),b,(1，sin2x,1),x,R4,(?)求实数m的值;(?)求函数f(x)的最小值及此时的值的集合. x【相关高考2】(广东)已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B

16、(0，0)、C(，0)( cc,5 (文)(1)若，求的值;(理)若?A为钝角，求c的取值范围;(2)若，求sin?A的值( AB,AC,0c6三角函数中的实际应用 302例6(山东理)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于A1,2020105120甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的BAB122102处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里, CABD【相关高考】(宁夏)如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与(现测得B北 C,AB，并在点测得塔顶的仰

17、角为，求塔高( ，,，,BCDBDCCDs,，A,120A2B,2 105A1B 1 甲 乙 7(三角函数与不等式 ，,2例7(湖北文)已知函数fx()，(I)求的最大值和最小值; x,，fxxx()2sin3cos2,，,424，,，fxm()2,m(II)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围( x,，,42，8(三角函数与极值 8 xx232例8(安徽文)设函数 ，fx,cosx,4tsincos，4t，t,3t，4,x,R22其中?1，将的最小值记为g(t). t，fx(?)求g(t)的表达式;(?)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值. 三角函数易错题解析 22,sin,c

18、os例题1 已知角的终边上一点的坐标为()，则角的最小值为( )。 ,33,11,525A、 B、 C、 D、 63632例题2 A，B，C是,ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则,ABC是( ) 3x,5x，1,0tanA,tanBA、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 2tan,例题3 已知方程(a为大于1的常数)的两根为， x，4ax，3a，1,0tan,，,tan且、，则的值是_. ,222,例题4 函数的最大值为3，最小值为2，则_，_。 b,fxaxb()sin,，a,sinxcosx例题5 函数f(x)=的值域为_。 1，sinx，cosx222，s

19、in,3sin,则sin,，sin,2例题6 若2sin的取值范围是 已知例题7，求的最小值及最大值。 ,，,y,cossin,62tanxfx(),例题8 求函数的最小正周期。 21tan,x,f(x),sin2x，22cos(，x)，3例题9 求函数的值域 4,3(,0)例题10 已知函数?是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间0，f(x),sin(,x，,)(,0,0,),42上是单调函数，求和,的值。 ,2011三角函数集及三角形高考题 ,1,，,bBA5,sin ABCa,431.(2011年北京高考9)在中，若，则 . 2ABC,abc,ABCaAbBcossin,sinco

20、scosAAB，,2.(2011年浙江高考5).在中，角所对的边分.若，则 1122(A)- (B) (C) -1 (D) 1 ,yfx,()fxx()cos(0),33.(2011年全国卷1高考7)设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像,重合，则的最小值等于 9 13693 (B) (C) (D) (A)25,sinpy4,，,55.(2011年江西高考14)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_. ,fxf()(),ff()(),fxx()sin(2),，,6xR,26(2011年安徽高考9)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，fx(

21、)则的单调递增区间是 ,，kkkZ,()kkkZ,(),，,，,362，(A) (B) ,2，kkkZ,(),，,kkkZ,(),263，(C) (D) 222sinsinsinsinsinABCBC,，,7(2011四川高考8)在?ABC中，则A的取值范围是 ,(0,)(0,),6363A) (B) (C) (D) (,fxxx()4cossin()1.,，,61.(2011年北京高考17)已知函数 ,，,fx()fx()64，(?)求的最小正周期;(?)求在区间上的最大值和最小值。 cos2cos2ACca,ABC,abc,ABCcosBb3. (2011年山东高考17) 在中，内角的对边

22、分别为，已知， sinC1cos,2Bb,ABCsinA4(?)求的值;(?)若，求的面积S。 aACaCbBsincsin2sinsin，,5.(2011年全国卷高考18)?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知. 0Ab,75,2,求，ac (?)求B;(?)若. ABC,abc, ABCcAaCsincos.,6.(2011年湖南高考17)在中，角所对的边分别为且满足 ,3sincos()AB,，AB,C4(I)求角的大小;(II)求的最大值，并求取得最大值时角的大小( 1,fxx()2sin()x,36R7(2011年广东高考16)已知函数，( 10 ,，5,106,0,f

23、()，,，,f(3)f(32),cos(),，24，2135的值;(2)设，求的值( (1)求73,，,fxxx()sin()cos(),448(2011年广东高考18)已知函数，xR( 44,，,0,cos()cos(),2fx()()20f,255(?)求的最小正周期和最小值;(?)已知，(求证:( a,b,c9.(2011年江苏高考17)在?ABC中，角A、B、C所对应的边为 1,sin(A，),2cosA,cosA,b,3csinC63(1)若 求A的值;(2)若，求的值. b322222a10.(2011高考)?ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+

24、bcosA=a。(I)求;(II)若c=b+a，求B。 1abC,1,2,cos,ABC11. (2011年湖北高考17)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 4cos()AC,ABC(I) 求的周长;(II)求的值。 1cos2C,412. (2011年浙江高考18)在?ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值;(?)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长( 2011三角函数集及三角形高考题答案 ,1,，,bBA5,sin ABCa,431.(2011年北京高考9)在中，若，则 . a552,aab,152,13,，,bBA5,sins

25、insinsinAB34334【答案】【解析】:由正弦定理得又所以 2ABC,abc,ABCaAbBcossin,sincoscosAAB，,2.(2011年浙江高考5).在中，角所对的边分.若，则 1122(A)- (B) (C) -1 (D) 1 2acosA,bsinBsinAcosA,sinB【答案】D【解析】?，?， 222sinAcosA，cosB,sinB，cosB,1?. ,yfx,()fxx()cos(0),33.(2011年全国卷1高考7)设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像,重合，则的最小值等于 11 13693 (B) (C) (D) (A),yfx

26、,()33【解析】由题意将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍,得2,，,kkZ(),6,6k,0k,1min3,解得,又,令,得. 4.(2011全国卷)，设函数 (A)y=在单调递增，其图像关于直线对称(B)y=在单调递增，其图像关于直线对称 2422(C)y= f (x) 在(0，)单调递减，其图像关于直线x = 对称(D)y= f (x) 在(0，)单调递减，其图像关于直线x = 对称 ,22222解析:解法一:f(x)=sin(2x+)=cos2x.所以f(x) 在(0，)单调递减，其图像关于直线x = 对称。故选D。 25,sinpy4,，

27、,5(2011年江西高考14)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，5.则y=_. 答案:8. 解析:根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角。25y对边,sin,2516，y,y,8斜边= ,fxf()(),f()sin()1,，,，,，,kkZ,663xR,326(2011年湖南高考9)【解析】若对恒成立，则，所以，,ff()(),，,kkZ,sin()sin(2),，,，sin0,kZ,62.由，()，可知，即，所以,3,，,(21),kkZfxx()sin(2),，剟222kxk,fxx()sin(2),，,66262

28、，代入，得，由，,2，剟kxk,63得，故选C. 222bca，,1,222222sinsinsinsinsinABCBC,，,abcbc,，,22bc7(2011四川高考8)解析:由得，即， 1,0,AcosA,0,A,32?，?，故，选C( 12 31,f(x),4cosxsin(x，),1,4cosx(sinx，cosx),1622高考资源网KS5U.COM 1.【解析】:(?)因为,2,2sin(2x，),3sin2x，2cosx,1f(x),3sin2x，cos2x,6所以的最小正周期为 2,2,x，,即x,x,所以,2x，,.f(x)62664663(?)因为于是，当时，取得最大值

29、2;当,2x，,即x,时,f(x)666取得最小值1( ,fxAx()sin(),，0,yfx,()xR,A,0232.(2011年浙江高考18)已知函数，.的部分图像，如图所示，Q(1,)APP、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为. 2,，,PRQfx()(1,0),3RA(?)求的最小正周期及的值;(?)若点的坐标为，求的值. 2,T6,yAx,，sin(),PA(1,)332.(?)解:由题意得，因为在的图像上 ,sin()1.，,0,362所以又因为，所以(?)解:设点Q的坐标为,22,，,x0xA,x,4QA(4,),300363().，由题意可知，得，所以，连接PQ,在?PR

30、Q中，?PRQ=,由余弦定理得222222RPRQPQAAA，,，,，9(9)1cos，,PRQ22.2RPRP223.9，A，解得A=3。 3又A,0，所以A=。 cos2cos2ACca,ABC,abc,ABCcosBb3. (2011年山东高考17) 在中，内角的对边分别为，已知， 13 sinC1cos,2Bb,ABCsinA4的值;(?)若，求的面积S。 (?)求cos2cos2ACca,cos2cos2sinsinACCA,ABCcosBbcossinBB解:(?)在中，由及正弦定理可得， sinsin2cossin2sincossincosABCBCBAB,即 sinsinsin

31、cos2sincos2cossinABABCBCB，,，则 sinC,2sin()2sin()ABCB，,，ABC，,sin2sinCA,ABCsinA，而，则，即。另解1:在中，由cos2cos2ACca,bAbCcBaBcos2cos2coscos,cosBb可得， 222222222222bcaabcacbacb，,，,，,，,ca,222caac由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得sinCc,2,ABCsinAa。另解2:利用教材习题结论解题，在中有结论cos2cos2ACca,abCcBbcAaCcaBbA,，,，,，coscos,coscos,coscoscosBb由可得bAb

32、CcBaBcos2cos2coscos,bAaBcBbCcoscos2cos2cos，,，ca,2即，则， sinCc1cos,2Bb,222222242cos44,，,，,caacBaaaaca,24sinAa由正弦定理可得。(?)由及可得1115152S,，,acBBsin121cosa,1c,24224则，S，即。 12cos()0，,BC32 4.(2011年安徽高考16)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，求边BC上的高. 1cosA,12cos()0，,BC12cos(180)0，,A12cos0,A2解:?A，B，C,180?，所以B，C,A，又，?

33、，即，14 ,bAsin2sin602absinB,a2sinsinAB3得， 又0?A 0. 注:第2条可以推出第1条。 在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为:x2/a2 - y2/b2 = 1. 上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。 2 编辑本段标准方程 1、焦点在X轴上时为: x2/a2 - y2/b2 = 1 2、焦点在Y 轴上时为: y2/a2 - x2/b2 = 1 编辑本段概念特征 17 以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。 分支 双曲线有两个分支。 焦点 在定义1中提

34、到的两给定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。 准线 在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线 离心率 在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。 离心率e=c/a 双曲线有两个焦点，两条准线。(注意:尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。) 顶点 双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。 渐近线 双曲线有两条渐近线。 渐近线的方程求法是:将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近

35、线的解，例如:X2/2-Y2/4=1，令1=0，则X2/2=Y2/4，则双曲线的渐近线为Y=?(?2)X 编辑本段几何性质 轨迹上一点的取值范围 1?x?a(焦点在x轴上)或者?y?a(焦点在y轴上)。 对称性 关于坐标轴和原点对称。 顶点 A(-a,0)，A(a,0)。同时 AA叫做双曲线的实轴且?AA?=2a. B(0,-b)，B(0,b)。同时 BB叫做双曲线的虚轴且?BB?=2b. 18 F1(-c,0)F2(c,0).F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且?F1F2?=2c 对实轴、虚轴、焦点有:a2+b2=c2 渐近线 焦点在x轴:y=?(b/a)x. 焦点在y轴:y=?(a

36、/b)x. 圆锥曲线=ep/1-ecos当e1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，为弦与x轴夹角。 令1-ecos=0可以求出，这个就是渐近线的倾角。=arccos(1/e) 令=0，得出=ep/(1-e),x=cos=ep/(1-e) 令=PI，得出=ep/(1+e),x=cos=-ep/(1+e) 这两个x是双曲线定点的横坐标。 求出它们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标) x=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2 (注意化简一下) 直线cos=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2 是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。 将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是 则=-PI/2-arccos(1/e) 则=+PI/2-arccos(1/e) 代入上式: cos