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1、高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题第一章 解三角形 1、正弦定理: 在中，a、b、c分别为角、C的对边，R为的外接圆的半径，则有: ( 2、正弦定理的变形公式: ?，; abc，; 2R2R2R ?; ?( ?注意:正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ?对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)如:在三角形ABC中，已知a、b、A(A为锐角)求B。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD 当无交点则B无解、 当有一个交点则B有一解、 当
2、有两个交点则B有两个解。 法二:是算出CD=bsinA,看a的情况: 当a<bsinA，则B无解 当bsinA<a?b,则B有两解 当a=bsinA或a>b时，B有一解 注:当A为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式: ( 222 4、余弦定理: 在中，有， ， 222222 ( 5、余弦定理的推论: ， 2bc ， 2ac ( 2ab (余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 1 6、如何判断三角形的形状: 设a、b、c是的角、C的对边，则: ?若，则; ?若，则; ?若，则( 7、正余弦定理的综合应用: 如图所示:隔河看两目
3、标A、B, C、D两点， 并测得?ACB=75, ?BCD=45, ?ADC=30, O?ADB=45(A、B、C、D在同一平面 ) A(103 2、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为 52 B( C(16 D(4 A(3、在?ABC中，若，则( C ) A90 B60 C120 D 150 0000 4 、在?ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 ( D ) A(b = 10，A = 45?，B = 70? B(a = 60，c = 48，B = 100? C(a = 7，b = 5，A = 80? D(a = 14，b = 16，A =
4、45? 5、已知?ABC中，a?b?c,1?2，则A?B?C等于( A ) A(1?2?3 C( 1:3:2 B(2?3?1 D(3:1:2 6、若?ABC的周长等于20，面积是10，A,60?，则BC边的长是( C ) A( 5 B(6 二、填空题(每题5分,共25分) C(7 D(8 2 7、在中，已知，则_ 、在?ABC中，A=60?, b=1, 面积为，则= 9、在?ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么2 ，且，又?ABC的 210、在?ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边 三(解答题(2小题，共40分) 13、在中，(I)求sinA的值; (II)设
5、 ，求的面积. 3 知识点巩固练习(一) 一、选择题 1(在?ABC中，若，则等于( ) A(1 B(2 D( 2(若A为?ABC的 ) A(sinA B(cosA C(tanA D(001 tanA 3(在?ABC中，角A,B均为锐角，且 则?ABC的形状是( ) A(直角三角形 B(锐角三角形 C(钝角三角形 D(等腰三角形 ，这条高与底边的夹角为60， 04(等腰三角形一腰上的高是3则底边长为( )A(2 B(3 C(3 D(2 2 5(在?ABC中，若，则A等于( ) 30或60 B(45或60 C(120或60 D(30或150 A(6(边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是
6、( ) 3 00000000 A(90 B(120 C(135 D(150 二、填空题 1(在Rt?ABC中，则sinAsinB的最大值是_。 2(在?ABC中，若则。 3(在?ABC中，若则。 4(在?ABC中，若sinA?sinB?8?13，则。 三、解答题 1( 在?ABC中，若则?ABC的形状是什么, 2(在?ABC中，求证: 3(在锐角?ABC中，求证:。 4 知识点巩固练习(二) 一、选择题 1(在?ABC中，则a:b:c等于( ) A(1:2:3 B(3:2:1 C (2 D (2 2(在?ABC中，若角B为钝角，则的值( ) A(大于零 B(小于零 C(等于零 D(不能确定 3
7、(在?ABC中，若，则a等于( ) A(2bsinA B(2bcosA C(2bsinB D(2bcosB ABC中，若，则?ABC的形状是( ) 4(在?A(直角三角形 B(等边三角形 C(不能确定 D(等腰三角形 5(在?ABC中，若则 90 B(60 C(135 D(150 A(6(在?ABC中，若，则最大角的余弦是( ) 14 1111A( 0二、填空题 1(若在?ABC 中，则。 2(若A,B是锐角三角形的两内角，则tanAtanB_1(填>或<)。 3(在?ABC中，若则。 4(在?ABC中，若则?ABC的形状是_。 5(在?ABC中，若 三、解答题 则。 2 1( 在
8、?ABC 中，。 5 0 ABC中，求证:。 2( 在锐角?3( 在?ABC中，求证: 4( 在?ABC中，若，则求证: 5( 在?ABC中，若acos 6 2ABCcoscos。 1。 ，则求证: 知识点巩固练习(三) 一、选择题 ?ABC的 ) 1(A为A(2,2) B( 等于( ) c (2cos B(2cos C(2sin D(2sin 22222(在?ABC中，若则三边的比0 3(在?ABC中，若，则其面积等于( ) A(12 B(21 C(28 D(6 2 04(在?ABC中，则下列各式中正确的是( ) 00 A( 5(在?ABC中，若，则( ) A(90 B(60 C(120 D
9、(150 0000 tanAa2 (在?ABC中，若，则?ABC的形状是( ) tanBb2 A(直角三角形 B(等腰或直角三角形 C(不能确定 D(等腰三角形 二、填空题 1(在?ABC中，若则A一定大于B，对吗,填_(对或错) 2(在?ABC中，若则?ABC的形状是_。 3(在?ABC中，?C是钝角，设则x,y,z的大小关系是_。 4(在?ABC中，若，则。 3 5(在?ABC中，若则B的取值范围是_。 6(在?ABC中，若，则的值是_。 2 三、解答题 7 22221(在?ABC中，若，请判断三角形的形状。 2( 如果?ABC内接于半径为R的圆，且 求?ABC的面积的最大值。 ( 已知?
10、ABC的三边且 3，求a:b:c 34(在?ABC中，若 3ac，且为A,B,C的大小与边a,b,c的长 ，AB边上的高 8 答案 知识点巩固练习(一) 一、选择题 4.D 作出图形 都是锐角，则或1500 2 设中间角为，则为所求 二、填空题 ?b? ?sinB?8?13， 令 三、解答题 1. 解: 或，得所以?ABC是直角三角形。 或 2. 证明:将，代入右边 2ac2bc 得右边 9 左边， abba ?a 3(证明:?ABC是锐角三角形，?即，即;同理; ? 知识点巩固练习(二) 一、选择题 ，且A,都是锐角， ，等腰三角形 ，B为最大角， 二、填空题 1.2221 72 ，即 co
11、sB11， 4. 锐角三角形 C为最大角，为锐角 三、解答题 1. 解: ，而 所以 2. 证明:?ABC是锐角三角形，?即，即;同理;? ABC?证明:? 11 (证明:要证， ，只要证 即 而? ?原式成立。 ? 即(证明:?acos2 ?即，? 知识点巩固练习(三) 一、选择题 而 csinC 则，20 2cosAsinBsinBcosAsinB 或 二、填空题 12 1. 对 则 2. 直角三角形 1C2A则 14( 2tanB ( 三、解答题 解: 13 或 ?等腰或直角三角形 2. 解:b)sinB, b2, 450 2ab222 , sinC 2 222 12 另法: 2Rsin
12、B 244 2sinAsinB 4 B) 2 此时取得等号 2 3. 解: 4sincos2222 4242 14 4. 解: 或 得，即 当 45时， 当 75时， 00000?当 45时， 当 75时，。 解三角形单元测试题 一、选择题: ABC中，a,3，b,7，c,2，那么B等于( ) 1、在?A( 30? B(45? C(60? D(120? 2、在?ABC中，a,10，B=60?,C=45?,则c等于 ( ) (1 D(10 A() 3、在?ABC中，a,2，b,22，B,45?，则A等于( A(30? B(60? C(30?或120? D( 30?或150? 4、在?ABC中，a
13、,12，b,13，C,60?，此三角形的解的情况是( ) A(无解 B(一解 C( 二解 D(不能确定 5、在?ABC中，已知，则角A为( ) A( ( 或 33 15 6、在?ABC中，若，则?ABC的形状是( ) A(等腰三角形 B(直角三角形 C(等腰直角三角形 D(等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是( ) A( ( 8、在?ABC中，已知那么?ABC一定是 ( ) A(直角三角形 B(等腰三角形 C(等腰直角三角形 D(正三角形 9、?ABC中，已知，如果?ABC 两组解，则x的取值范围( ) 4 3 10、在?ABC中，周长为7.5cm，且sin
14、A:sinB:sinC,4:5:6,下列结论:?( ?其 中成立的个数是 ( ) A(0个 B(1个 C(2个 D(3个 11、在?ABC中， ?A,30?，则?ABC面积为 ( ) 4 C(A( 2 B(或3 2D(3 或 42 12、已知?ABC的面积为 A(30? 3，且，则?A等于 ( ) 2 D(60?或120? B(30?或150? C(60? 13、已知?ABC的三边长，则?ABC的面积为 ( ) A( B(2 C( D(2 A 14、某市在“旧城改造”中计划 )A( 450a元 B(225a元 C( 150a元 D( 300a元C 15、甲船在岛B的正南方A处，AB,10千米，
15、甲船以每小 时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60?的方 向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( ) 150分钟 7B(15分钟 7C(21.5分钟 D(2.15分钟 A(16、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30?，向前飞行10000 米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75?，这时飞机与地面目标的水平距离为( ) A( 5000米 B(50002 米 C(4000米 D(40002 米 17、在?ABC中，?C,70?，那么?ABC的面积为( ) A( 1 64 B(1 32 C(1 16 D(1 8 16 18、若
16、?ABC的周长等于20，面积是10，A,60?，则BC边的长是( ) A( 5 B(6 C(7 D(8 19、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是( ) A(B( 20、在?ABC中，若 D(，则?ABC是( ) B(等腰直角三角形 D(等边三角形 A(有一C(有一 ;b, 24、已知?ABC中，则此三角形解的情况是 25、已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 . 26、在?ABC中，则?ABC的最大内角的度数是 三、解答题 27、在?ABC中，已知，A,45?，在BC边的长分别为20， 下，求相应角C。 28、在?ABC中，BC,a，AC
17、,b，a，b是方程的两个根，且。2203，5的情况3 求:(1)角C的度数; (2)AB的长度。 17 29、在?ABC中，证明: cos2Acos2B11。 30、在?ABC中，cosC是方程的一个根，求?ABC周长的最小值。 解三角形单元测试答案 一、选择题 1-5. CBCBC 6-10. DBBCC 11-15. BDBDA 16-20. ACCBB 二、填空题 7 23、 21、1:3:2 22、24、无解 25、1 26、120? 三、解答题 2 1 (1)当BC,20时，sinC,;、解:由正弦定理得 (2)当BC,3203时， sinC,; 23 有两解 或120? (3)当B
18、C,5时，sinC,2>1; 不存在 128、解:(1),120? 2 18 (2)由题设: 、由正弦定理得: 22ab 230、解: 21 21 2 又是方程的一个根 由余弦定理可得: 则: 当时，c最小且此时?ABC周长的最小值为 31、解:(1)由 可得即C,90? 2 ?ABC是以C为直角顶点得直角三角形 (2) 内切圆半径的取值范围是 19 1(常见三角不等式 6、增加动手操作的机会，使学生获得正确的图形表象，正确计算一些几何形体的周长、面积和体积。(1)若 3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数
19、学与人类历史的发展是息息相关。(2) 若 53.264.1生活中的数3 P24-29，则，则 2 互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)2.同角三角函数的基本关系式 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:， 3.正弦、余弦的诱导公式 33.123.18加与减（一）3 P13-17， 和角与差角公式 定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;平方正弦公式); 6、因材施教，重视基础知识的掌握。辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定 45.二倍角公式 1、第二单元“观察物体”。学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。30 o45 o60 o20