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1、高中数学法向量练习题精品文档 高中数学法向量练习题 1.证明线面平行、面面平行 例1.如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心, E、F、G分别为棱AB、BC、BB1的中点求证:B1O/平面A1C1D 平面EFG/平面A1C1D C1 A E 方法总结 方法一: 综合几何法 线面平行的判定: 面面平行的判定 : 方法二:向量法 线面平行:面面平行: 2.证明线面垂直、面面垂直 例2如图,三棱锥P-ABC中,PA?AB,PA?AC,AB?AC,PA=AC=2,AB=1,M为PC的中点.求证:平面PCB?平面MAB P A 方法总结 方法一: 综合几何法 线面垂直的
2、判定: 面面垂直的判定: 方法二:向量法 线面垂直: 面面垂直: 3.求线面角、二面角 例如图，ABCD是直角梯形，?ABC=0?，SA ?面ABCD，1 / 16 精品文档 SA=AB=BC=1,AD= ， 1求面SAB与面SCD所成的二面角的大小. 方法总结 方法一: 综合几何法 方法二:向量法 4.求点到面的距离 例4.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,AB=1,AA1 =2,E为CC1中点. 求点D1到平面BDE的距离. A E C1 方法总结 方法一: 综合几何法 方法二:向量法 5.综合应用 P?ABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA? 底面ABCD. 例5.如图四棱锥
3、 M、N分别为AD、BC的中点，MQ?PD于Q. 求证:平面PMN?平面PAD; 3 直线PC与平面PBA所成角的正弦值，求PA的长; 2 / 16 精品文档 3 在的条件下求二面角P?MN?Q的余弦值. 三、巩固练习 1、 在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的 中点。确定E的位置，使D1E?平面AB1F求二面角B1 ?AF?B的大小。 2、 在三棱锥S-ABC中，?ABC是边长为4的正三角形。平面SAC?平面ABC， SA=SC=2 M、N分别为AB、SB的中点。证明:AC?SB求二面角N-CM-B， 的大小求点B到平面CMN的距离。 3.
4、2.1直线的方向向量和平面的法向量1 一、选择题 1(若平面、的法向量分别为a,?1?2，,1，3?，b,，则 A(? B(与相交但不垂直 C(? D(?或与重合 答案 D 解析 ?b,2a，?b?a， ?或与重合( 2(直线l1、l2的方向向量分别为a,，b,，则 A(l1?l B(l1与l2相交，但不垂直 C(l1?l D(不能确定 3 / 16 精品文档 答案 C 解析 ?a?b,0，?a?b，?l1?l2( 3(已知线段AB的两端点坐标为A，B，则线段AB与坐标平面,， ?AB? ?平面yOz( 4(在如图所示的坐标系中，ABCD,A1B1C1D1为正方体，给出下列结论: ?直线DD1
5、的一个方向向量为; ?直线BC1的一个方向向量为; ?平面ABB 1A1的一个法向量为; ?平面B1CD的一个法向量为( 其中正确的个数为 A(1个 B(2个 ) C(3个 答案 C D(4个 ? 解析 DD1?AA1，AA1,;BC1?AD1，AD1,，直线AD?平面ABB1A1，AD,;C1 ? 点坐标为，AC1与平面B1CD不垂直，?错( 5(在正方体ABCD,A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AB、CC1、A1D1、C1D1的中点，下列结论中，错误的是 4 / 16 精品文档 A(A1E?AC1 C(BF?DG 答案 A 解析 设正方体棱长为1，以D为原点，DA、DC、DD1分别
6、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， B(BF?平面ADD1A1 D(A1E?CH 1111 则A1，E，C，F，H，G，A，B， 22221111? ?A1E,，AC1,，BF,，DG,，CH,( 2222 平面ADD1A1的一个法向量为v,， 1? ?A1E?AC1,，BF?v,0， 2?BF?DG,0，A1E,CH( ?B、C、D成立，A不成立，故选A( 6(对于任意空间向量a,，b,，给出下列三个命题: a1a2a3?a?b, b1b2b3 ?若a1,a2,a3,1，则a为单位向量; ?a?b?a1b1，a2b2，a3b3,0( 其中真命题的个数为 A(0C(2答案 B B(1D(3
7、 aaa解析 由,?a?b，反之不一定成立，故?不正确;?显然错误;?是正确的，故选B( b1b2b3二、填空题 5 / 16 精品文档 1 ,1，y，已知?，则x，y,_(7(平面的法向量u,，平面的法向量v,?答案 15 4 x1,2 解析 ?，?u?v，?,， 1,1y 2x,4，?15?x，y, 14y,?4? 8(直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量v1,，直线l2的方向向量为v2,，则直线l1 与l2的位置关系是_( 答案 垂直 解析 ?v1?v2,2，0，2,0， ?v1?v2( ?l1?l2， 三、解答题 9(如图所示，已知矩形ABCD，PA?平面ABCD，M、N分别是?P
8、DA,，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线,若能值;若不能确定，说明理由( 解析 以点A为原点建立空间直角坐标系A,xyz，设|AD|,2a，,，则A、B、C、D、P、M( ? ?AB,，PC,，MN,( ?AB?MN,?,0， ? 6 / 16 精品文档 ?AB?MN，即AB?MN( 若MN?PC， ?即MN?PC,? ,2a2,2a2tan2,0，则tan2,1， 而是锐角， ?tan,1，,45?( 即当,45?时，直线MN是直线AB与PC的公垂线( |AB|,2b，?PDAb,0)、N? ,AB?AC?，BD?AC?,AB?,AB?BD? ,AB?AC?,AB?,AB?BD?
9、 ,AB?,AB?DC?,0( ?AD?BC? ，从而AD?BC( 证法2:设DA?,a，DB?,b，DC? ,c， ?AB?CD， ?AB?CD?,?,a?c,b?c,0， ?a?c,b?c; ?AC?BD，?AC?BD?,?,a?b,b?c,0，?a?b,b?c; ?a?c,a?b， ?AD?BC?,?,a?b,a?c,0， ?AD?BC( 一、选择题 11(已知空间四边形ABCD中，AC,BD，顺次连接各边中点P、Q、R、S，如下图，所得图形是 C(梯形 答案 D D(菱形 ?1?1?1? 解析 ?PQ,BQ,BPBC,( 7 / 16 精品文档 222?1? 同理SR,，?PQ,SR，
10、 2?四边形PQRS为平行四边形， ?1?1?1?又?PS,AS,AP,BD， 2221?1? ?|PS|,|BD|，即PS,BD， 221?1? 又|PQ|,AC|，?PQ,AC， 22 ?AC,BD，?PS,PQ，?四边形ABCD为菱形( 12(已知平面内有一个点A，的一个法向量为n,，则下列点P中在平面内的是 A( C( 2答案 B ? 解析 对于选项A，PA,，PA?n,5，?PA与n不垂直，排除A;同理可排除C、D(对于选项B，1?有PA,，?PA?n,0，?选B( 2 二、填空题 13(已知空间直角坐标系O,xyz中的点A，平面过点A并且与直线OA垂直，动点P是平面内的任一点，8
11、/ 16 精品文档 则点P的坐标满足的条件为_( 答案 x，y，z,3 ? 解析 由题意知，OA?，直线OA的方向向量OA,， ? 因为P?，?OA?AP， ?,0， ?x，y，z,3( 14(在空间直角坐标系O,xyz中，已知A，B，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为_( 51答案 0，) 33 x,1? 解析 设点C的坐标为，则AC,，AB,，因为AC与AB1 3 B( 23 D( 2 3.2.2平面的法向量与平面的向量表示 一、选择题 1(点A，B，C，则平面ABC的一个法向量为 A( C( 答案 A 9 / 16 精品文档 ? 解析 设法向量为n,，则AB?n,0，AC?n,
12、0，则 ?,ax，by,0?n,(故选A. ?,ax，cz,0? B( D( 2(在正方体ABCD,A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于 A(AC C.A1D 答案 B 解析 直线CE在平面AC内的射影为AC， 又AC?BD，?BD?CE，故选B. 3(若平面、的法向量分别为u,，v,，则 A(? C(、相交但不垂直 答案 C 解析 ?u,，v,， ?u与v不平行且u与v不垂直， 故选C. 4(设平面的法向量为，平面的法向量，若?，则k, A(2 C.4D(,答案 C 12,2解析 ?，?, ,2,4k?k,4，故选C. 5(已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法
13、向量，若cos n，则l与所成的角为 2 10 / 16 精品文档 B(,B(? D(以上均不正确 B(BD D(A1A A(30? C(120? 答案 A 解析 设l与所成角为， B(60? D(150? 11?cos,，又直线与平面所成角满足0?90?.?sin,|,，?,30?. 226(若直线l的方向向量为a,，平面的法向量为u,，则 A(l? C(l? 答案 B 解析 ?u,4a，?u?a，?a?，?l?.故选B. 二、填空题 1 1，2?，7(已知l?，且l的方向向量为，平面的法向量为?2?则m,_. 答案 ,8 1 解析 设a,，b,( 21 ?l?，?a?b，?2，2,0，?m
14、,8. 2 8(已知平面ABC，且A，B，C，则平面ABC的一个法向量为_( 答案 11 / 16 精品文档 ? 解析 AB,，AC,，设平面ABC的法向量为n,，则 ?x,2y,0AB,0?n?即? ?2x,4y，2z,0?AC,0?n? B(l? D(l与斜交 1?y,2x 解得?令x,2，则一个法向量为( ?z,0三、解答题 9(如图所示，M、N、P分别是正方体ABCDA1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD的中点( 求证:A1P?平面DMN . 证明 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则D，A1，P，M，N( ? ?向量A1P,， ? DM,，DN,( ?A1P?DM,
15、? ,0，12，1,0. ?A1P?DN,? ,1，12，0,0. ?A1P?DM，A1P?DN， 即A1P?DM，A1P?DN，又DM?DN,D， ?A1P?平面DMN . 一、选择题 1(已知平面，的法向量分别为a,，b,且12 / 16 精品文档 ?，则x，y的值为 A(C(答案 D 解析 由已知得a?b,0，即,x,y,8,0，则x，y,8. 2(若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l?平面的是 A(a,，n, B(a,，n, C(a,，n, D(a,，n, 答案 D 解析 若l?，则a?n,0.而A中a?n,2;B中a?n,1，5,6;C中a?n,1;只有D选项中a?n,3
16、，3,0. B(,D(,8 3(已知平面的一个法向量是a,，平面的一个法向量b,，若?，则, B(，k 23D( 2 2 2k答案 B 解析 由已知得a?b,0，即cos2,sin2，1,0，则cos2,1， ?2,2k， 13 / 16 精品文档 则,k，( 2 ? 4(已知AB,，BC,，若AB?BC，BP,，且BP?平面ABC，则实数x，y，z分别为 3315，,，4740 2,4答案 B ? 解析 ?AB?BC，?AB?BC,0， 即3，5,2z,0，得z,4. 又BP?平面ABC，?BP?AB，BP?BC. ? BC,，则 ?x,1?，5y，6,0?解?3?x,1?，y,12,0?
17、4015 2、在教师的组织和指导下，通过自己的主动探索获得数学知识，初步发展创新意识和实践能力。B(，,，4 7740 D(415 7 ? ?15?y,7 40x, 7 第一章 直角三角形边的关系14 / 16 精品文档 . 初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；二、填空题 0 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；5(若直线l与的法向量分别是a,，b,，则直线l与的位置关系是_( 答案 l? 解析 ?a?b，?l?. 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即? 6(已知正四棱锥，在向量PA,PB，PC,PD，PA，PC，PB，PD，
18、PA，PB，? PC，PD中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是_( 经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.? 答案 PA,PB，PC,PD (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.? 解析 ?PA,PB，PC,PD,BA，DC,0，不能作为这个平面的法向量，对其它三个? 化简后可知均与PO共线(而PO?平面ABCD，它们可作为这个平面的法向量( 推论2:直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；7(如图所示，已知矩形ABCD，AB,1，BC,a，PA?平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ?QD，则a的值等于_
19、( 答案 15 / 16 精品文档 （2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：解析 以A为原点，建立如图所示坐标系，则A，B，? D，C，设Q，P，PQ,，QD,( ?由PQ?QD,0，得,1，x,0， 即x2,ax，1,0. 当,a2,4,0，即a,2时，Q只有一个( 三、解答题 8(在正方体ABCD,A1B1C1D1中E，F，G，H，M，N分别是正六体六个表面的中心，求证:平面EFG?平面HMN. 解析 如图，建立空间直角坐标系D,xyz，设正方体的棱长为2，易得E，F，G，H，M，N( ? ?EF,，EG,， ? HM,，HN,( 抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。16 / 16