最新高中数学知识点优秀名师资料.doc

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1、目录 集合的概念与运算 . 1 简易逻辑 . 1 函数概念 . 2 函数单调性 . 2 函数奇偶性 . 3 函数周期性 . 3 函数图象 . 3 指数与对数运算 . 4 指数函数的图像与性质 . 5 对数函数的图像与性质 . 5 幂函数. 5 函数零点 . 6 导数的概念及运算 . 7 导数在研究函数中的应用 . 7 任意角，弧度制 . 9 任意角三角函数 . 9 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 . 9 两角和与差的三角公式 . 10 三角函数的图像及性质 . 10 正弦定理和余弦定理. 11 平面向量 . 12 数列概念 . 14 n等差数列通项及其前项和 . 14 n等比数列及其前项和

2、 . 15 二元一次不等式表示的平面区域与线性规划 . 17 基本不等式及其应用. 17 直线方程 . 18 直线与直线的位置关系 . 18 圆的方程 . 19 直线、圆的位置关系. 19 椭圆 . 20 双曲线. 21 抛物线. 22 曲线与方程 . 22 空间点、线、面之间的位置关系 . 23 空间几何体表面积和体积 . 24 统计 . 24 数系扩充与复数的引入 . 25 集合的概念与运算 1.集合的元素具有三个特性 ， ， 2.元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 表示 3.集合的表示方法: ， ， 4.集合间的基本关系 x,Ax,B 对任意的，都有，则 A,B 若，且在中至少有一个元

3、素不在中，则 BAA,BB,A 若且,则 集合A所有非空真子集个数_ 所有非空真子集_ 5.集合的运算及性质 A,BS 设集合, 全集为 A:BA:B 则= ,= = CASAABAABBABA:,_,_,_,AABAABBABB:,_,_,_,ACAACA:,_,_UU简易逻辑 1.四种命题之间关系: 注:如果两个命题互为逆否命题，则它们具有相同的 2.充分条件和必要条件: p,q,q,ppq (1)若且，那么称是的 条件 p,q,qppq (2)若且，那么称是的 条件 ,/q,ppqpq(3)若，且，那么称是的 条件 ,/pqqppq(4)若，且，那么称是的 条件 ,/3. 简单逻辑联结词

4、: (1) ， ， 称为逻辑联结词. (2)复合命题真值表 pqp,qp,q，p 4.全称量词和存在量词 (1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词称为 ，含有这种量词的命题称为 ，符号表示为 ，其否定表示为 (2)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词称为 ，含有这种量词的命题称为 ，符号表示为 ，其否定表示为 函数概念 A,B设是两个非空 ，如果按某种对应法则，对于集合中的 ，在fA集合中 ，称为从集合到集合的一个函数。 f:A,BBAB的取值范围叫做函数的 函数值的集合叫做函数的 f(x)|x,AxA函数的三要素 、 、 函数的表示法 、 、 函数单调性 1.函数单

5、调性: IA,yfx,()一般地，函数定义域为，区间，如果对于区间内任意两个值，xx,AI12当时都有_，称函数在区间上单调 称为 区间. xx,II12当时都有_，称函数在区间上单调 称为 区间. xx,II122.单调性定义的等价形式:设x,x,a,b 12(x,x)(f(x),f(x),0,上是单调 fxab(),在1212f(x),f(x)12,f(x)在a,b上是单调 ,0x,x12函数奇偶性 xA,1.函数奇偶性:函数的定义域为A.对于任意的， yfx,()都有 ，则称为奇函数,图像关于 对称 fx()都有 ，则称为偶函数,图像关于 对称 fx()2.奇函数在对称区间内有单调性_,

6、 偶函数在对称区间内有单调性_ 函数周期性 1.定义:存在一个非零常数T，对于定义域内_ x都有_则为 函数 fx()其中T称作的周期.若T存在一个最小的正数，则称它为的 fx()fx()TT2.性质:(1)常常写作 fxTfx()()，,fxfx()()，,22(2)T是函数的周期，则也是函数的周期 kTkZk(0),且函数图象 1. 基本函数的图像 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 幂函数 2.利用描点法作图:(1)确定定义域;(2)化简解析式 (3)讨论函数性质(奇偶性、单调性、周期性) (4)画出函数图像 3.图象变换 (1)平移变换: ，变换法则: yfxyfxaa

7、,()()(0)，变换法则: yfxyfxbb,()()(0)(2)对称变换: ，关于 对称 yfxyfx,()()，关于 对称 yfxyfx,()()，关于 对称 yfxyfx,()()，变换法则:_ yfxyfx,()|()|，变换法则:_ yfxyfx,()(|)(3)伸缩变换: ，变换法则:_ yfxyafxa,()()(0)，变换法则:_ yfxyfaxa,()()(0)指数与对数运算 n,nnn, 1.指数 aa,，,mn?正分数指数幂:a, ，a,0,m、n均为正整数m,na?负分数指数幂: ，a,0,m、n均为正整数,_,_2.有理指数幂的性质 ttstsab,aa,? ;?

8、;? ，a,_3.对数 x (1)若，那么实数叫做_，记为_， xa,N(a,0,a,1)N其中a叫做对数的_，叫做_ (2)以10为底的对数记为_，以e为底的对数记为_ log1,_loga,_ (3)，( aa4(对数运算性质 a,0,a,1,M,0,N,0Mn (1)， log,_,logM,_logMN,_aaaN(2)换底公式: logN,_(a,0,a,1,N,0)a指数函数的图像与性质 xa,101,a ya,图象 定义域 值域 过定点_ 上是单调在上是单调，,，,，, 性质 _ _ 对数函数的图像与性质 a,101,a 图像 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点 当时，x

9、,1当时，x,1(4) (5) 性当0时，,x1当0时，,x1 质 (6)是上的 函数 (7)是上的 函数 (0,)，,(0,)，,幂函数 形如 的函数叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数 (1)幂函数在 上都有定义，且图像都过定点_，且在第 象限无图像 a,0(2)(0,)，,(0,)，,时，幂函数在上 , _时,幂函数在上是减函数 函数零点 1.函数零点的性质: 如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线， ，,y,fxa,b并且有，那么，函数在区间内 ， ，y,fxa,b，fa,fb,0，使得，这个也就是方程的根. 即存在，c,a,bfc,0cfx,02(函数零点与方程根的关系: (1

10、)函数有零点.函数的图象与轴有交点的横坐标 ，y,fxy,fxx,方程有实根 ，fx,0,(2)函数的零点可以看成是与图象 y,f(x),g(x)y,f(x)y,g(x)导数的概念及运算 1.函数在区间上的平均变化率为 fx(),xx122.函数在区间上有定义，当无限接近于0时， (,)abyfx,()xab,(,),x0,y 比值 无限趋近于一个常数， ,A,x则称在点处可导，并称常数为函数在处的 记作 fx()fx()xx,xx,A003.几何意义 ,函数在处的导数的几何意义就是曲线在点 处 。 fx()yfx,()xx,fx()004.常见函数的导数: n,C, (为常数); ; ; ;

11、 ()x,(sin)x,(cos)x,Cxx, ; ; ; . ()a,()e,(log)x,(ln)x,a5.导数的运算法则: , ， ; ()()fxgx,()Cfx,fx(), ， . ()()fxgx,gx(),6.简单复合函数的导数: 若yfuuaxb,，(),，则，即 y,yyu,xxux导数在研究函数中的应用 1.导数和函数单调性 , (1)函数，如果在某区间上，那么f(x)为该区间上的 y,f(x)f(x),0,f(x) 如果在某区间上f(x),0，那么为该区间上的 ,，a,bf(x) (2)在的任意子区间内都不恒等于0， ,，a,ba,bf(x),0,f(x) 若在区间上在上

12、为 函数， , 若在区间上在上为 函数。 ，a,ba,bf(x),0,f(x)2.函数的极值 (1)一般地，当函数在点处连续时 xf(x)0?如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极大值 xf(x)00?如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值 xf(x)00(2) 求可导函数极值的步骤 , ?求 f(x)?求方程 的根; , ?检查在方程 的根左右侧的符号， f(x)如果左正右负，那么在这个根处取得 f(x)在这个根处取得 如果左负右正，那么f(x)3.求函数在上的最大值与最小值的步骤 ,a,by,f(x)(1)求函数在上的 ，a,b(2)将函数的各极值与 _比较，其中最大一个是最大值，最小一个

13、是最小值 任意角，弧度制 1(任意角 ?角:角可以看成由射线绕着它的一个端点从一个位置旋转到另一个位置 旋转开始时的射线叫做角的_，旋转终止时的射线叫做角的_ ?角的分类:角分_、_、_(按角旋转方向) 2( 在直角坐标系内讨论角 ? 象限角:顶点在原点，始边在_上，终边在第几象限，这个角是第几象限角 ? 与角终边相同的角的集合:_ ,终边落在x轴上的角:_ 终边落在y轴上的角:_ 终边落在坐标轴上的角:_ 终边落在第二象限上的角:_ 3(弧度制 (1)度与弧度的换算关系_ (2)弧长公式与扇形面积公式 弧长公式扇形面积公式l,_;S,_.,_; 任意角三角函数 1.定义:是一个任意角，角的终

14、边上任意一点Pxy(,)，它与原点的距离为rr(0),，, . sin_,cos_,tan_,2.三角函数值的符号:_ 3.三角函数线: 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 ,(同角三角函数基本关系式:平方关系:_ 商数关系:_ ,(诱导公式:口诀 _ sin(2),，,kcos(2),，,ktan(2),，,k(,) sin(),cos(),tan(),(,) sin(),cos(),tan(),(,) sin(),，,cos(),，,tan(),，,(,) ,(,) sin(),cos(),sin()，,cos()，,2222 两角和与差的三角公式 1._ _ cos(),，,cos(),

15、2. _ _ sin(),，,sin(),3._ _ tan(),，,tan(),tantan,，,tantan,224.辅助角公式:，其中角称为辅助角 ,ababsincossin(),，,，5.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2,(1)= cos2,(2)= = = ; tan2,(3) 6.公式的逆向变换及有关变形 22(1)降幂公式:sin, cos,= 1cos，,1cos,(2)升幂公式:= ，= 1sin2，, 1sin2, _ 三角函数的图像及性质 y,cosx y,tanx y,sinx函数 y y y 图像 x 0 0 x 0 x 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性

16、对称中心 对称轴 正弦定理和余弦定理 1.三角形的有关性质 ,ABCABC，ab，(1)在中，= (2) cabc,abA,sinsinBA,(3) (4)三角形面积公式: B(5)三角形中有sin2sin2ABAB,或 2.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 b, (1) c = a,边角互化 cosA, sinA,sinBsinC,(2) = 解三角形 (1) 两角和任一边 (1) 已知三边,求各角 (2) 两边和其中一边的对角 (2) 已知两边和他们的夹角 平面向量 1. 向量的有关概念 (1)向量的定义:既有 又有 的量叫做向量. (2)表示方法:用 来表示向量.有向线

17、段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. (3)模:向量的 叫向量的长度或模，记作 或 . (4)零向量:长度为零的向量叫做零向量，记作 ，零向量的方向是 (5)单位向量:长度为 个单位长度的向量叫做单位向量. ,ae(6)平行向量:方向 或 的 向量，与平行的单位向量= (7)相等向量:长度 且方向 的向量. 2.向量运算 几何运算(几何表示) 代数运算(坐标表示) 三角形法则:(_) 平行四边形法则:(_) B B a,ababxyxy，,，(,)(,)加 A1122 Aa+b法 D a+b,_Cb, C _ _ abA，,，,BBCabABAC，,，,三角形法则:(_、_、

18、指向_向量) B, a减abxyxy,(,)(,)1122 ,A法 ,_abBC,AA_ a-bb C,共线法则:1. 方向:， ,0,_,0_反向a,axy,(,) 11 ,_ 2. 大小(模): 数,结论1: 结论2:a,0乘 , , ab/_, ab/_,abxyxy,(,)(,) 1122 ab, ,_ 数, 结论1 量结论3:结论2:ab,0,0, ,a,_ 积 ,a,_ cos_, ab,_ 数列概念 1(数列的定义:按 叫数列，数列中的每一个数叫做数列的 在函数的意义下，数列是 的函数，所以其图像为散点图 2(通项公式: 数列的第项与序号之间的关系式叫做这个数列的 ,annn3(

19、数列按项增减规律分为 、 、 常数数列 和 摆动数列 等等( 递增数列 递减数列 常数数列 aaaaaaa,nn，1nn，1nn，1n,5(数列的前项和为=_ 与的关系:则 aSaSa,n,nnnnn,数列的前项乘积为，即 则 bTb,nTbbbb,.,nnnnn123,等差数列通项及其前项和 n1(等差数列定义 (1)从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 常数 ,符号表示为 为常数) (,nNd,A(2)数列成等差数列的充要条件是 ，其中叫做的 aAb,ab,2(等差数列的有关公式及推导方法 a,(1)通项公式: 推导方法:_ n,daa,，推广， ( mnN,),nmS,n(2)前项和

20、公式: = ,推导方法:_. n3(等差数列的性质 ,(1)若，则有 ，当时 mnp，,2mnpqmnpqN，,，,(,)(2)等差数列中，下标成 数列的各项依次成等差数列 4.差数列前n项和为，则，成等差数列,其公差为_ SSSSSS,mmmmm232n2n5.等差数列共项， aSaaa=.，Saaa=.，,n1221n,242n奇偶21n，等差数列共项 aSaaa=.，Saaa=.，,n1221n，242n奇偶6. (1)等差数列 an,，()()nd,0d,0d,0若，则数列 若，则数列为 若，则数列为 2(2)等差数列的前项和 nSnn,，()()n等比数列及其前n项和 1(等比数列的

21、定义 (1)从第二项起，每一项与它的前一项的 等于 常数 ,符号表示为 为常数)， (,0nNq,bGa(2)等比中项:在与中间插入一个数，使aGb,成等比数列， Gba那么叫做与的 2(等比数列的通项有关公式 a,(1)通项公式: ，推导方法:_ n,推广， ( ,qaa,mnN,),nm(2)前项和公式 推导方法:_ n3.等比数列的常用性质 ,(1)若，则有 ，当时， mnp，,2mnpqmnpqN，,，,(,)(2)等比数列中，下标成 数列的各项依次成等比数列; 4.公比不为等比数列前n项和,则，成等比数列,公比_ ,1SSSSSS,mmmmm232n5.若(项数相同且各项非零)是等比

22、数列, ab,nn,a12n则仍是等比数列 ,a(0),aab,nnnnabnn,5. 等比数列的前项和与的关系 Snnn当时，_ S,q,1nn当时_，故可写成的形式 S,q,1SCqC,nn二元一次不等式表示的平面区域与线性规划 1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域 一般地，直线y,kx，b把平面分成两个区域 ykx，b表示直线 的平面区域 ykx，b表示直线 的平面区域 2. 线性规划中的基本概念 名称 定义 约束条件 变量x、y满足的一次不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的线性函数 可行域 所表示的平面区域称为可行域 最优解 使目标函数取得 或 的可行解 线性

23、规划在线性约束条件下，求线性目标函数 或 问题 问题 3. 常见目标函数的几何意义 基本不等式及其应用 1.算术平均数与几何平均数 正数, 称为的算术平均数; 称为的几何平均数 ab,ab,ab,2.几个重要的不等式 ab，22,ab，,(1) ( ) (2) ( ) ab,ab,23.利用不等式求函数最值 :三个必要条件:一 二 三 ，xy，xypxy,(1) 已知若积是定值,则当时,和有最 值是 xyR,，xy，xy,xys(2) 已知若和是定值,则当时, 积有最 值是 xyR,直线方程 1.倾斜角:一条直线向上的方向与轴的正方向所成的最小正角 x当直线与轴平行或重合时，规定倾斜角为_ 所

24、以倾斜角的范围为_ x,k2.斜率:倾斜角 ,斜率= ,斜率 9090,3.求斜率的方法 ,k?定义法:直线倾斜角，则斜率= ,90,k?公式法:直线过两点，且，则斜率= x,xP(x,y),P(x,y)121112224.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 不含直线 xx,点斜式 0斜截式 不含垂直于轴的直线 x 不含直线和直线 xxxx,()yyyy,()两点式 112112截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 直线与直线的位置关系 1.若两条直线斜率存在， l:y,kx，b,l:y,kx，b111222_ _ l/l,l,l,12122.有关

25、距离 PP(1)平面上两点P(x,y)，P(x,y)间的距离= 12111222dP(x,y)(2)平面上点到直线Ax，By，C,0的距离= 00dl:Ax，By，C,0,l:Ax，By，C,0(3)两平行直线间的距离= 1122圆的方程 1.圆的定义:到 的距离等于 的点的集合叫圆. 2.圆的方程 222?圆的标准方程:，其中 为圆心， 为半径 (x,a)，(y,b),r(r,0)22?圆的一般方程:表示圆的充要条件是 x，y，Dx，Ey，F,0圆心为 ，半径为 . 直线、圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系有_ 、_ 、_. 2.常见的判定方法: ?代数法:利用判别式， ,0_,0_,0_

26、,d?几何法:利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系 rdrdd,_,0_,0_3.圆的切线方程 222过圆上点的切线方程为_ xyr，,Pxy(,)00222过圆上点的切线方程为_ ()()xaybr,，,Pxy(,)004.求弦长的方法 2(1)几何法:利用垂径定理在直角三角形中解决 (2)代数法: ABkxx,，,1AB5.圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系:_、 _、 _、 _ 、_ (2)判定方法: 两圆圆心，半径为， OO,rrrr,(),121212OOrrOOrr,，,，,_,12121212rrOOrrrrOO,，,_,12121212120_.,OOrr 12122

27、222xyDxEyFxyDxEyF，,，,0,06.两圆相交 111222公共弦所在的直线方程为_ 椭圆 1. 椭圆第一定义:平面内到两个定点, =2c FFFF1212_ 这两定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫 (1)若 _，则轨迹为椭圆(2)若 _，则轨迹为线段(3)若 ，则无轨迹 2. 椭圆第二定义: 3.椭圆的标准方程和几何性质 2222 yxyx ，,1(a,b,0)，,1(a,b,0)2222标准方程 abab图形 ,a,x,a,b,y,b,a,y,a,b,x,b范围 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A(,a,0),A(a,0)B(0,b),B(0,b)A(0,a),A(0

28、,a)B(,b,0),B(b,0)顶点 12121212 b长轴的长为2，短轴的长为2 aAABB轴 1212性 FF,2c焦距 12质 ce,离心率 aa,b,c222c,a,b 的关系 双曲线 1. 双曲线的第一定义: 平面内到两个定点, =2c FFFF1212_ 这两定点叫双曲线的_，两焦点间的距离叫双曲线的_. (1)若 _,则轨迹为双曲线(2)若 _ ，则轨迹为_(3)若 ，则无轨迹 2.双曲线的第二定义: 3.双曲线的标准方程和几何性质 2222yxxy,1,1 2222 abab标准方程 ，(a,0,b,0)a,0,b,0图像 范围 对称轴 对称轴 对称性 对称中心 对称中心

29、顶点 顶点坐标 顶点坐标 渐近线 性 离心率 = ，( ) e,e质 线段叫做双曲线的 ，它的长= ;线段叫AABB1212实虚轴 做双曲线的 ，它的长= 抛物线 1( 抛物线的概念 ll平面内到一个定点和一条定直线(不在上)的距离 的点轨迹 FFl点叫做抛物线的 ，直线叫做抛物线的 . F2.抛物线的标准方程与几何性质 2222 ypx,2ypx,2xpy,2xpy,2标准方程 的几何意义: p图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 曲线与方程 1. 曲线的方程与方程的曲线 Cxy,fxy,0,曲线上点的坐标都是方程的解 ，Cfxy,0,xy,以方程的解为坐标的点都在曲线上 ，CCfxy,0,fxy,0,那么方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线 ，2.求曲线方程的常用方法: (1)直接法_ (2)定义法_