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1、高中数学知识点总结概率与统计概率与统计 1(离散型随机变量取每一个值x,i=12,的概率为则P+P+=1, Pxp(),i12ii 为的数学期望期望是反映随机变量“均值”的量 ，xp，xp，xp，E,nn1122,求离散型随机变量的期望的基本步骤:?理解的意义写出E(a,，b),aE,，b可能取的全部值,?求取各个值的概率写出分布列,?根据分布列由期望的新疆王新敞奎屯定义求出E b举例 设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程c,2实根的个数(重根按一个计)( xbxc，,02(?)求方程有实根的概率;(?)求的分布列和数学期望; xbxc，,0,2解析:(?)由题意知:设基本
2、事件空间为,A，记“方程xbxc，,0没有实根”为事件，22B“方程xbxc，,0有且仅有一个实根”为事件，“方程xbxc，,0有两个相异实C,数”为事件，则，是的基本事件总数为36个， ,()126bcbc，,2AAbcbcbc,()40126，中的基本事件总数为17个; ,2BBbcbcbc,()40126，2，中的基本事件总数为个; ,2CCbcbcbc,()40126，中的基本事件总数为17个; ,21719BC，PPBBC,，,，,()()又因为是互斥事件，故所求概率( 363636012，(?)由题意，的可能取值为，则 ,17117,P1P0P2， ,183636故的分布列为: ,
3、012 17117 P 36183617117,，,E0121所以,的数学期望。 361836巩固某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数,的分布列为 ,1 2 3 4 5 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 P商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元;分2期或3期付款，其利润为250元;分4期或5期付款，其利润为300元(表示经销一件该商品的利润( ,(?)求事件:“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率; APA()(?)求的分布列及期望(07高考全国卷(?)理18) ,E,2(如果在一次试验中某事件发生的概率是P那么在n次独立重复试验中这个事件
4、恰好发kkn,k生k次的概率是,k,0,1,2,n,(称这样的随机q,1,pP(,k),Cpqnn变量服从二项分布记作，B(np)其中np为参数,若，B(np)则np( E,举例某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立(根据该厂现有的技术水0.50.60.4平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，经过第0.60.50.75二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，( (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望( ,
5、(07高考江西理19) 解析:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件， AAA213E(1)设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则)+ P(E),P(AAAP(AAA)123213,，,0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38( P(AAA)312ABC，(2)解法一:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则 3，所以， PAPBPC()()()0.3,P(0)(10.3)0.343,22， P(1)3(10.3)0.30.441,，,，,P(2)30.30.70.189,，,3(于是， E()10.44120.18930.0270.9,，,P(3)0.30.027,
6、解法二:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为， p,0.3所以,(30.3)B，故Enp,，,30.30.9( 巩固 一个袋中装有3个红球，7个白球，从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，连摸5次，试求摸到红球的次数,E,的分布列及期望。 3(随机抽样需借助于随机数表,先对总体逐一编号,分层抽样的关键是“按比例”:总体中各层的比例等于样本中各层的比例。在所有的抽样中每一个个体被抽到的概率相等。 举例从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样 从2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率( ) A、不全相等 B、均不
7、相等 251C、都相等,且为 D、都相等,且为 100240420001,解析:某人“入选”，首先在第一步的随机抽样中要不被剔除，其概率为， 200420042000505050在第二步的系统抽样中被抽中的概率为，故每人入选的概率为，, 2000200420002004巩固 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5。现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量nn= 。 频率4(“读懂”样本频率分布直方图:直方图的高=直方图中小矩形框的面积是频率,组距频率样本个数=频数。 频率 举例1从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共 组
8、距取了n件，测得其尺寸后，画得其频率分布直方图如右， 尺寸在15，45内的频数为46，则尺寸在20，25内 0(04 的产品个数为 0(016 解析:由直方图可见，尺寸在15，45内的频率为 4630 10 15 20 25 35 40 45 1-0.0165=0.92, ?=0.92，得n=50; 产品尺寸 n而尺寸在20，25内的频率为0.045=0.2, ?尺寸在20，25内的产品个数为:0.250=10. 分组 频数 巩固1 在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤1.301.34)，4维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如右表: (I)画出该产品纤度的频率分布直方图; 1.3
9、41.38)，25 (II)估计纤度落在中的概率及纤度小于1.381.50)，1.381.42)，1.40的概率是多少, 30 (III)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值1.421.46)，29 1.32(例如区间的中点值是)作为代表(据1.301.34)，此，估计纤度的期望( 1.461.50)，10 巩固2一个社会调查机构 就某地居民的月收入调查了 1.501.54)，2 10 000人，并根据所得数据 画了样本的频率分布直方图 100合计 频率/组距 (如右图)(为了分析居民的 0.0005 收入与年龄、学历、职业等 0.0004 方面的关系，要从这10 000 人中再用分层抽
10、样方法抽出 0.0003 100人作进一步调查，则在 0.0002 ,2500，3000)(元)月收入 0.0001 月收入(元) 人( 段应抽出1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 5(熟悉方差的计算公式和性质如:样本同加,减,一个常数方差不变,样本同乘一个2常数k, 方差变为原来的k倍,“标准差”是方差的算术平方根。样本的方差和标准差是反映其“稳定性”的量。对于离散型随机变量如果它所有可能取的值是xxxn122且取这些值的概率分别是那么,，pppD,(x,E,),pn211122，称为随机变量的方差式中的是随机变量E,(x,E,),p(x,E,),pnn22
11、的期望(的算术平方根叫做随机变量的标准差记作。 D,D,举例某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则,x,y,的值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 22解析:由题意可得:x+y=20,(x-10)+(y-10)=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直222接求出x、y，只要求出x,y，设x=10+t, y=10-t, 由(x-10)+(y-10)=8得t=4; ?xyt,24，故选D。 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 巩固1甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 环数 环数
12、7 8 9 10 7 8 9 10 7 8 9 10 频数 频数 频数 5 5 5 5 6 4 4 6 4 6 6 4 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( ) sss，123,( ,( sss,sss,312213,(sss, ,(sss, ( 07高考宁夏理 11) 123231巩固2随机变量的分布列如下: ,0,11 a c bP 1abc，,E其中成等差数列，若，则的值是 (07高考浙江理15) D,32,(x,),122,6(正态分布密度函数:,0-?,x,?,其中x是随机变fx,e()2,2量的取值为正态分布的均值是正态分布的标准差.正态分布一般记为,N(,)正
13、态曲线的性质:,1,曲线在x轴的上方与x轴不相交 ,2,曲线关于直线x=对称 新疆王新敞奎屯,3,当x=时曲线位于最高点 ,4,当x,时曲线上升,增函数,当x,时曲线下降,减函数,并且当曲线向左、右两边无限延伸时以x轴为渐近线向它无限靠近 ,5,一定时曲线的形状由确定.越大曲线越“矮胖”总体分布越分散,越小曲线越“高”.总体分布越集中。当=0、=l时正态总体称为标准正态总体其2x,12相应的函数表示式是,-?,x,+?,。对于标准正态总体N(01)，()fx,e2,表示总体取值小于的概率 即,当时,(x),(x),P(x,x)x,0x,0x000000,而当时=0.5,计算正态总体的概率应结合
14、正态曲线,面,(x),1,(,x)x,0,(0)000（2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。积,进行。 94.234.29加与减（二）4 P49-56举例1设随机变量服从标准正态分布，已知，则N(01)，,(1.96)0.025,=( ) (07高考湖南理5) P(|1.96),12.与圆有关的辅助线A(0.025 B(0.050 C(0.950 D(0.975 解析:=，因为标准正态曲线关于y轴对称， P(|1.96),1,P(,1.96)，P(,1.96)tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号“”；所
15、以，故=0.950，选C。 P(,1.96),P(,1.96),0.025P(|1.96),7、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。举例2以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态,()x(),，x,2P(),分布，则概率等于( B )(07高考安徽理10) N(),，A( B( ,，,()(),(1)(1)抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。1,C( D( 2(),，,2x,，,P(),x,解析:即正态分布的分布曲线与直线、 N(),，（3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物
16、线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。x,1x,1所围成的区域面积，也就是标准正态分布的分布曲线与直线、 y,0N(01)，156.46.10总复习4 P84-90所围成的区域面积，即，故选B。 y,0,(1)(1)初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；2巩固1在某项测量中，测量结果服从正态分布(若在内取值的,(01)，N(1)(0)，,概率为0.4，则,在(02)，内取值的概率为 (07高考全国卷?理14) 2巩固2已知随机变量,服从正态分布N(2)，,，P(4)0.84,?,，则P(0),?,( ) 0.160.320.680.84A( B( C( D( (07高考浙江理5) 答案 1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。1(巩固0.784,240;2、巩固3.5,16.5;3、巩固80，4、巩固1 (?)0.69,0.44, (?)50.81.4088, 巩固2 25，5、巩固1 B ，巩固2 ;6、巩固1 ，巩固2A 9